Fundamentos de Análise Tempo-Frequência

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1 Fundamentos de com Aplicação a Processamento de Sinais - 4 Luiz W. P. Biscainho 1 Paulo A. A. Esquef 2 1 Programa de Engenharia Elétrica do COPPE Universidade Federal do Rio de Janeiro 2 Coordenação de Sistemas e Controle Laboratório Nacional de Computação Científica 24 a / Programa de Verão do LNCC

2 Sumário 1 Transformada de Fourier de Curta Duração 2 Conclusão

3 Transformada de Fourier de Curta Duração Ideia e Discussão Problema: Estudo de sinais não-estacionários Dificuldade: Transformada de Fourier do sinal completo não localiza no tempo ocorrências espectrais Ideia: Quebrar sinal em segmentos e analisá-los espectralmente Interpretação: Espectro ( ω) em torno do tempo t (centro da janela) No limite, a resolução temporal pode ser pontual? Não, o espectro perde relação com o sinal sob análise. Razão: Princípio da Incerteza no método, não no sinal Problema da STFT: Forma e duração do janelamento interferem com as características originais do sinal sob análise

4 Transformada de Fourier de Curta Duração Definições e Notação-1 Janelamento: Produto do sinal s(t) por janela h( ) centrada em t, originando s t (τ) = s(τ)h(τ t) { s(τ), para τ perto de t Escolha de h(t) tal que s t (τ) 0, para τ longe de t Nota: Tempo τ é a nova referência Análise de Fourier: S t (ω) = 1 st 2π (τ)e jωτ dτ = 1 2π s(τ)h(τ t)e jωτ dτ Densidade espectral de energia S t (ω) 2 é função de t e ω: espectrograma P SP (t, ω) (distribuição tempo-frequência) Nota: usamos janela temporal curta para analisar espectro em torno de t

5 Transformada Temporal de Banda Estreita Dual da STFT Ideia: Janela espectral estreita para analisar comportamento temporal em torno de ω Janelamento: Produto de S(ω) por janela espectral H( ) centrada em ω, originando S ω (ω ) = S(ω )H(ω ω ) Nota: Frequência ω é a nova referência Análise temporal: s ω (t)= 1 Sω 2π (ω )e jω t dω = 1 2π S(ω )H(ω ω )e jω t dω Densidade de energia s ω (t) 2 é função de t e ω: P(t, ω) Se H(ω) = 1 h(t)e jωt dt, então S 2π t (ω) = e jωt s ω (t) Assim, s ω (t) 2 = S t (ω) 2 = P SP (t, ω) Conclusão: Espectrograma se presta a ambas as análises (espectro estreito janela longa)

6 Espectrograma Função Característica e Ambiguidade Função característica do Espectrograma: M SP (θ, τ) = S t (ω) 2 e jθt+jτω dtdω Função de Ambiguidade: Λ f (θ, τ) = f ( t 1 2 τ) f ( t τ) e jθt dt Nota: Λ f ( θ, τ) = Λ f (θ, τ) M SP (θ, τ) = Λ s (θ, τ)λ h ( θ, τ) Conclusão: Os papéis de s(t) e h(t) são intercambiáveis no espectrograma.

7 Espectrograma Notação Notação estendida: Sinal: s(t) = A(t)e jϕ(t) S(ω) = B(ω)e jψ(ω) Janela: h(t) = A h (t)e jϕ h(t) H(ω) = B H (ω)e jψ H (ω) Médias globais (s), (h), (SP) (quando não ficar claro pelo contexto). Ex.: ω ω (s) = ω S(ω) 2 dω ω (h) = ω H(ω) 2 dω ω (SP) = ω S t(ω) 2 dtdω Ex.: t t (s) = t s(t) 2 dt t (h) = t h(t) 2 dt t (SP) = t S t(ω) 2 dtdω

8 Espectrograma Propriedades-1 Verificar se exigências para distribuição t f válida são atendidas pelo espectrograma Energia: E SP = S t (ω) 2 dtdω = Λ s (0, 0)Λ h (0, 0) = s(t) 2 dt h(t) 2 dt Se a janela tiver energia unitária, o espectrograma atende a condição da energia. Marginais: P(t) = S t (ω) 2 dω = s(τ) 2 h(τ t) 2 dτ = A 2 (τ)a 2 h (τ t)dτ A2 (t) P(ω) = S t (ω) 2 dt = S(ω ) 2 H(ω ω ) 2 dω = B 2 (ω )BH 2 (ω ω )dω B 2 (ω) Condição não é atendida, pois o espectrograma mistura distribuições do sinal e da janela. f (t) e f (ω) calculadas erradamente pelo espectrograma Marginais independem das fases.

9 Espectrograma Propriedades-2 Suporte finito: Espectrograma não atende Localização no tempo localização na frequência. Há inúmeras janelas utilizáveis, a escolha deve ser criteriosa. O espectrograma mistura sinal e janela simetricamente. A interpretação de resultados deve ser cuidadosa. É possível desacoplar o efeito da janela?

10 Espectrograma Exemplos Análise de Fourier de Tempo Curto de s(t) = e j10t + δ(t 10) em três casos: (a) janela muito curta, (b) muito longa e (c) intermediária. Fig 7.1 Análise de Fourier de Tempo Curto de onset senoidal com janelas curta e longa.

11 Espectrograma Grandezas Globais Médias: t (SP) = t S t (ω) 2 dtdω = t (s) t (h) Se a janela for simétrica no tempo, t resulta correto. ω (SP) = ω S t (ω) 2 dtdω = ω (s) + ω (h) Se a janela for simétrica na frequência, ω resulta correta. Momentos de segunda ordem: t 2 (SP) = t 2 (s) + t 2 (h) 2 t 2 (s) t 2 (h) TSP 2 = T s 2 + Th 2 (h escorrega sobre s) Duração: composição das durações do sinal e da janela. ω 2 (SP) = ω 2 (s) + ω 2 (h) + 2 ω 2 (s) ω 2 (h) BSP 2 = B2 s + Bh 2 (H é convoluído com S) Largura espectral: composição das largura espectrais do sinal e da janela. Covariância: Desenvolvendo tω SP = tω S t (ω) 2 dtdω, Cov (SP) tω = tω (SP) t (SP) ω (SP) = Cov (s) tω Cov(h) tω = 0, e Cov tω resulta correta. Para janelas reais, Cov (h) tω

12 Espectrograma Preparação para cálculo de grandezas locais s t (τ) é função do tempo τ com espectro S t (ω) t é parâmetro s t (τ) = A(τ)A h (τ t)e j[ϕ(τ)+ϕ h(τ t)] com espectro S t (ω) = B(ω)B H (ω ω)e j[ψ(ω)+ψ H(ω ω)] Sinal normalizado: ŝ t (τ) = s(τ)h(τ t) = s(τ)h(τ t) s(τ)h(τ t) 2 dτ P(t) com espectro Ŝt(ω) = 1 2π ŝt (τ)e jωτ dτ

13 Espectrograma Grandezas locais no tempo Grandezas locais em t: É possível escrever g(ω) t = 1 P(t) g(ω) St (ω) 2 dω como integral em τ Calculando-se ω t e ω 2 t, servirão como estimativas das propriedades do sinal A estimativa Bt 2 = ω 2 t ω 2 t pode resultar negativa. Melhor usar a definição. Todos aparecem como funções da janela. Somente fazendo-se A 2 h (t) δ(t) é que ω t ω i (t) Mas... B t

14 Espectrograma Grandezas locais na frequência Grandezas locais em ω: É possível escrever g(t) ω = 1 P(ω) g(t) St (ω) 2 dt como integral em ω Calculando-se t ω e t 2 ω, servirão como estimativas das propriedades do sinal A estimativa Tω 2 = t 2 ω t 2 ω pode resultar negativa. Melhor usar a definição. Todos aparecem como funções da janela. Somente fazendo-se BH 2 (ω) δ(ω) é que t ω t g (ω) Mas... T ω

15 Espectrograma Inversão É possível obter s(t) a partir de S t (ω) 2 (inverter o espectrograma)? Λ s (θ, τ) = M SP(θ,τ) Λ h ( θ,τ) = 1 Λ h ( θ,τ) St (ω) 2 e jθt+jτω dtdω s ( t 1 2 τ) s ( t τ) = 1 2π Λs (θ, τ)e jθt dθ Fazendo t = τ 2 e em seguida τ = t, s(t) = 1 θt j 2πs (0) Λs (θ, t)e 2 dθ O espectrograma é inversível a menos de uma eventual fase constante no sinal (que é multiplicado por seu conjugado) Λ h (θ, τ) não pode ter regiões nulas finitas em (θ, τ)

16 Definição e discussão inicial Conclusão Representação tempo-frequência qualitativamente diferente do espectrograma: só envolve o sinal a analisar Definição: W (t, ω) = 1 2π s ( t 1 2 τ) s ( t τ) e jτω dτ W (t, ω) = 1 2π S ( ω θ) S ( ω 1 2 θ) e jtθ dθ É bilinear Tem a mesma forma nos dois domínios Estuda a correlação entre versões espelhadas do sinal. Figs. 8.1 e 8.2

17 -1 Conclusão Suporte finito fraco: Atende Suporte finito forte: Não atende Função Característica: M(θ, τ) = W (t, ω)e jθt+jτω dtdω = s ( t 1 2 τ) s ( t τ) e jθt dt = Λ s (θ, τ) (ambiguidade) M(θ, τ) = S ( ω θ) S ( ω 1 2 θ) e jτω dω Distribuição real: W (t, ω) = W (t, ω) W (t, ω) R, mas admite valores negativos Simetria: Para s(t) R (ou S(ω) = S( ω)), W (t, ω) = W (t, ω) Para S(ω) R (ou s(t) = s( t)), W (t, ω) = W ( t, ω)

18 -2 Conclusão Marginais: M(θ) = M(θ, 0) = s(t) 2 e jθt dt P(t) = s(t) 2 M(τ) = M(0, τ) = S(ω) 2 e jτω dω P(ω) = S(ω) 2 Atende Energia: Como consequência, atende Deslocamentos: s(t) e jω 0t s(t t 0 ) W (t, ω) W (t t 0, ω ω 0 ) Grandezas globais g(t, ω) = g(t, ω)w (t, ω)dtdω Pelo atendimento das marginais, fornece corretamente: g(t) e g(ω) Tempo Médio e Frequência Média Duração e Largura Espectral Covariância Atende Princípio da Incerteza (pelo atendimento das marginais)

19 -3 Conclusão Grandezas locais: Frequência instantânea: ω t = ω i (t), como esperado Atraso de grupo: t ω = t g (ω), como esperado Largura espectral instantânea: σ 2 ω t = 1 2 [ ( A (t) A(t) ) 2 A (t) A(t) que pode resultar negativa; com isso, B t pode se tornar complexo (sem interpretação) Positividade: Sinal mais geral que resulta em W (t, ω) > 0: Chirp gaussiano s(t) = ( α 4 4 e 1 2 αt 2 +j 1 2 βt 2 +jω 0 t, com α > 0, β > 0 e ω 0 > 0 W (t, ω) = 1 π e αt 2 (ω βt ω 0 )2 α Exemplo com W (t, ω) com valores negativos. Fig. 8.4 ], ) 1

20 -4 Conclusão cruzada: ( W 12 (t, ω) = 1 2π s1 t 1 2 τ) ( s 2 t τ) e jτω dτ ( W 12 (t, ω) = 1 2π S1 ω θ) ( S 2 ω 1 2 θ) e jtθ dθ Distribuição da soma de dois sinais s(t) = s 1 (t) + s 2 (t): W (t, ω) = W 11 (t, ω) + W 12 (t, ω) + W 21 (t, ω) + W 22 (t, ω) W (t, ω) = W 11 (t, ω) + W 22 (t, ω) + 2R[W 12 (t, ω)] Termo cruzado, ou de interferência afeta visualização (indesejável?). Fig. 8.6 Nota: Sinal real pode ser visto como soma de 2 complexos conjugados. A distribuição de Wigner indica quando um sinal é multicomponente, quase sempre. Fig. 8.5

21 -5 Conclusão Inversão e Unicidade: s ( t 1 2 τ) s ( t τ) = W (t, ω)e jτω dω Fazendo t = τ 2 e em seguida τ = t, s(t) = 1 s (0) W ( t 2, ω) e jtω dω A distribuição de Wigner é inversível a menos de uma eventual fase constante no sinal (que é multiplicado por seu conjugado) Representatividade: Nem toda função de t e ω é uma distribuição de Wigner representável ou realizável (tem um sinal associado a ela). Ex.: Funções estritamente positivas (exceto a associada ao Chirp gaussiano) não são realizáveis. Teste: Função candidata é distribuição de Wigner realizável se o sinal obtido por sua reversão ao tempo gerar distribuição de Wigner igual a ela.

22 -6 Conclusão Extensão dos termos cruzados: ( ) { t t1 +t 3 2, t 2+t 4 s1 (t)=0 t (t 2, se 1, t 2 ) s W 12 (t, ω)=0 2 (t)=0 t (t 3, t 4 ) ω ( { ω 1 +ω 3 2, ω ) 2+ω 4 S1 (ω)=0 ω (ω 2, se 1, ω 2 ) S 2 (ω)=0 ω (ω 3, ω 4 ) Produto e Convolução No tempo: s(t) = s 1 (t)s 2 (t) W (t, ω) = W 1 (t, ω )W 2 (t, ω ω )dω Na frequência: S(ω) = S 1 (ω)s 2 (ω) W (t, ω) = W 1 (t, ω)w 2 (t t, ω)dt

23 Discussão Adicional Conclusão Com o uso de sinal analítico: W (t, ω) = 0 ω < 0 evitam-se termos cruzados entre espectro em ω < 0 e espectro em ω > 0 espalha ruído. Fig. 8.7 Modificações da tentam garantir positividade e/ou reduzir termos cruzados. Custo: perder boas propriedades (ex. marginais) É possível converter qualquer distribuição t ω em outra Há método geral sistematizado para gerar distribuições t ω

24 Conclusão Espectrograma Espectrograma é família de distribuições (escolha da janela) Wigner atende marginais (e condições consequentes) Espectrograma é positivo Wigner resolve melhor multicomponentes Wigner gera artefatos sem interpretação direta Wigner informa corretamente ω i e t g Princípio da Incerteza: em Wigner, diz dos limites do sinal no espectrograma, diz dos limites do método.

25 Conclusão Espectrograma Sinais multicomponentes: Fig. 8.8 Som de contração muscular: Fig. 8.9 Som de aneurisma: Fig. 8.10

26 Cohen, L., Time-Frequency Analysis, Prentice-Hall, Haykin, S., Van Veen, B., Sinais e Sistemas, Bookman, Capítulos 1, 2 e 3.