Estimação da Resposta em Frequência

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1 27 Estimação da Resposta em Frequência jω Ge ( ) = jω Ye ( ) jω Ue ( ) Objectivo: Calcular a magnitude e fase da função de transferência do sistema, para um conjunto grande de frequências. A representação gráfica deste conjunto de dados (diagrama de bode) permitirá ter uma primeira ideia de algumas características do sistema, tais como ganho estático, largura de banda, polos na origem, etc.

2 28 Métodos 1 Uma Frequência de Cada Vez : Aplicar uma sinusoide à entrada. Medir o ganho e a desfasagem da saída. Repetir para múltiplas frequências de entrada, de modo a cobrir a gama de frequências pretendida. 2 Função de Tansferência Empírica : Aplicar um sinal arbitrário à entrada e observar a resposta. Calcular a transformada discreta de Fourier das sequências de entrada e saída. Estimar a resposta em frequência do sistema por divisão das transformadas. 3 Análise Espectral : Aplicar um sinal gerado por um processo estacionário de média nula e observar a saída. Aplicar as relações entre espectros de processos estacionários. Este método considera explicitamente a existência de perturbações e estima o espectro da perturbação na experiência efectuada.

3 29 Análise Espectral Recorde-se a função de covariância cruzada R yu ( τ ) entre y(t) e u(t). Define-se o espectro cruzado Φ yu ( ω ) como a sua transformada de Fourier: jωτ Φ yu ( ω ) = R yu ( τ ) e τ =

4 30 Relações entre os espectros Independentes ν(t) u(t) G(q) + + y(t) ( j ω ) ( ) ( ) u ν Φ ( ω ) = G e Φ ω + Φ ω y yu 2 ( ) ( j ω G e ω ) ( ω) Φ = Φ u

5 31 Estimando os vários espectros podem obter-se a função de resposta em frequência e o espectro da perturbação. R y τ : 1 - Formar estimativas das funções de covariância Rˆ yu ( τ ), Rˆu ( τ ) e ( ) e analogamente para as outras. R yu 1 ( τ ) = y( t + τ ) u( t) N N τ = Calcular os espectros correspondentes através de Janela de largura M M ( ω ) = ( τ ) ( τ ) Φ y y M τ = M e analogamente para os outros espectros. R W e jωτ

6 32 Finalmente, pode-se obter a resposta em frequência do sistema através de: G N jω ( e ) = Φ Φ yu u ( ω) ( ω) e o espectro da perturbação por: ( ) Φ ( ) Φ ν ω = y ω Φ Φ yu u ( ω ) ( ω) 2

7 33 Análise espectral com o MATLAB 5.3 e o Sist. Ident. Toolbox Seja z=[y u] uma matriz de dados. As matrizes G e PHIV contendo a função de resposta em frequência estimada, ĜN, e o espectro da perturbação estimado, Φ ν, podem-se obter através de: [G PHIV] =spa(z) A visualização em escala logarítmica pode ser feita com bodeplot(g) bodeplot(phiv)

8 34 Omitindo o argumento PHIV, obtém-se apenas a estimativa da função G: G=spa(z) Se z=y (série temporal), spa retorna a estimativa do espectro desse sinal: PHIY=spa(y) ffplot(phiy) Estas estimativas admitem um intervalo de amostragem de 1 segundo. Para ajustar o intervalo de amostragem, usar a função sett. Por exemplo Gnov=sett(G,0.5); declara o intervalo de amostragem como sendo 0.5 segundo.

9 Função de transferência empírica 35 Pode estimar-se uma função de transferência empírica como a razão das transformadas de Fourier da entrada e da saída. Isto pode ser feito através da função etfe AMPLITUDE PLOT, input # 1 output # 1 G=etfe(z); Esta estimativa apresenta grandes variações 0 frequency (rad/sec) PHASE PLOT, input # 1 output # 1 de frequência para frequência mas pode ser útil para sistemas com picos de ressonância apertados phase frequency (rad/sec)

10 36 Exemplo Estimação das curvas de resposta em frequência de 1/(s 2 +s+1) com intervalo de amostragem de 0.5 s. O sinal de entrada é ruído branco de variância unitária. Diagrama de bode verdadeiro

11 37 Estimação com etfe (F.T. empírica) Estimação com spa (Análise espectral)

12 38 Influência de Perturbações Para o mesmo sistema adicionou-se ruído branco gaussiano de desvio padrão 0.1. Estimação com etfe (F.T. Empírica) Estimação com spa (Análise espectral)

13 39 Janelas A estimativa da função de correlação depende dos dados e é ela própria uma amostra de uma variável aleatória. Apresenta assim flutuações de carácter estatístico para um número finito de dados. Para reduzir estas flutuações na estimativa do espectro usam-se pesos no cálculo da transforma de Fourier da correlação denominadas janelas. M ( ω ) = ( τ ) ( τ ) Φ y y M τ = M R W e jωτ

14 40 De um modo geral, quando o comprimento da janela aumenta, a resposta em frequência mostra mais detalhes mas é mais afectada por variações estatísticas. Uma sequência típica de comandos para testar janelas de diferentes larguras é a seguinte: G10=spa(z,10); G50=spa(z,50); bodeplot([g10 G50])

15 AMPLITUDE PLOT, input # 1 output # 1 M=50 M=10 Neste caso, a sobreelevação na frequência é visível com M=50 mas PHASE frequency PLOT, input (rad/sec) # 1 output # 1 0 não com M= phase frequency (rad/sec)

16 42 Remoção de tendências Não se deve esquecer que os métodos anteriores se referem a sinais estocásticos estacionários (ou seja, em que as características estatísticas são constantes no tempo) e de média nula. Antes de aplicar estes métodos é necessário remover dos dados quaisquer tendências que possam apresentar e ainda o seu valor médio. A remoção de uma tendência linear pode ser feita com a função detrend. Esta, subtrai aos dados a recta mais bem ajustada. Outras tendências (por exemplo, crescimento exponencial ou sazonalidade) requerem tratamento especial.

17 43 Exemplo: Identificação não paramétrica de um secador Ventilador A B Tomada de ar u SCR y O ar, forçado pelo ventilador, é aquecido por uma resistência eléctrica no ponto A. O grau de aquecimento desta resistência pode ser manipulado pelo sinal u. A saída do processo é a temperatura y do ar medida por um termopar no ponto B.

18 44 Representação dos dados 2 OUTPUT # INPUT #1 % z contém dados idplot(z) A entrada é um sinal binário em que a probabilidade de transição é p=0.2. O intervalo de amostragem é h=0.08 s.

19 45 Determinação da resposta impulsiva por correlação 0.14 Impulse response estimate ir=cra(z); lags Repare-se que as três primeiras amostras da resposta impulsiva são nulas. O sistema apresenta um atraso puro de 2xh=0.16 s, o que corresponde ao tempo de percurso do ar entre os pontos A e B.

20 46 Resposta ao escalão ir=cumsum(is); plot(ir) O eixo do tempo está graduado em número de amostras. A resposta ao escalão obtém-se da resposta impulsiva por soma cumulativa, com a instrução cumsum.

21 47 Função de transferência 10 0 AMPLITUDE PLOT, input # 1 output # PHASE frequency PLOT, input (rad/sec) # 1 output # 1 0 G=sett(spa(z),0.08); bodeplot(g) -200 phase frequency (rad/sec) Note-se o decaimento rápido da fase devido ao atraso puro.