Prof. Walter Fetter Lages 4 de outubro de 2004

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1 Universidade Federal do Rio Grande do Sul Escola de Engenharia Departamento de Engenharia Elétrica Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica ELE7-Tópicos Especiais em Automação e Controle II Introdução Descrição de Sinais Aleatórios Prof. Walter Fetter Lages 4 de outubro de 24 Em geral, um sinal representa uma grandeza física como tensão, corrente, distância, temperatura, etc. Portanto, sinais são variáveis reais. Além disso, o tempo usualmente é a variável independente. Um sinal é dito determinístico se ele é exatamente previsível para o intervalo de tempo de interesse. Por exemplo: x(t) = A cos ωt com A e ω constantes {, t x(t) =, t < Note que não existem incertezas sobre estes sinais. Sabendo-se o valor de t pode-se determinar x. Eles são descritos por funções matemáticas convencionais, relacionando x e t. No entanto, o conhecimento da função matemática relacionando x e t não é necessário para que o sinal seja determinístico, basta que que se saiba conceitualmente que tal função existe. Um sinal aleatório, por sua vêz, sempre possui um elemento de incerteza associado e, portanto, não é previsível no sentido determinístico. Por exemplo: X(t) = A cos ωt + θ com A e ω constantes e θ uma variável aleatória com distribuição uniforme entre e 2π X(t) = A cos ωt + θ com ω constantes e A e θ variáveis aleatórias com distribuições independentes Frequentemente durante a modelagem faz-se esta hipótese, ainda que de forma implícita

2 2 Amostragem e Realizações de um Sinal Estocástico Considere a amostragem de um sinal de ruído com o mostrado na figura em um determinado instante de tempo t. O valor obtido é determinado basicamente pelo acaso, o que sugere tratar-se de um sinal aleatório. No entanto, para terse uma variável aleatória é necessário que se possa imaginar um experimento no qual qualquer valor da variável aleatória possa ser obtido em circunstâncias idênticas. Assim, não seria adequado amostrar-se novamente o mesmo sinal em outros instantes de tempo, porque se os instantes de tempo forem próximos, haverá uma forte conexão entre amostras sucessivas. O experimento correto, neste caso seria ter-se várias fontes idênticas do sinal de ruído. Isto leva á noção de um conjunto de sinais aleatórios, como mostrado na figura 2. Figura : Sinal de Ruído. Um processo aleatório é um conjunto de variáveis aleatórias que evoluem no tempo segundo algum experimento conceitual de acaso. Cada um dos sinais de ruído gerados deste modo é denominado realização do processo. Amostras dos sinais individuais em um determinado instante de tempo são denominadas amostras da realização da variável aleatória. Em situações práticas, as realizações são associadas aos ensaios realizados no sistema, enquanto as amostras seriam os valores assumidos pelas variáveis do sistema. Como exemplo, considere um sistema de controle sujeito a uma entrada degrau. A resposta a cada degrau aplicado na entrada do sistema seria uma realização, enquanto os valores assumidos pela saída do sistema seriam as amostras. Os exemplos acima são processos aleatórios contínuos, no entanto, processos aleatórios também podem ser discretos, tanto no tempo quanto na amplitude das variáveis aleatórias. 2

3 Figura 2: Conjunto de Sinais de Ruído. 3 Descrição Probabilística de um Sinal Aleatório Um sinal aleatório típico é mostrado na figura 3. Os instantes de tempo t, t 2,..., t k foram escolhidos de forma ascendente e as amostras correspondentes X, X 2,..., X k, são, obviamente, variáveis aleatórias. Para simplificar a notação, seja X(t ) = X, X(t 2 ) = X 2,..., X(t k ) = X k. Figura 3: Sinal de Aleatório Típico. Obviamente, as funções de densidade de probabilidade de primeira ordem f X (x), f X2 (x),..., f Xk (x) são importantes para descrição do processo porque indicam a distribuição da amplitude do processo. Estas distribuições a distribuição relativa das amplitudes do processo e da sua média e valor médio quadrático. 3

4 As distribuições conjuntas relacionando qualquer par de variáveis aleatórias, f X X 2 (x, x 2 ), f X X 3 (x, x 3 ), etc. também são importantes. Estas funções de densidade estão relacionadas com a rapidez da variação do sinal com o tempo e consequentemente com o conteúdo espectral do sinal. Continuando, as funções de densidade de terceira, quarta e ordens superiores fornecem informações ainda mais detalhadas sobre o processo em termos probabilísticos. No entanto, isto leva a uma descrição do sinal bastante longa, além de usualmente não ser possível especificar as funções de densidade de ordem elevada explicitamente. Assim, é usual descrever o sinal através de palavras ou de outras informações de forma que se possa escrever a função densidade de qualquer ordem. Da teoria de probabilidade sabe-se que duas variáveis aleatórias X e Y são ditas estatisticamente independentes se a sua função de distribuição conjunta pode ser escrita na forma de produto f XY (x, y) = f X (x)f Y (y) Similarmente, processos aleatórios X(t) e Y (t) são estatisticamente independentes se a densidade conjunta para qualquer combinação de variáveis aleatórias dos dois processos pode ser escrita em forma de produto. Isto é, X(t) e Y (t) são independentes se f X X 2...Y Y 2... = f X X 2...f Y Y 2... () Note que na expressão () se está utilizando a notação X = X(t ), X 2 = X(t 2 ),..., Y = Y (t ), Y 2 = Y (t 2 ),..., onde os instantes de amostragem não precisam ser os mesmos para os dois processos. Em resumo, o teste de completude para a descrição do sinal é se existe informação suficiente para escrever a função densidade de probabilidade para qualquer ordem. 4 Processo Aleatório Gaussiano Um processo aleatório Gaussiano ou normal é definido como um processo aleatório no qual todas as funções de densidade que descrevem o processo são normais. Note que não é suficiente que apenas a amplitude do processo seja normalmente distribuída. Todas as funções densidade de ordem superior também devem ser normais. A notação matricial permite escrever-se todas as k funções densidade em uma forma compacta, independentemente do tamanho de k. É necessário apenas especificar-se o vetor de média da variável aleatória e a matriz de covariância. No caso de um processo aleatório gaussiano as variáveis são X(t ), X(t 2 ),..., X(t k ) 4

5 onde os pontos no tempo podem ser escolhidos arbitrariamente. Logo, deve ser fornecida informação suficiente para especificar a média e a variância independentemente da escolha de t, t 2,..., t k. 5 Processos Estacionários e Ergódigos Um processo aleatório é dito ser estacionário no tempo ou simplesmente estacionário se as funções densidade que descrevem o processo forem invariantes com relação à translações no tempo. Ou seja, se for considerado um conjunto de variáveis aleatórias X = X(t ), X 2 = X(t 2 ),..., X k = X(t k ) e o conjunto transladado X = X(t + τ), X 2 = X(t 2 + τ),..., X k = X(t k + τ), as funções de densidade f X, f X X 2,..., f X X 2...X k que descrevem o primeiro conjunto seriam idênticas às funções que descrevem o conjunto transladado. Note que isto aplica-se a todas as funções de densidade de ordem superior. Um processo aleatório é dito ergódigo se a média no tempo é equivalente á média nas realizações. Em termos qualitativos isto significa que as amostras temporais de uma única realização do processo contém toda a variação estatística do processo. Portanto, nenhuma informação adicional será obtida observando-se diversas realizações do processo além daquela já obtida observando-se uma única realização ao longo do tempo. No caso de processos físicos raramente pode-se justificar estacionaridade ou ergodicidade formalmente. Assim, frequentemente deve-se utilizar conhecimento heurístico sobre o processo e fazer a hipótese adequada. 6 Função de Autocorrelação A função de autocorrelação de um processo aleatório X(t) é definida como R X (t, t 2 ) = E[X(t )X(t 2 )] onde t e t 2 são instantes de amostragem arbitrários. Claramente a função de autocorrelação indica o quanto o processo é correlacionado com ele próprio em dois instantes de tempo diferentes. Se o processo é estacionário a sua função densidade de probabilidade é invariante no tempo e a função de autocorrelação depende apenas da diferença de tempo. Ou seja R X (τ) = E[X(t)X(t + τ)] no caso estacionário Estacionaridade garante que a esperança não é dependente do tempo. A função de autocorrelação é a média nas realizações do produto de X(t ) e X(t 2 ) e portanto pode ser escrita formalmente como 5

6 R X (t, t 2 ) = E[X, X 2 ] = x x 2 f X X 2 (x, x 2 )dx dx 2 (2) A expressão (2) frequentemente não é a melhor forma de determinar R X devido a necessidade de conhecer-se explicitamente a função de densidade conjunta f X X 2 (x, x 2 ). Se a hipótese de ergodicidade aplica-se, é geralmente mais fácil computar R X através da média temporal ao invés da média nas realizações. Para processos aleatórios não ergódigos define-se a função de autocorrelação temporal como T R X (τ) = lim X A (t)x A (t + τ)dt (3) T T onde X A (t) denota uma realização do processo X(t). Exemplo Considere o processo aleatório X(t) = A sin ωt onde A é uma variável aleatória normal com média zero e variância σ 2 e ω é uma constante. Suponha que obtém-se uma amostra de A e que seu valor seja A. A amostra correspondente de X(t) é X A (t) = A sin ωt e a função de autocorrelação temporal será T R X (τ) = lim A sin ωta sin ωtdt T T = A2 2 Por outro lado, a função de autocorrelação usual é cos ωτ (4) R X (t, t 2 ) = E[X, X 2 ] = E[A sin ωta sin ωt] = σ 2 sin ωt sin ωt 2 (5) Obviamente esta expressão é diferente da obtida para R X (τ), portanto o processo não é ergódigo. Adicionalmente a função de autocorrelação não reduz-se à uma função de t t 2, logo o processo não é estacionário. 6

7 7 Propriedades das Funções de Autocorrelação. R X () é o valor médio quadrático do processo X(t). 2. R X (τ) é uma função par de τ. Este resultado vem da hipótese de estacionaridade. No caso não estacionário existe simetria com relação a t e t 2, ou seja R X (t, t 2 ) = R X (t 2, t ). 3. R X (τ) R X () para todo τ. 4. Se X(t) contém um componente periódico, R X (t) também conterá um componente com o mesmo período. 5. Se X(t) não contém componentes periódicos, então R X (t) tende a zero quando τ. Ou seja, X(t + τ) torna-se completamente descorrelacionado com X(t) para τ grande se não há periodicidades ocultas no processo. Note que constante é um caso especial de função periódica, logo R X ( ) = implica média zero para o processo. 6. A transformada de Fourier de R X (τ) é real, simétrica e não negativa. Estacionaridade estrita é um requisito severo e difícil de verificar porque exige que todas as funções de densidade de probabilidade de ordens superiores sejam invariantes com relação a uma translação no tempo. Uma forma menos exigente de estacionaridade é frequentemente utilizada ou assumida. Um processo aleatório é dito ser estacionário em covariância ou estacionário em sentido amplo se E[X(t )] é independente de t e E[X(t )X(t 2 )] depende apenas da diferença entre t e t 2. Obviamente, se a densidade de segunda ordem f X X 2 (x, x 2 ) é independente do valor inicial do tempo, o processo é estacionário em covariância. 8 Função de Correlação Cruzada A função de correlação cruzada entre os processos X(t) e Y (t) é definida como R XY (t, t 2 ) = E[X(t )Y (t 2 )] (6) Novamente, se o processo for estacionário, apenas a diferença de tempo entre os pontos amostrados é relevante e a função de correlação reduz-se à R XY (τ) = E[X(t)Y (t + τ)] para o caso estacionário A função de correlação cruzada reflete o quanto os dois processos estão correlacionados entre sí. 7

8 Note que a ordem dos subscritos em R XY (τ) é importante e que existe uma relação de anti-simetria para processos estacionários. Por definição R XY (τ) = E[X(t)Y (t + τ)] (7) R Y X (τ) = E[Y (t)x(t + τ)] (8) A esperança na expressão 8 é invariante com relação à uma translação de τ. Portanto, R Y X (τ) também é dado por R Y X (τ) = E[Y (t τ)x(t)] (9) Comparando-se as expressões (7) e (9) pode-se perceber que R XY (τ) = R Y X ( τ) () Frequentemente é necessário calcular a soma de processos aleatórios. Seja um processo aleatório Z(t) a soma de dois processos estacionários X(t) e Y (t): Z(t) = X(t) + Y (t) A função de autocorrelação de Z(t) é R Z (τ) = E {[X(t) + Y (t)][x(t + τ) + Y (t + τ)]} = E[X(t)X(t + τ)] + E[Y (t)x(t + τ)] + E[X(t)Y (t + τ)] + E[Y (t)y (t + τ)] = R X (τ) + R Y X (τ) + R XY (τ) + R Y (τ) () Se X e Y forem processos descorrelacionados, os termos do meio da expressão (), tem-se R Z (τ) = R X (τ) + R Y (τ) para X e Y descorrelacionados (2) Este resultado pode, obviamente, ser generalizado para mais de dois processos. 9 Função de Densidade Espectral de Potência Se a função de autocorrelação decai rapidamente com τ, o processo varia rapidamente com o tempo e vice-versa. Portanto, pode-se suspeitar que a função de autocorrelação contém informação sobre o conteúdo frequencial do sinal. Esta relação é conhecida como relação de Wiener-Khinchine: 8

9 S X (jω) = F [R X (τ)] = R X (τ)e jωτ dτ (3) onde S X é denominada função de densidade espectral de potência Note que se o processo X(t) é estacionário, ele não é absolutamente integrável e portanto a integral da transformada de Fourier não converge. Logo, se é forçado a considerar uma versão truncada do processo, X T (t), que é truncado para zero fora da faixa de tempo T. Assim, a transformada de Fourier de uma realização do processo truncado existirá. Seja F [X T (t)] a transformada de Fourier X T (t). Para um conjunto de realizações de X T (t), haverá um conjunto de realizações de F [X T (t)]. Portanto, F [X T (t)] é estocástica assim como X T (t). Pode-se demonstrar que a função densidade espectral de potência pode ser calculada através da seguinte esperança: [ ] E T F [X T (t)] 2 onde o argumento da esperança é denominado periodograma do sinal. A esperança do periodograma de um sinal dentro do intervalo de tempo [, T ] pode ser escrita como [ ] E T F [X T (t)] 2 [ T ] T = E X(t)e jωt dt X(s)e jωs ds T = T T E [X(t)X(s)] e jω(t s) dtds (4) T Assumindo-se X(t) estacionário, E[X(t)X(s)] torna-se R X (t s), e a expressão (4) torna-se [ ] E T F [X T (t)] 2 = T T R X (t s)e jω(t s) dsdt T Ou, fazendo-se a troca de variáveis τ = t s: [ ] E T F [X T (t)] 2 = T t T R X (τ)e jωτ dτdt T t A região de integração é mostrada na figura 4. Invertendo-se a ordem de integração e integrando-se as duas regiões triangulares separadamente tem-se [ ] E T F [X T (t)] 2 = T t+t T R X (τ)e jωτ dtdτ+ T 9 T T τ R X (τ)e jωτ dtdτ

10 Figura 4: Região de Integração no plano τt. Integrando-se com relação a t, resulta [ ] E T F [X T (t)] 2 = T T (τ + T )R X (τ)e jωτ dτ+ T T (T τ)r X (τ)e jωτ dτ que pode ser escrita como [ ] E T F [X T (t)] 2 = ( T τ ) R X (τ)e jωτ dτ T T O fator τ pode ser encarado como um fator de ponderação que aproximase da unidade quando T torna-se grande, principalmente se R X (τ) tender para T zero quando τ torna-se grande, o que ocorre quando X(t) não contém componentes periódicos. Logo, quanto T cresce, tem-se a seguinte relação: [ ] lim E T T F [X T (t)] 2 = R X (τ)e jωτ dτ (5) É a expressão (5) que relaciona a função espectral S X (t) ao espectro como no sentido determinístico usual. A função de densidade espectral como definida pela expressão (3) é um conceito probabilístico. Por outro lado, periodograma é um

11 conceito espectral no sentido usual, relacionado com a transformada de Fourier do sinal. Devido aos atributos da função de autocorrelação R X (τ), a sua transformada de Fourier S X (jω) é sempre uma função real, não negativa e simétrica de ω. Exemplo 2 Considere um processo estocástico X(t) cuja função de autocorrelação seja R X (τ) = σ 2 e β τ onde β e τ são constantes conhecidas. A função de densidade espectral do processo X(t) será: S X (jω) = F [R X (τ)] = R X e S X estão esboçados na figura 5 σ2 jω + β + σ 2 jω + β = 2σ2 β ω 2 + β 2 Figura 5: Funções de Autocorrelação e Densidade Espectral. Ás vezes é conveniente escrever a função de densidade espectral em termos da frequência complexa s. Isto pode ser feito substituindo-se jω por s. Da teoria da transformada de Fourier, sabe-se que a transformada inversa da função de densidade espectral resulta na função de autocorrelação, ou seja F [S X (jω)] = 2π Ou, fazendo-se τ = : S X (jω)e jωτ dω = R X (τ) R X () = E [ X 2 (t) ] = S X (jω)dω (6) 2π A expressão (6) fornece um meio de calcular o valor médio quadrático de um processo estacionário, dada a sua função de densidade espectral. Se for usada a frequência complexa s ao invés de jω, a expressão (6) torna-se

12 E [ X 2 (t) ] = j S X (s)ds (7) 2πj j As expressões (6) e (7) sugerem que pode-se considerar a potência do sinal como sendo distribuída em frequência de acordo com S X (jω). Com este conceito, pode-se obter a potência em uma faixa finita de frequências integrando-se sobre esta faixa: [Potência na faixa ω ω ω2] = ω S X (jω)dω + ω2 S X (jω)dω 2π ω 2 2π ω Função de Densidade Espectral Cruzada As funções de densidade espectral cruzada para processos estacionários X(t) e Y (t) são definidas como S XY (jω) = F [R XY (τ)] = S Y X (jω) = F [R Y X (τ)] = R XY (τ)e jωτ dτ (8) R Y X (τ)e jωτ dτ (9) As funções de correlação cruzada R XY e R Y não são necessariamente funções pares de ω. Logo, as funções de densidade espectral cruzada correspondentes não são usualmente reais. Da expressão () pode-se concluir que e, portanto, que a soma de S XY (jω) e S Y X (jω) é real. Define-se função de coerência como: S XY (jω) = S Y X(jω) (2) γ 2 XY = S XY (jω) S X (jω)s Y (jω) (2) A função de coerência é uma medida semelhante ao coeficiente de correlação, porém no domínio da frequência. Se Z(t) é a soma de dois processos X(t) e Y (t), a densidade espectral de Z(t) á dada por: Da expressão () tem-se S Z (jω) = F [R X+Y (τ)] S Z (jω) = S X (jω) + S Y X (jω) + S XY (jω) + S Y (jω) (22) 2

13 Como no caso da função de autocorrelação, se os processos X(t) e Y (t) são descorrelacionados, os termos do meio da expressão (22) são zero. Portanto, para este caso especial S X+Y (jω) = S X (jω) + S Y (jω) para X(t) e Y (t) descorrelacionados (23) Ruído Branco O ruído branco é definido como sendo um processo aleatório estacionário com uma função de densidade espectral constante. Ou seja Neste caso, a função de autocorrelação é S wn (jω) = A (24) R wn (τ) = Aδ(t) (25) Embora o ruído branco seja definido de forma bastante simples, ele possui variância infinita. Um ruído branco é um processo que está variando com amplitude infinita, infinitamente rápido. No entanto, sistemas físicos são limitados em frequência, de forma que o sinal de saída sempre será limitado em frequência, mesmo que se assuma uma entrada igual à um ruído branco. Ruído branco limitado em frequência é um processo aleatório cuja amplitude espectral é constante em uma faixa limitada de frequências e zero fora desta faixa. Se a faixa de frequências inclui a origem (sinal de banda básica) tem-se S bwn (jω) = { A, ω ωc, ω > ω c (26) onde ω c é a largura de banda. A função de autocorrelação correspondente é R bwn (τ) = Aω c π sin ω c τ ω c τ (27) Os gráficos da autocorrelação e da função de densidade espectral estão esboçados na figura 6. Note-se que a função de autocorrelação para um ruído branco de banda básica limitado em frequência é zero para τ = π/ω c, 2π/ω c, 3π/ω c,.... Se o processo é amostrado com uma taxa de 2ω c o conjunto resultante de variáveis aleatórias é descorrelacionado. A faixa de frequência do ruído branco limitado em frequência pode ser deslocada da origem e centrada em outra frequência ω. As funções de autocorrelação e densidade espectral para este caso são: 3

14 Figura 6: Funções de Autocorrelação e Densidade Espectral para um Ruído Branco de Banda Básica Limitado em Frequência. S(jω) = { A, ω ω c ω ω + ω c, ω < ω ω c e ω > ω + ω c (28) R(τ) = A [ (ω + ω c ) sin (ω + ω c )τ π (ω + ω c )τ = 2Aω c sin ω c τ π ω c τ (ω ω c ) sin (ω ω c )τ (ω ω c )τ cos 2ω t (29) Estas funções estão esboçadas na figura 7. O ruído branco limitado em frequência possui um valor RMS finito e portanto é fisicamente factível, enquanto o ruído branco não o é. No entanto, o tratamento matemático do caso limitado em frequência é, em geral, mais complicado do que para o ruído branco puro. 2 Processo de Gauss-Markov Um processo gaussiano estacionário com autocorrelação exponencial é denominado processo de Gauss-Markov. A autocorrelação e a função de densidade espectral para este processo tem a forma: S X (jω) = R X (τ) = σ 2 e β τ (3) 2σ2 β ω 2 + β 2 ou S X(s) = 2σ2 β s 2 + β 2 (3) Estas funções estão esboçadas na figura 8. O valor médio quadrático do processo e a constante de tempo são dados, respectivamente por σ 2 e /β. Como 4 ]

15 Figura 7: Funções de Autocorrelação e Densidade Espectral para um Ruído Branco de Banda Básica Limitado em Frequência Deslocado em Frequência. o processo é não determinístico, uma função construída por amostras deste sinal não possui qualquer estrutura determinística e parece ruído. A autocorrelação exponencial indica que as amostras do processo tornam-se menos correlacionadas quando a separação no tempo entre elas aumenta. A função de autocorrelação tende a zero quando τ, e portanto o valor médio do processo deve ser zero. O processo de Gauss-Markov é importante porque se ajusta a um grande número de processo físicos e possui uma descrição matemática simples. Como no caso dos processos gaussianos estacionários, a especificação da função de autocorrelação do processo define completamente o processo. Ou seja, qualquer função de densidade de probabilidade de ordem superior pode ser escrita explicitamente dada a função de autocorrelação. Exemplo 3 Seja X(t) um processo de Gauss-Markov com função de autocorrelação 5

16 Figura 8: Funções de Autocorrelação e Densidade Espectral para um Processo de Gauss-Markov. R X (τ) = e 2 τ deseja-se escrever explicitamente a função de densidade de probabilidade de terceira ordem f X X 2 X 3 (x, x 2, x 3 ) onde X = X(), X 2 = X(.5) e X 3 = X(). A média do processo é zero, pois é um processo de Gauss-Markov. A matriz de covariância é dada por: C X = = E[X 2] E[X X 2 ] E[X X 3 ] E[X 2 X ] E[X2] 2 E[X 2 X 3 ] E[X 3 X ] E[X 3 X 2 ] E[X3 2] e e 2 e e e 2 e e = R X () R X (.5) R X () R X (.5) R X () R X (.5) R X () R X (.5) R X () E da expressão (32) tem-se f X (x) = { (2π) n/2 C exp [ (x m) T C (x m) ]} (32) /2 2 f X (x) = onde x = [ x x 2 x 3 ] T. C (2π) 2/3 C X /2 e/2(xt X x) 3 Processo de Wiener ou Brownian Motion Considere um integrador cuja entrada seja um ruído branco. A resposta do sistema será dada por 6

17 e a média da saída é [ t E[X(t)] = E t X(t) = F (u)du ] t F (u)du = E[F (u)]du = O valor médio quadrático (variância) da saída é [ t E[X 2 (t)] = E t ] t t F (u)du F (v)dv = E[F (u)f (v)]dudv Mas E[F (u)f (v)] é a função de autocorrelação R F (u v), que neste caso é a função delta de Dirac. Logo E[X 2 (t)] = t t δ(u v)dudv = t dv = t Portanto, E[X 2 (t)] cresce linearmente com o tempo e o valor RMS cresce de acordo com t. Se for exigido que a entrada seja um ruído branco gaussiano, a saída será um processo gaussiano, já que a integração é uma operação linear sobre a entrada. O processo resultante é denominado processo de Wiener ou brownian-motion. O processo é não estacionário, gaussiano e suas média, variância e autocorrelação são dadas por E[X(t)] = E[X 2 (t)] = t R X (t, t 2 ) = E[X(t )X(t 2 )] = E = t t2 [ t E[F (u)f (v)]dudv = t2 F (u)du t t2 ] F (v)dv δ(u v)dudv R X (t, t 2 ) = { t2, t t 2 t, t < t 2 (33) Um processo de ruído branco gaussiano é difícil de definir, devido ao problema da "variância infinita". Por outro lado, o processo de Wiener é bem comportado. Pode-se, portanto, definir o ruído branco gaussiano em função do processo de Wiener. 7

18 Para tanto, pode-se definir o processo de Wiener como um processo gaussiano cuja função de autocorrelação é dada pela expressão (33). O ruído branco gaussiano é, então, o processo hipotético que, quando integrado, resulta no processo de Wiener. 4 Exercícios. Considere um processo com densidade espectral de potência S X (jω) = 2σ 2 β ω 2 +β 2. Calcule o valor RMS do sinal correspondente. 2. Uma amplificador com a entrada em curto apresenta na sua saída uma tensão RMS de µv. Assumindo-se que o espectro de frequência do ruído é plano de até 25kHz e zero acima de 25kHz, obtenha as expressões para a função de densidade espectral do ruído e da sua função de autocorrelação. 3. Considere o processo aleatório X(t) = 2 sin ωt, onde ω é uma variável aleatória uniformemente distribuída entre ω = 2 e ω = 6. (a) O processo é estacionário? (b) O processo é ergódigo? 4. A entrada de um retificador ideal é um processo gaussiano estacionário. A saída é um processo estacionário? É um processo gaussiano? 5. Calcule a autocorrelação de um sinal aleatório X(t) = at + Y, onde a é uma constante conhecida e Y é uma variável aleatória N(, σ 2 ). 6. Um processo estacionário X(t) possui função de autocorrelação dada por R X (τ) = σ 2 e β τ Um outro processo Y (t) está relacionado com X(t) pela expressão Y (t) = ax(t) + b onde a e b são constante conhecidas. (a) Calcule a autocorrelação de Y (t). (b) Calcule a correlação cruzada R XY (τ). 8