Telecomunicações 2 LEEC / FEUP. Trabalho n o 5. 1 Objectivos 1. 2 Preliminares teóricos. 3.3 Estimativa das probabilidades de erro em 8-PSK...

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1 Telecomunicações LEEC / FEUP Trabalho n o 5 odulações Digitais não-binárias Conteúdo 1 Objectivos 1 Preliminares teóricos 1 3 Experiência odulação 8-PSK Desmodulação de -PSK Estimativa das probabilidades de erro em 8-PSK Trabalho de casa 7 1 Objectivos No trabalho anterior foram abordados diversos aspectos das modulações binárias convencionais, nomeadamente formas de detecção, visualização de espectros e estimativa de probabilidades de erro. Neste trabalho o assunto será as modulações digitais não-binárias, aquelas cuja constelação no espaço de sinais é constituída por mais de dois pontos. Em concreto serão abordadas as modulações 8-PSK e 16-QA. Preliminares teóricos Nas modulações digitais não-binárias, um conjunto de k bits (e não apenas um) faz variar afrequência, a fase e/ou a amplitude de uma portadora. Esse conjunto de bits chama-se símbolo edaí se falar em probabilidade de símbolo errado (P e ). Como a fonte de informação é uma sequência de bits, no que estaremos interessados é, no entanto, na contagem do número de bits errados, isto é, na probabilidade de bit errado (P b ). Este cálculo é relativamente simples uma vez conhecido P e. As modulações digitais a abordar neste trabalho são 8-PSK e 16-QA. Na Figura 1 estão representadas as respectivas constelações. Em cada intervalo de tempo de um símbolo (T ) as formas de onda destas modulações são expressas, respectivamente, por: -PSK: Es s i (t) = T ( cos πf c t πi )

2 Trabalho n o 5 odulações digitais não-binárias ver..1 Q Q Es E0 I I Figura 1: Constelações das modulações 8-PSK e 16-QA ou s i (t) =s i Ψ = [ E s cos ( πi ) Es sin ( πi ) ] 0 t T, i =0, 1,..., 1 cos (πf ct) T sin (πf T ct) -QA s i (t) =s i Ψ = [ ] a i E0 b i E0 cos (πf ct) T sin (πf T ct) 0 t T, i =0, 1,..., 1, a i,b i {±1, ±3,..., ±( 1)} E s e E 0 representam, respectivamente, a energia de cada símbolo -PSK e a energia do símbolo -QA de energia mínima. O vector s i representa o vector no espaço de sinal e Ψ o vector das funções base. Em qualquer destas modulações é usada detecção coerente para recuperar a informação transmitida. Recorde-se que, para esse efeito, o uso de filtros adaptados é equivalente ao uso de correlacionadores no instante de amostragem. De um modo geral pode dizer-se que, em igualdade de circunstâncias, a modulação -QA tem um melhor desempenho que a modulação -PSK. A quantificação do comportamento pode ser feita através do cálculo das probabilidades de símbolo errado as quais, em presença de ruído aditivo gaussiano branco (ruído AWGN), são dadas, respectivamente, pelas seguintes expressões: ( ) Es -PSK: P e Q sin π N 0 ( -QA: P e ) ( ) E0 Q N 0 ( =4 1 1 ) ( Q 3 ( 1) ) E s N 0

3 Trabalho n o 5 odulações digitais não-binárias ver..1 E s representa a energia média dos símbolos QA e N 0 é a densidade espectral de potência unilateral do ruído AWGN. A probabilidade de bit errado está relacionada com P e através de: P b P e log admitindo que, como é de boa prática, o mapeamento dos bits em símbolos se faz com codificação de Gray equearelação E s /N o 1. 3 Experiência Durante esta experiência vão usar-se os seguintes parâmetros de simulação: Taxa de símbolos: R = 1/T = 1000 símbolos/s amplitude da portadora: A c =1V frequência da portadora: f c =10kHz frequência de amostragem da simulação: f s =1/t s =10f c = 100 khz número de pontos da constelação: =8 3.1 odulação 8-PSK Pretende-se transmitir informação com a taxa R símbolos/s usando 8-PSK. A duração de cada símbolo, T,é igual a k =log vezes a duração de cada bit. Logo, a baudrate, R, é diferente da bitrate (ou débito binário). 1 Após ter inicializado o modelo representado a seguir verifique se os valores das variáveis definidas no workspace T, R, f c, t s e contêm os valores correctos. cos Rd wksp Sampled read with synchronized pulse Look up Table (Gray mapping) Symbol agnitude 1 *pi/ Symbol phase ux Polar to Cartesian R C filter raised cosine filter R C filter raised cosine filter1 anual Switch anual Switch1 ux ux I channel mixer_i Q channel mixer_q sin Sum psk8 To Workspace Scope ux1 Scope1 Eye diagram scatter plot A fonte de informação gera uma sequência de símbolos de três bits (log (8)) através da função: randint(10000,1,,sum(100*clock)). Verifique qual o significado de cada um dos parâmetros da função randint(). 3

4 Trabalho n o 5 odulações digitais não-binárias ver..1 3 A cada símbolo 8-PSK será associado a um ponto da constelação, o qual corresponderá uma determinada fase e um determinado vector no espaço de sinal. Essa atribuição de símbolos deve ser feita recorrendo ao código de Gray, paraque,emfacedeum determinado número de símbolos errados, o número de bits errados seja o menor possível (bloco Look-up Table (Gray mapping)). Este mapeamento, apresentado na tabela seguinte, pode ser observado na constelação de 8-PSK da Figura 1. i Fase de s i (t): φ i (rad) Código Gray (S Gray ) Código binário π/ π/ π/ π π/ π/ π/ Visualize com o auxílio de um bloco scope os 10 primeiros símbolos e o correspondente resultado do mapeamento de Gray (S Gray ). 5 A cada símbolo vai ser atribuída uma fase da portadora segundo a relação: φ i =π S Gray No espaço de sinal estas fases correspondem a pontos da constelação. As suas coordenadas cartesianas são: s i =[cos(φ i )sin(φ i )] Repare que o comprimento de cada vector de sinal (ou norma euclideana) é unitário. Note também que se poderia ter optado por representar os pontos por números complexos, fazendo s i =cos(φ i )+jsin(φ i ). Aconversão de coordenadas polares para rectangulares faz-se com o auxílio do bloco polar to cartesian. 6 Àmedidaqueasimulação vai correndo, observe os sinais em fase (I) e em quadratura (Q) bem como os pontos da constelação a partir do bloco eye-diagram scatter plot. Este bloco permite igualmente representar o diagrama vectorial no qual são traçadas todas as combinações das trajectórias de transição entre pontos da constelação. Observe estas representações com e sem os filtros de cosseno elevado (R-C filter) e comente os resultados. 7 O sinal modulado em 8-PSK é obtido aplicando os símbolos a um modulador de quadratura. Visualize o comportamento temporal do sinal psk8 e a respectiva densidade espectral de potencia. Verifique as eventuais mudanças de fase em instantes múltiplos do tempo de símbolo. Repita este ponto também com o filtro de cosseno elevado e justifique os resultados obtidos. 4

5 Trabalho n o 5 odulações digitais não-binárias ver Desmodulação de -PSK Na figura seguinte está apresentado o modelo Simulink do desmodulador de 8-PSK. O sinal de saída do modulador passa por um canal AWGN cuja potência de ruído pode ser variada. Rd wksp Sampled read with synchronized pulse Terminator1 Data in PSK PSK odulator AWGN AWGN channel1 k z K step delay cos1 product_q sin1 product_i Scheduled reset int I_int Scheduled reset int Q_int 1/T Gain 1/T Gain1 I sampler Q sampler Terminator Cartesian to Polar Sum1 const *pi Switch /(*pi) Phase symbol round aximum Likelihood Estimation odulo odulo Gray demapping ux ux3 Scope4 ux ux5 Sample time eye diagram scatter A desmodulação é efectuada coerentemente através de dois correlacionadores, um para a componente em fase e outro para a componente em quadratura. 1 Os integradores operam sobre o sinal de entrada durante o intervalo de tempo de um símbolo (T ). Observe a saída de cada integrador para uma potência de ruído muito baixa (σ =10 10, por exemplo). Poderá confirmar que, na ausência de ruído, em cada eixo do espaço de sinal 8-PSK, as coordenada dos vectores de sinal só podem ter cinco valores. Visualize o diagrama de olho àsaída dos integradores assim como a constelação do sinal através do bloco sample-time eye-diagram scatter. Aumente a potência do ruído para σ = 1 e verifique o que acontece. 3 Após a amostragem dos sinais de saída dos integradores, é calculada a fase do sinal recebido (por conversão de coordenadas) e atribuída ao ponto da constelação mais próximo (bloco maximum likelihood estimation). Por fim, é efectuado o mapeamento de Gray inverso. Justifique a utilização dos blocos que desempenham estas tarefas. 4 Num mesmo bloco scope, observe as sequências de bits transmitidas e recebidas para potências de ruído de σ =1eσ =8. Não se esqueça do atraso de um símbolo que deve introduzir na sequência transmitida para haja alinhamento das sequências. 3.3 Estimativa das probabilidades de erro em 8-PSK Nesta secção vai proceder-se à avaliação da taxa de erros de símbolo e bit (P e e P b, respectivamente). Para tal carregue o modelo apresentado na figura seguinte. 5

6 Trabalho n o 5 odulações digitais não-binárias ver..1 k z Rd wksp Sampled read from wksp Symbol in PSK PSK odulator AWGN AWGN channel PSK Symbol out PSK Demodulator K step delay ux ux Scope4 Symbol count Rx Symbol Error count Estimated Symbol Error Probability Bit Error Count Tx Estimated Bit Error Probabiliy Symbol Error eter ux ux Display Neste encontra os blocos correspondentes ao modulador e desmodulador de 8-PSK, bem como um medidor de probabilidades de erro (para os símbolos e bits). 1 Calcule as probabilidades de erro teóricas para o detector óptimo de 8-PSK e para os valores de potência de ruído indicados na tabela seguinte: σ E s /N 0 (db) E b /N 0 (db) P e (teórica) P e (estimada) P b (estimada) Ajuste a potência do ruído do canal AWGN para os valores indicados na tabela anterior e efectue a simulação para símbolos. Registe o valor das probabilidades de símbolo e bit errados observados no fim da simulação. 3 Verifique se a probabilidade de símbolo errado está relacionada com a probabilidade de bit errado através de P e =log (8)P b, aproximadamente. Porque razão esta igualdade não é verificada para valores de E s /N 0 baixos? 4 Reavalie as probabilidades de erro para σ =semomapeamentodegrayetire conclusões acerca do efeito deste mapeamento. 5 Represente a curva teórica da probabilidade de bit errado (P b ) para BPSK e 8-PSK, bem como os pontos resultantes das simulações obtidos nesta secção. Comentários finais O facto de se usar portadoras de frequência bastante superior àdataxadesímbolo, obriga a que a frequência da simulação seja muito elevada neste trabalho a frequência da portadora foi de 10 khz e a frequência de amostragem foi de 100 khz; com esta frequência cada símbolo foi representado por 100 amostras! Imagine quantas amostras não seriam precisas para representar, por exemplo, dez segundos de sinal... Uma maneira vulgarmente usada para ultrapassar esta limitação é usar as envolventes complexas dos sinais e os equivalentes complexos dos filtros e canais. Desse modo se evita usar a portadora, o que permite utilizar frequências de amostragem da simulação compatíveis com sinais em banda-base, logo, muito mais baixas. Além disto, como a taxa da simulação é mais baixa, podemos efectuar estimativas de probabilidade de erros mais baixas ou com intervalos de confiança menores. 6

7 Trabalho n o 5 odulações digitais não-binárias ver..1 4 Trabalho de casa Imagine um sistema com as mesmas características que encontrou anteriormente mas com a diferença de agora usar modulação 16-QA em vez de 8-PSK. As características deste sistema estão apresentadas a seguir: Dados transmitidos: sequência de símbolos aleatórios (gerados pela função randint()) Taxa de símbolos: R = 1000 símbolos/s Frequência da portadora: f c =10kHz Canal de comunicações: AWGN com variância de ruído σ. Frequência de simulação (taxa de amostragem): f s =10f c = 100R = 100 khz 1 Crie um modelo Simulink de um modulador 16-QA. O gerador aleatório deve injectar no modulador uma sequência de símbolos. A energia mínima dos símbolos é tal que E 0 /T =1V. Represente o sinal 16-QA graficamente, obtido àsaída do modulador para os dez primeiros símbolos. Represente igualmente os sinais de banda base. 3 Crie um modelo do desmodulador 16-QA usando um detector baseado em correlacionadores. 4 Obtenha o diagrama de olho àsaída dos correlacionadores e a constelação após a amostragem para σ =1. 5 Obtenha as probabilidades teórica de símbolo errado e de bit errado para 16-QA e preencha a tabela seguinte para os valores de E b /N 0 indicados. E b /N 0 E s /N 0 E 0 /N 0 Variância P e P e P b P b (db) (db) (db) do ruído (σ ) Teórica Estimada Teórica Estimada Após calcular os valores de σ correspondentes a cada valor de E b /N 0 da tabela anterior, obtenha as estimativas das probabilidades de símbolo e bit errado por simulação do conjunto modulador/desmodulador 16-QA para símbolos. 7 Porque razão os valores das probabilidades de bit errado teórica e estimada diferem consideravelmente para valores baixos de E b /N 0? 7

8 Trabalho n o 5 odulações digitais não-binárias ver..1 8 Para comparar o desempenho da modulação 16-QA com PSK e 8-PSK, apresente um gráfico com as seguintes características: Eixo das abcissas: E b /N 0, linear em db, gama [0, 13] db Eixo das ordenadas: P b, logarítmico, gama [10 4, 10 0 ] grelha activada (comando atlab grid on) As curvas a apresentar são: Curva teórica de BPSK (com pelo menos 100 pontos) Curva teórica de 8-PSK (com pelo menos 100 pontos) Curva teórica de 16-QA (com pelo menos 100 pontos) Pontos relativos às probabilidades de erro estimadas para 16-QA marcados com o caracter *. Não se esqueça de legendar convenientemente o gráfico. Que comentários pode tecer acerca deste gráfico? HC/SA Versão.1 Novembro de 00 8