Fundamentos de Telecomunicações 2002/03

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1 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Número: Fundamentos de Telecomunicações 2002/03 EXAME Janeiro, 2003 Duração: 20 minutos Nome: Pretende contabilizar as notas dos testes? sim não Assinatura A resolução do exame é feita no enunciado que acaba de lhe ser distribuído. Não se esqueça de preencher todos os cabeçalhos com a sua identificação. Identifique com o seu número e no local apropriado todas as folhas de resposta ao exame. Leia com atenção os enunciados de todos os problemas. Sendo necessário desenhar gráficos, não se esqueça de os legendar completamente. Justifique as suas respostas. Note que quem corrige tem de ficar convencido de que quem responde sabe, de facto, o que está a fazer. I-. PARTE I - 0 valores Bom trabalho! Pretende-se transmitir um sinal com média nula, potência média P X = 0.27 Watt, e largura de banda B = 3 KHz, usando um sistema PCM com codificação binária natural e cuja taxa de transmissão não pode exceder os 54 Kbps. a) Calcule o valor do nível de sobrecarga para o qual a probabilidade de ocorrência de sobrecarga não exceda 90%. b) Calcule os valores mínimos de ν (comprimento das palavras de código) e de f a (frequência de amostragem) que garantem uma relação sinal/ruído de quantização SQNR U 40 db. I-2. A implementação prática de um sistema FDM requere cadeias de conversão de frequência que envolvem normalmente várias operações de modulação e desmodulação. Suponha que o primeiro andar de multiplexagem combina 2 sinais de voz com largura de banda W = 4 KHz num grupo básico, em que a n-ésima entrada modula uma portadora de frequência f c =2 4n KHz, n=,,2. As bandas laterais inferiores são seleccionadas por filtragem passa-banda e combinadas para formar um grupo de bandas laterais inferiores (uma por cada sinal de voz). O andar seguinte desta hierarquia FDM envolve a combinação de 5 grupos básicos formando um supergrupo, em que o n-ésimo grupo modula uma portadora de frequência f c =372+48n KHz, com n=,,5. De novo as bandas laterais inferiores são seleccionadas por filtragem para formar o supergrupo. a) Calcule a largura de banda ocupada por um grupo básico. b) Calcule a largura de banda ocupada por um supergrupo. c) Num supergrupo, quantos canais independentes de sinais de voz existem? Use a desigualdade de Chebyshev.

2 I-3. Considere o sinal s (t) da figura definido no intervalo [0,T]. O sinal x(t) representa uma sequência binária onde o sinal s 0 (t) = -s (t) corresponde ao símbolo binário 0. Os símbolos binários ocorrem nesta sequência com igual probabilidade. 0 s (t) T/2 T t 0 T - x(t) a) Determine a resposta impulsional h(t) do filtro adaptado ao sinal s (t), supondo que o ruído de canal é branco. b) Determine e represente graficamente a resposta deste filtro adaptado quando a entrada é x(t). I-4. Considere um código de repetição (3,) em que o descodificador usa o algoritmo resultante da aplicação do critério de máxima verosimilhança para corrigir erros de transmissão. a) Determine a matriz geradora e a matriz de verificação de paridade. b) Suponha que o descodificador observa a palavra 0. Use o algoritmo de máxima verosimilhança para obter a palavra de saída do descodificador. c) O resultado obtido em b) corresponde com probabilidade à palavra de código transmitida? Porquê? 2T 3T 4T t 2

3 Fundamentos de Telecomunicações 2002/03 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO EXAME Janeiro, 2003 Duração: 20 minutos Número: Nome: PARTE II - 6 valores Resolva apenas dois (à sua escolha) dos problemas seguintes II-. Considere a figura seguinte, onde s 0 (t) é um sinal periódico com período T 0. Os sinais x (t) e x 2 (t) têm igual largura de banda W e igual potência P =.25 Watt. A saída x FDM (t) é um sinal de multiplexagem por divisão na frequência (FDM). y (t) x (t) FPB s 0 (t) d - + x FDM (t) ~ s 0 (t) t y 2 (t) x 2 (t) FPB d T 0 /2 T 0 /4 a) Mostre que o sinal s 0 (t) se pode escrever como uma série de Fourier de cosenos cujos dois primeiros termos são 4 4 s 0 (t) = cos(2πf 0 t) - cos(2π 3f 0 t) + π 3π onde f 0 >> W. b) Dimensione os filtros passa banda e 2, supostos ideais, i.e., indique as frequências centrais e calcule os ganhos g e g 2 e as larguras de banda B e B 2, de modo que os sinais y (t) e y 2 (t) sejam do tipo AM BLD nas portadoras f 0 e 3f 0, respectivamente, e com potência P = P 2 = 0 Watt. c) Suponha que os espectros de x (t) e x 2 (t) são os da figura. Desenhe o espectro do sinal x FDM (t). X (f) X 2 (f) x 0 x 0 0 W f 0 W II-2. Considere o sinal FM de banda larga x FM (t) = A c cos(2πf c t + Φ(t)), onde dφ(t) dt = 2πf x(t), x(t), LB x = W, e o receptor FM da figura seguinte. f x FM (t) ~ 2 cos(2πf c t) -2 sin(2πf c t) FPB x - FPB x - 2 y (t) y 2 (t) atan(y 2 /y ) d dt y(t) 3

4 a) Os filtros passa-baixo e 2 são ideais com ganho unitário. Qual deve ser o valor mínimo das respectivas larguras de banda para que y (t) e y 2 (t) sejam, respectivamente, as componentes em fase e em quadratura de x FM (t)? b) Nas condições de a), determine y(t), supondo que o bloco atan( ) retorna a fase absoluta e não a fase mod2π. c) Suponha agora que o sinal de entrada é x R (t) = x FM (t) + n(t), onde n(t) é ruído de banda estreita na banda do sinal x FM (t). Determine y(t). II-3. Considere o sistema de transmissão digital em banda de base representado na figura seguinte. Fonte s/ memória quaternária m Codificador de Huffman a Modulador PAM x PAM (t) A fonte gera símbolos m i, com probabilidades de ocorrência {0.500, 0.250, 0.25, 0.25}, a uma taxa de /T 0. Cada bit na saída do codificador é representado por uma variável aleatória a que toma os valores ±. O sinal PAM é dado por x PAM (t) = a k p(t kt b ) k = onde a k é a realização de a correspondente ao k-ésimo bit, e T b é a duração de cada bit, dada pela divisão de T 0 pelo comprimento máximo das palavras do código. O impulso p(t) é do tipo raised-cosine com factor de decaímento α=0.75. a) Calcule a entropia da fonte quaternária e determine um código de Huffman que a represente. Quanto vale o comprimento médio do código? b) Com que probabilidades toma a variável aleatória a os valores ±? c) Supondo que T 0 = ms, e que os bits são transmitidos sequencialmente, qual é o valor mínimo da largura de banda de transmissão que garante a inexistência de interferência inter-simbólica? 4

5 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Número: Fundamentos de Telecomunicações 2002/03 EXAME Janeiro, 2003 Duração: 20 minutos Nome: PARTE III - 4 valores Resolva apenas um (à sua escolha) dos problemas seguintes III-. Considere o receptor coerente de AM-BLD representado na figura, onde m(t) é o sinal modulante com largura de banda B, w(t) é ruído branco com densidade espectral de potência η/2, n(t) é ruído passa-banda, e θ(t) é um erro de fase, independente do ruído e da mensagem, com média nula e variância σ 2 θ. Assuma que o erro de fase toma com elevada probabilidade valores tão pequenos que é possível fazer as aproximações cos(θ(t)) e sin(θ(t)) θ(t). x c (t)=a c m(t) cos(2πf c t) filtro passa-banda x r (t)=x c (t)+n(t) r filtro passa-baixo m(t) ^ w(t) ~ 2 cos(2πf c t+ θ(t)) a) Dimensione os filtros (ganho e largura de banda), supostos ideais, passa-banda de recepção e passa-baixo na saída do receptor. b) Mostre que ^ m(t) A c m(t) + n I (t) + θ(t)n Q (t), onde n I (t) e n Q (t) são, respectivamente, as componentes em fase e em quadratura do ruído passa-banda. c) Defina o erro da saída ε(t) = A c m(t) ^m(t). Calcule ξ = E{ε 2 (t)} (erro quadrático médio). III-2. Considere o conjunto de 4 sinais, todos com energia E e duração temporal T: s m (t)= (2E/T) /2 cos(2πf c t+mπ/4); m=,3,5,7; t [0,T] 0; t [0,T] a) Qual é a dimensão N do espaço gerado por este conjunto de sinais? Determine uma base ortonormada que gere este espaço. b) Calcule as coordenadas de cada um dos sinais s m (t) segundo os vectores desta base. c) Represente os sinais s m (t) no espaço de sinal e determine as regiões de decisão óptima do receptor de máxima verosimilhança (assuma símbolos equiprováveis). d) Determine a expressão da probabilidade de erro em termos da função erfc(x). 5

6 FORMULÁRIO Probabilidades e variáveis aleatórias Desigualdade de Chebyshev: P( X-m X ε) σ 2 X/ε 2 Densidade de probabilidade conjunta de duas gaussianas (µ-m f XY (µ,ν) = exp [- X ) 2 (ν-m - Y ) 2 ρ(µ-m + X ) (ν-m Y ) ] 2πσ X σ Y -ρ 2 2σ 2 X(-ρ 2 ) 2σ 2 Y(-ρ 2 ) σ X σ Y (-ρ 2 ) ρ = (σ X σ Y ) - E{(X-m X ) (Y-m Y )} Função de erro complementar erfc(u) = Série de Fourier s(t) = c n exp(j2πnf 0 t) n=- 2 π u c n = exp(-z 2 ) dz s(t) exp(-j2πnf 0 t) dt T 0 T0 Transformada de Fourier s(t) = S(f) exp(j2πft) df - S(f) = s(t) exp(-j2πft) dt - Transformada de Fourier do impulso rectangular (t/t) =, -T/2 t T/2 0, caso contrário T sinc(ft) Identidades trigonométricas 2j sinθ = exp(jθ) - exp(-jθ) 2 cosθ = exp(jθ) + exp(-jθ) 2 sinα sinβ = cos(α-β) - cos(α+β) 2 cosα cosβ = cos(α-β) + cos(α+β) 2 sinα cosβ = sin(α-β) + sin(α+β) sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ cos(α ± β) = cosα cosβ sinα sinβ 2 cos 2 θ = +cos(2θ) 2 sin 2 θ = -cos(2θ) 2 sinθ cosθ = sin(2θ) 6