IV CARACTERIZAÇÃO DO CRM EM FAIXA LARGA

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1 IV CARACTERIZAÇÃO DO CRM EM FAIXA LARGA Ao se projetar um sistema de comunicação móvel não é suficiente que se empregue um dos modelos usuais de propagação existentes. É preciso que se refinem tais modelos, principalmente quando se trata de áreas onde o efeito de multipercurso é acentuado, podendose mesmo localizar os espalhadores e determinar parâmetros que caracterizam a influência do canal no sinal recebido. Assim, a caracterização é importante, pois vai contribuir para a modelagem dos CRMs. Neste item é realizado um estudo da caracterização do canal de propagação rádio-móvel, chegando-se a simplificações para o canal real, permitindo que se obtenham seus principais parâmetros a partir do perfil de distribuição da potência recebida num extremo receptor. Caracterizar o canal rádio-móvel é uma tarefa extremamente difícil devido ao fato do mesmo não ser estacionário. Na realidade, contudo, o mesmo pode ser dito estacionário se pequenos intervalos de tempo ou curtas distâncias do percurso forem consideradas. Conforme Parsons, o canal rádio-móvel é inicialmente tratado como um filtro linear deterministicamente variável no tempo, onde a função do sistema é dada pela resposta do impulso, tendo-se a função dual também na frequência. Quando o sistema (filtro) torna-se aleatoriamente variante no tempo, as funções do sistema tornam-se um processo aleatório. Neste caso, uma caracterização estatística exata do canal linear, variando aleatoriamente no tempo, exige o conhecimento de f.d.p.s multidimensionais, não disponíveis. Nesse caso, embora aproximadas, as funções de transferência do sistema se comportam como processos aleatórios caracterizados por funções de correlação. Ao se considerar o canal estacionário no sentido amplo no domínio do tempo e com espalhamento descorrelacionado no domínio de retardo, ou seja, canal WSSUS (Wide-Sense Stationary Uncorrelated Scaterring), as funções de correlação podem ser simplificadas. 4.1) Canais Determinísticos Se h(t;τ), designada "função espalhamento de retardo de entrada", é a resposta de um sistema, obtida num instante t, devido a uma excitação impulsional aplicada há τ segundos, esta representação inclui as contribuições recebidas dos diversos espalhadores contribuindo com diferentes percursos, através da variável de retardo τ. Tal função é, portanto, a envoltória complexa da resposta impulso variante no tempo. O deslocamento Doppler, associado à variação de freqüência devido ao movimento dos espalhadores ou do receptor móvel, acha-se embutido na envoltória complexa de h(t;τ) de forma que, por transformação dupla de Fourier no tempo e retardo, chega-se a uma função H(f;ν), de freqüência e deslocamento Doppler, dual de h(t;τ), e chamada de "função de espalhamento Doppler de entrada". Se y(t) é a envoltória do sinal real x(t), entrada do canal cuja resposta impulsiva é h(t;τ), a saída do canal z(t) é dada por: z(t) = h(t;τ) * y(t) z(t) = h(t;τ) y(t - τ)dτ (181) onde: 1) x(t) = Re[ y(t) e jωct ] e ω c = 2πf c, onde f c é a freqüência da portadora; 2) h(t; τ) =, τ < ; e τ < t garantem a causalidade do sistema; 3) Para canais fisicamente realizáveis o limite inferior da integração é zero, enquanto o 59

2 superior é T, tempo de observação do canal. A função z(t) da eq.(181) representa o canal como uma soma contínua de espalhadores estacionários. Praticamente, pode ser representada por uma soma discreta, na qual cada espalhador elementar é responsável por retardos na faixa (τ, τ + i τ), e apresenta uma flutuação de ganho representada por h(t; i τ) τ. Fisicamente, é representada pelo filtro transversal de linha de retardo mostrado a seguir, na Fig.37. y(t) Linha de retardo τ τ τ h(t; τ) τ h(t; 2 τ) τ X X barramento de soma z(t) Figura 37 - Modelo Físico do Canal no Domínio do Tempo Segundo Bello, a saída do canal, no domínio da freqüência, é dada por: Z(f) = H(f; ν) Y(f - ν) dν (182) que pode ser representada, fisicamente, na Fig.38. Tal equação mostra, explicitamente, o comportamento, variante no tempo, do canal, através da variável de deslocamento Doppler (ν), diferentemente da eq.(181) onde apenas se observa as contribuições dos espalhadores, pelos diferentes comprimentos de percurso (i τ). Cadeia de conversão de freqüência Y(f) ν ν ν H(f; ν). ν H(f; 2 ν). ν barramento de soma Z(f) Figura 38 - Modelo Físico do Canal no Domínio da Frequência 6

3 Tem-se, portanto, a função h(t;τ), no domínio tempo/retardos, como a função de transferência do canal, representando o espalhamento temporal do sinal de entrada, enquanto H(f;ν) é a sua expressão dual, no domínio freqüência/deslocamento Doppler, representando o espalhamento do sinal de entrada na freqüência. Duas outras funções são definidas por Bello e relacionam os domínios tempo e freqüência. Uma delas é S(τ;ν) = F t {h(t;τ)}, a transformada direta de Fourier no domínio do tempo da função h(t;τ), que descreve a dispersão do canal na freqüência devido a um espalhador caracterizado pelo retardo τ. Ela representa a função de transferência do canal no domínio retardo/deslocamento Doppler. Quanto à outra função, T(f; t) = F τ {h(t; τ)}, é a transformada direta de Fourier no domínio do retardo da função h(t; τ) e descreve a variação do canal na freqüência, ao longo do tempo. Tal função representa a função de transferência do canal no domínio da freqüência/tempo. Qualquer dessas 4 funções caracterizam o canal, em diferentes domínios, e podem ser esquematizadas na Fig.39, podendo ser escritas da forma: S(τ; ν) = T(f; t) = H(f; ν) = H(f; ν) = h(t; τ) e -j2 π ν t dt (183) h(t; τ) e -j2 π f τ dτ (184) S(τ; ν) e -j2 π f τ dτ (185) ou T(f; t) e -j2 π ν t dt (186) espalhamento temporal do sinal de entrada h(t; τ) F t F f F ν F τ dispersão Doppler para cada retardo S(τ; ν) F f F τ F ν F t T(f; t) função seletividade ao longo do tempo H(f; ν) espalhamento ns freqüência do sinal de entrada Figura 39 - Diagrama Esquemático das Funções de Sistema Voltando à eq.(181) do sinal de saída e substituindo a função h(t;τ) como a transformada inversa de S(τ;ν) dada a seguir: 61

4 chega-se a: z(t) = h(t;τ) = S(τ;ν) e +j2 π ν t dν (187) y(t - τ) S(τ;ν) e +j2 π ν t dν dt (188) onde a saída z(t) é a soma de sinais de entrada y(t) retardados aleatoriamente e atenuados por S(τ; ν) dν. Substituindo a eq.(184) em (186), obtém-se: H(f;ν) = h(t;τ) e -j2 π f τ dτ e -j2 π ν t dt (189) e observa-se que a função H(f;ν) é a transformada dupla de Fourier, em τ e t, da função h(t;τ). 4.2) Canais Aleatórios O canal rádio-móvel, na prática, funciona como um sistema aleatoriamente variável no tempo, onde as funções do sistema, vistas acima, passam a se comportar como processos estocásticos e, portanto, são descritas pelas funções densidade de probabilidade conjunta multidimensional das variáveis envolvidas, para que possam ser completamente caracterizadas. Para obtenção de tal função seria necessário um número extremamente elevado de medidas. Contudo, para se obter uma estatística completa, é possível se trabalhar de uma forma aproximada com as funções autocorrelação das funções de sistema, obtendo-se as funções autocorrelação do sinal de saída a partir do sinal conhecido de entrada e através da modelagem do sinal de saída por um processo aleatório gaussiano. Assim, seja R z (t,s) é a função autocorrelação do sinal de saída, onde τ e ξ são retardos associados aos instantes de tempo t e s, respectivamente, então: R z (t, s) = E [z(t). z*(s)] (189) onde E [. ] é o valor esperado do produto da saída num instante t e o complexo conjugado da saída num instante s. Substituindo a eq.(181) de z(t) e supondo a entrada y determinística, a média vai aparecer sobre o produto das funções de transferência, ou seja: R z (t,s) = E y(t - τ ) y*(s - ξ ) h(t; τ ) h * (s; ξ) dτ dξ (19) R z (t,s) = Da mesma forma, podem ser obtidas as funções: y(t τ ) y*(s - ξ) [E[h(t; τ) h*(s; ξ)] dτ (191) = R h (t, s; τ, ξ) 1) R z (τ, ξ ) = E [z(τ; ν) z*(ξ; µ)] (192) 62

5 R z (τ, ξ ) = y (τ ν ) y*(ξ - µ) E[h(τ (τ; ν ) h*(ξ; µ )] ν dµ (193) = R S (τ, ξ; ν, µ ) 2) R z (ν, µ ) = E[z(ν; f ) z*(µ; l)] (194) R z ( ν, µ ) = y( ν f) y*(µ - l) E[h(ν; f) h * (µ; l )] df dl (195) = R H ( ν, µ; f, l) 3) R z (f, l) = E [z(f; t) z*(l; s)] (196) R z (f, l) = y(f - t) y*(l - s) E[h(f; t) h*(l; s)] dt ds (197) = R T (f, l; t, s) e as funções autocorrelação do sistema são representadas pelo esquema da Fig.4, onde as variáveis (ν,µ ) são deslocamentos Doppler associados aos tempos (t,s) e as variáveis (f,l) são frequências associadas aos retardos (τ,ξ), respectivamente. R h (t, s; τ, ξ) F t,s F f,l F ν,µ F τ,ξ R S ( τ, ξ; ν, µ) R T (f, l; t, s) F f,l F t,s F τ,ξ F R ν,µ H ( ν, µ ; f, l) Figura 4 - Relações entre as Funções de Correlação do Canal. As relações entre tais funções são descritas pelas equações: R S (τ, ξ ; ν, µ) = F t,s { R h (t, s; τ, ξ) } (198) R T (f, l; t, s) = F τ,ξ { R h (t, s; τ, ξ) } (199) R H (ν, µ; f, l) = F τ,ξ { R S (τ, ξ; ν, µ ) } (2) ou F t,s { R T (f, l; t, s) } (21) 4.2) Canais Reais No caso real, algumas simplificações podem ser obtidas ao se considerar os canais WSSUS, ou seja, estacionários no sentido amplo com espalhadores descorrelacionados. Isto 63

6 equivale a se tomar curtos intervalos de tempo ou pequenas distâncias, onde se podem considerar as estatísticas do canal praticamente estacionárias. Considerando-se, inicialmente, a estacionariedade no sentido amplo (WSS), pode-se dizer que a média estatística não depende do instante de tempo ou da localização e que a função autocorrelação é invariável a uma translação de tempo ou distância. c e para as outras duas funções, usando a definição de transformada direta a duas variáveis, obtém-se: R S (τ, ξ; ν, µ ) = R H (ν, µ; f, l) = Substituindo s = η + t e lembrando que: R h (t, s; τ, ξ) e j2 π (tν - sµ ) dt ds (22) R T (f, l; t, s) e j2 π (t ν - sµ ) dt ds (23) 1 e j2π t ( ν µ ) dt = F{1} = δ( ν - µ ) (24) obtém-se para as eq.(22) e(23): R S (τ, ξ; ν, µ ) = δ( ν µ ) R H (ν, µ; f, l ) = δ( ν µ ) R h ( η; τ, ξ ).e ) j2 π µ η dη (25) R T ( f, l; η ).e -j 2π µ η dη (26) Observa-se que as funções R S e R H só são não nulas quando ν = µ, ponto de existência do impulso δ(ν µ). Isto significa que as variáveis de deslocamento Doppler, ν e µ, são descorrelatadas. As duas últimas integrais em negrito, obtidas nas equações 25 e 26, são as transformadas diretas de Fourier, na variável η, das funções autocorrelação R h e R T, respectivamente, portanto, representam densidades espectrais de potência cruzada retardo-doppler. A 1 a delas é a densidade espectral de potência de retardos (τ,ξ)e deslocamento de freqüência (µ) e a 2 a, é a densidade espectral de potência de freqüências (f, l) e deslocamento (µ), cujas notações são dadas a seguir. P S (µ; τ, ξ ) = R h (η; τ, ξ) e j2 π η µ dη (27) P H (f, l; µ) = R T (f, l; η) e -j2π η µ dη (28) A caracterização WSS no tempo equivale, pois, a uma descorrelação no domínio dos deslocamentos Doppler e as funções autocorrelação, relativas aos deslocamentos, passam a funções de densidade espectral de potência, ou seja: 64

7 R S (τ, ξ ; ν,µ) = δ(ν - µ) P S (µ; τ, ξ) (29) R H ( ν, µ; f, l) = δ(ν - µ) P H (f, l; µ) (21) O comportamento singular da função R S, com relação à variável de deslocamento Doppler, sugere que: num modelo de canal composto de um número de espalhadores elementares, cada qual produzindo retardo e deslocamento Doppler, as contribuições dos espalhadores elementares são descorrelacionadas se eles produzem diferentes deslocamentos Doppler, pois se estes forem iguais, R S e R H serão nulos. Sendo o processo estacionário no sentido amplo, também no domínio da frequência, podese tomar a variável Ω = l f, dizendo que a função só varia com a variação de Ω, e não com as freqüências em si. Assim,definindo as transformadas inversas: R h (t, s ; τ, ξ) = R S (ν,µ; f, l) = Tomando-se f = l - Ω df = dω e, na eq.(211) e (212), tem-se: R T (t, s; f, l) e -j2 π (τf - ξl) df dl (211) R H (τ, ξ ; ν,µ) e -j2 π (τf - ξl) df dl (212) R h (t, s ; τ, ξ) = R T (t, s; Ω) e j2 π (τ - ξ)l dl e j2πτω dω R S (ν,µ; τ, ξ) = e, sendo a integral entre chaves: obtém-se: R h (t, s ; τ, ξ) = R S (ν,µ; τ, ξ) = R H (Ω ; ν,µ) R h (t, s ; τ, ξ) = δ(τ - ξ) R S (ν,µ; Ω) = δ(τ - ξ) e j2 π (τ - ξ)l dl e j2πτω dω e j2 π (τ - ξ)l dl = δ(τ - ξ) (213) R T (t, s; Ω) δ(τ - ξ) e j2πτω dω R H (Ω ; ν,µ) δ(τ - ξ)e j2πτω dω R T (t, s; Ω) e j2πτω dω (214) R H (Ω ; ν,µ) e j2πτω dω (215) 65

8 e as integrais representam as transformadas inversas das funções autocorrelações em freqüência e são, portanto, funções densidades espectrais de potência cruzada retardo- Doppler, ou seja: P h (t,s;τ) = R T (t, s; Ω) e j2πτω dω (216) P S ( τ;ν,µ) = R H (Ω ; ν,µ) e j2πτω dω (217) Dessa forma, reescrevendo as eq.(214) e (215), obtém-se: R h (t, s; τ, ξ) = δ(τ - ξ) P h (t,s; τ) (218) R S (ν, µ; Ω) = δ(τ - ξ) P S ( τ; ν, µ) (219) Nestas duas equações, observa-se que só existe correlação quando τ = ξ, ou seja, os ecos associados a retardos τ e ξ, causados por diferentes percursos, apresentam descorrelação. Isto significa que os espalhadores são descorrelacionados (US). Dessa forma, substituindo a eq.(218) na eq.(27), obtém-se: P S (µ; τ, ξ ) = R h (η; τ, ξ) e j2 π η µ dη = δ(τ - ξ) P h (η; ξ)e j2 π η µ dη (22) P S (µ; ξ) = P h (η;ξ) e j2 π ηµ dη (221) e P S é dada pela transformada direta da função densidade espectral de potência, P h. Juntando-se com as duas considerações, de WSS e US, forma-se uma classe de processos estacionários no sentido amplo, na variável do tempo, e com espalhamento descorrelacionado, na variável dos retardos, onde os canais são ditos WSSUS, ou seja, estacionários no sentido amplo com espalhadores descorrelacionados. Re-escrevendo as eq.(218),(219) e (21) e mais a de R S, obtidas: R h (t, s; τ, ξ) = δ(τ - ξ) P h (η; ξ) (222) R S (ξ,τ ; ν, µ) = δ(τ - ξ) δ(ν - µ) P S (ξ; µ) (223) R T (f, l; t, s) = R T (Ω; η) (224) R H ( ν, µ; f, l) = δ(ν - µ) P H ( Ω; µ) (225) Substituindo-se a eq.(224) na (28),obtém-se: 66

9 P H (Ω; µ) = R T (Ω; η) e -j2π η µ dη (226) e P H é dada pela transformada direta da função correlação R T. Uma vez medido P h (η;ξ), pode-se obter as outras funções P S, P H e R T conforme verificado nas eq.(221), (226) e (199), respectivamente. Lembrar que η e Ω são, respectivamente, intervalos de tempo e freqüência. Observa-se, portanto, que as densidades espectrais de potência se relacionam via transformadas de Fourier, conforme mostra a Fig.41, para os canais WSSUS, em pequena escala. F η P h (η; ξ) F ξ P S (ξ; µ) R T ( Ω; η) F ξ F η P H (Ω; µ) Figura 41 Relações Entre as Funções de Correlação dos Canais WSSUS As funções P h (η; ξ) e P H (µ; Ω) são denominadas, respectivamente, perfil de potência de retardo e perfil de Doppler. Conhecendo-se uma das funções, qualquer outra pode ser determinada através da transformada de Fourier. Resta saber como obter, na prática, tal função. Voltando à eq.(191) de R z (t,s), da autocorrelação do sinal à saída do canal, e substituindo s = η + t, chega-se a: R z (t, η + t ) = y( t - τ ) y*(η + t - ξ) R h ( t, η + t; τ, ξ ) dτ dξ (227) Tomando-se um intervalo nulo (η = ), o que corresponde a um instante de tempo de observação, substituindo-se a e.(222) de R h e supondo uma entrada y impulsional em t = ξ ( faixa larga), obtém-se para a autocorrelação: R z (t, t) = P h (t) (228) Esta equação mostra que a autocorrelação R z da função de saída do canal é função da potência média da envoltória da função resposta impulso do canal para η =. Em outras 67

10 palavras, a identidade acima mostra que em canais WSSUS a função autocorrelação de saída do canal é o próprio perfil da distribuição, no tempo, da potência recebida, quando a entrada é impulsiva com relação a P h (t), ou seja, a duração do sinal de entrada y(t) é muito menor que o espalhamento dos retardos de multipercursos dentro do canal. Esta potência representa a dispersão, no tempo, sobre distâncias curtas, que o canal introduz aos sinais que nele trafega. Como, em geral, P h (t) tem sua origem redefinida de forma que o primeiro multipercurso recebido esteja em t o, P h (t t o ) será tomado igual a P h (ξ), onde ξ representa retardo. Esta é a potência que será medida com a sonda e a partir dela qualquer das outras três funções pode ser determinada por transformada de Fourier, como será visto no capitulo sobre sondagem. Da mesma forma, para se obter o deslocamento Doppler médio e o espalhamento Doppler, raciocínio semelhante é realizado, tomando-se medidas de P H (f), ou seja, obtendo-se R z (f,f). Nesse caso, por analogia com R z (t,t), chega-se a: R z (f,f) = Y(f - ν) Y*(f - µ ) R H (f, l; ν, µ) dν dµ (229) Com Ω = l - f e a equação 2.39 de R H (ν, µ; f, l) substituídos na equação anterior, tomandose uma freqüência única, o que significa Ω = e que a entrada é um impulso na freqüência ( um tom ), chega-se a: R z (f, f) = P H (µ) (23) e a autocorrelação, à saída do canal, é o perfil da distribuição de potência, na freqüência, da potência recebida, quando a entrada é impulsiva em relação a P H (f). Esta potência representa a dispersão de freqüência, que o canal introduz em sinais que por ele trafegam. 4.3) Parâmetros de dispersão A dispersão do sinal rádio-móvel pode ocorrer tanto no tempo quanto na freqüência e tem origem, principalmente, no fenômeno de multipercurso do sinal transmitido. Devido aos diversos espalhadores encontrados no ambiente entre o móvel e a estação transmissora, réplicas atenuadas do sinal transmitido chegam ao móvel com diferentes retardos, causando a dispersão do sinal no tempo. Esta é caracterizada por parâmetros como retardo médio, espalhamento de retardo e banda de coerência, já definidos preliminarmente, no capítulo I. Devido à mobilidade, do meio ou da estação receptora, associada à variação dos ângulos de chegada dos multipercursos, o efeito Doppler resulta como a dispersão do sinal na freqüência, sendo caracterizado pelos parâmetros de deslocamento Doppler, espalhamento Doppler e tempo de coerência, também já definidos. Apenas para empregar a nomenclatura aqui usada, tais parâmetros são aqui repetidos. Partindo-se das medidas do perfil de potência de retardos em determinado instante, P h (η = ; ξ), temos: Retardo médio d = ξ P h (ξ) dξ / P h (ξ) dξ (231) Na sondagem do canal, quando são obtidas as componentes em fase I(ξ) e em quadratura 68

11 Q(ξ) da resposta do impulso, em vez do perfil de potência de retardo do sinal recebido, tem-se a resposta complexa RI h do impulso: RI h (ξ) = I(ξ) + jq(ξ) (232) Para a obtenção do perfil P h (ξ), calcula-se: P h (ξ) = RI h (ξ) 2 (233) P h (ξ) = I(ξ) + jq(ξ) 2 (234) P h (ξ) = I 2 (ξ) + Q 2 (ξ) (235) Espalhamento de retardo σ T = (ξ - d) 2 P h (ξ)dξ/ P h (ξ)dξ 1/2 (236) Banda de coerência R T (Ω) = P h (η = ; ξ) e -j 2 π Ω ξ dξ (237) A banda de coerência BW C é o menor valor de Ω para o qual R T (Ω) se iguala a um coeficiente de correlação adequado, tipicamente 9%. Assim, traçando a curva de R Tnormalizado x Ω, é possível determinar a banda de coerência (Ω) para o coeficiente adotado (R T ). Deslocamento Doppler d D = µ P H (µ) dµ / P H (µ) dµ (238) Neste caso, para uma dada freqüência, o que corresponde a Ω =, tem-se P H (µ), representando um perfil de Doppler associado à dada freqüência. Vale lembrar que as fases dos multipercursos têm que ser levadas em conta para se chegar ao perfil de Doppler correto. Assim, trabalha-se com a transformada de RI h da eq.(232),para se obter RI S e, então, RI H, onde: P H (µ) = RI H (µ ) 2 é o perfil de Doppler desejado. Espalhamento Doppler σ D = (µ - d D ) 2 P H (µ) dµ / P H (µ) dµ 1/2 (239) Tempo de Coerência R T (η) = P H (µ) e +j 2 π ηµ dµ (24) O tempo de coerência T C é o menor valor de η para o qual R T (η) se iguala a um coeficiente de correlação adequado. Assim, dando valores a η e traçando a curva de R Tnormalizado x η, é possível determinar o tempo de coerência (η) para o coeficiente adotado. Vale lembrar que, no caso de se ter amostras destes parâmetros, as integrais passam a somatórios discretos. 69