Modulações digitais. Detecção não coerente de DPSK e MFSK. Probabilidades de erro.

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1 Modulações digitais 6 Detecção não coerente de DPSK e MFSK Proailidades de erro.

2 Detecção não-coerente de FSK inário O sinal receido é r(t) = E cos(ω it + θ) + n(t ), em que θ é uma amostra de uma variável aleatória com fdp uniforme em [, π]. A detecção não-coerente deste sinal pode fazer-se com um dos dois receptores alternativos equivalentes seguintes: Receptor em quadratura cos ω t z I () [z I ()] + [z Q ()] sen ω t r(t) si(t) ^ + cos ω t z I () - sen ω t z Q () z Q () Opcional Opcional [z I ()] + [z Q ()] Receptor com filtro adaptado não-coerente r(t) Filtro adaptado a ψ (t) Filtro adaptado a ψ (t) y (t) y (t) Detector de envolvente Detector de envolvente z (t) z (t) / / z () + - z () s ^ i (t) Alternativa (pior) aos filtros adaptados: filtros passa-anda centrados em ω i. Detecção não coerente de DPSK e MFSK

3 Detecção não-coerente de FSK inário Receptor em quadratura Suponhamos que à entrada do receptor temos (sem ruído) r(t) = E cos(ω t + θ) t A fase θ é desconhecida. Quais são os valores de z I (), z Q (), etc., no receptor em quadratura? z I () = r(t)cosω E tdt = cos(ω t + θ)cosω tdt = E cosθ De igual modo: z Q () = r(t)senω tdt = E cos(ω t + θ)senω tdt = E senθ z I = r(t)cosω tdt = E cos(ω t + θ)cosω tdt = z Q = r(t )senω tdt = E cos(ω t + θ)senω tdt = (Não esquecer que os valores das frequências f e f fazem com que os sinais FSK sejam ortogonais) z I + zq () = E (cos θ + sen θ ) = E z I() + zq() = O contrário se passaria se tivesse sido receido E cos(ω t + θ ). Detecção não coerente de DPSK e MFSK 3

4 Detecção não-coerente de FSK Receptor com filtros adaptados O receptor não-coerente com filtros adaptados é equivalente ao receptor em quadratura. Considerando apenas metade do receptor (um dos ramos): r(t) Filtro adaptado a ψ i (t) y(t) Detector de envolvente z(t) / z() Resposta impulsional do filtro adaptado a cosω it, para t : h(t) = cosω i ( t ) t Saída do filtro adaptado: y(t) = r(τ)h(t τ)dτ = = cos ω i( t) r(τ )cos [ ω i ( t + τ ) ]dτ = [ ] r(τ )cos(ω i τ )dτ sen ω i ( t) [ ] r(τ )sen(ω i τ )dτ A envolvente deste sinal é proporcional à raiz quadrada da soma dos quadrados dos integrais. No instante : z = r(τ ) cos(ω iτ )dτ + r(τ ) sen(ω iτ )dτ Isto é precisamente o que temos na saída de cada metade do receptor em quadratura. Detecção não coerente de DPSK e MFSK 4

5 Detecção não-coerente de FSK Receptores não coerentes de FSK: em quadratura É a melhor opção. com filtros adaptados com filtros passa-anda É a pior opção. Outras considerações O detector de envolvente é um rectificador seguido de filtro passa-aixo. Escolhe-se a envolvente de maior amplitude. Em nenhum caso se usa referência de fase. Se se usasse referência de fase a detecção seria coerente! No receptor com filtros passa-anda os filtros estão centrados nas frequências f i e têm uma largura de anda /. Os receptores em quadratura são facilmente implementados digitalmente. São os preferidos. Os detectores de envolvente são menos usados porque os filtros (analógicos ou digitais) são mais complexos. Detecção não coerente de DPSK e MFSK 5

6 PSK diferencial (DPSK) Em modulação de fase não podemos dispensar o conhecimento da fase; logo, a única maneira de desmodular PSK é através de detecção coerente. PSK diferencial, ou DPSK, é uma modulação PSK falsa. Pode ser desmodulada de forma coerente e não-coerente. DPSK é uma forma de sinalização ortogonal no intervalo de dois its. A geração de DPSK compreende duas operações:. Codificação diferencial. Modulação PSK convencional Codificador diferencial k c k ou k c k ck = k ck ck = k ck Modulador DPSK (com ck = k ck ) k c k Conversor inário-polar {,} {-A,+A} s i (t) DPSK Codificador diferencial Modulador BPSK cosπ f t c Exemplo de codificação diferencial (com ck = k ck ) Índice da amostra, k: Mensagem inária, k : Mensagem codificada diferencialmente, c k : Variação de fase: π π π π π Detecção não coerente de DPSK e MFSK 6

7 PSK diferencial (DPSK) A codificação diferencial segundo a regra ck = k ck significa que: um it k = não altera a fase da forma de onda do intervalo de tempo anterior. um it k = avança a fase anterior de 8. amém poderá ser usada a regra de codificação ck = k ck. Se no intervalo t for transmitida a forma de onda E cosω t, no intervalo t a forma de onda é a mesma (se o it correspondente for ) ou avançada de 8 (se o it correspondente for ): c Se it do intervalo t for : E cosωct t s() t = E cosω t t c Se it do intervalo t for : E cosωct t s() t = E cos( ωct+ π) t (mantém a fase anterior) (altera a fase anterior) A segunda metade de um símolo é a primeira metade do símolo seguinte. No intervalo [, ] os símolos s (t) e s (t) são ortogonais: s ts() tdt= Detecção não coerente de DPSK e MFSK 7

8 Desmodulação não-coerente de PSK diferencial Em DPSK a informação é transportada pela diferença de fase entre duas formas de onda sucessivas, logo, não é necessário determinar o valor real da fase do sinal receido. Suponhamos que a forma de onda transmitida é E si() t = cos fct+ i() t [ π θ ] t i =, Depois de atravessar um canal sem distorção de amplitude o sinal receido pode ser caracterizado por E rt () = k cos [ π ft c + θi() t + α] + nt () em que k traduz o ganho do canal, α é um esfasamento aleatório com distriuição uniforme em [; π] e n(t) é o ruído AWGN. Se α variar pouco em dois períodos consecutivos, a diferença de fase entre duas formas de onda sucessivas, θ j ( ) e θ k ( ), com =, é independente do esfasamento α: [ θ k ( ) + α] [ θ j ( ) + α]= θ k ( ) θ j ( ) = φ i ( ) A fase da portadora no intervalo precedente pode ser usada como referência de fase para a desmodulação: θ k ( ) = θ j ( ) + φ i ( ). Com modulação inária φ i ( ) só pode assumir os valores ou 8. Detecção não coerente de DPSK e MFSK 8

9 Desmodulação não-coerente de DPSK y Q E θ y ( ) yi y = y Q y Q E θ y ( ) y ( ) (ou este) y I y ( ) (ou este) y I Instante t = Instante t = No instante t = (figura da esquerda) é receido ou o ponto y, com uma fase desconhecida θ, ou o ponto y, com uma fase desconhecida π+θ. Como os sinais transmitidos em DPSK são antipodais, no instante seguinte, t = (figura da direita), será receido ou o ponto y ou o ponto y. Portanto no intervalo [, ] podem ocorrer duas situações: ou os pontos sucessivos estão no mesmo quadrante a fase do sinal não se alterou foi enviado o it. os produtos internos y y ou y y são positivos. ou os pontos sucessivos estão em quadrantes opostos a fase do sinal sofreu alteração foi enviado o it. os produtos internos y y ou y y são negativos. y y = y y = E it enviado y y = y y = y y( ) = E it enviado Detecção não coerente de DPSK e MFSK 9

10 Desmodulação de DPSK Como efectuar o produto interno dos vectores de sinal receidos nos instantes e? Por exemplo com o circuito seguinte, onde y I e y Q são as coordenadas do ponto y, y = [ y y ] : I Q Desmodulação diferencialmente coerente Sinal DPSK cos π f c t y I ( ) y I ( ) + y( ) y( ) sˆ i () t sen π f c t y Q ( ) + y Q ( ) Decisor γ = Neste receptor os sinais de referência estão sincronizados em frequência (mas não em fase) com os sinais receidos: o método de detecção é não-coerente. É mais fácil implementar um receptor de DPSK do que de PSK porque aquele não requer sincronização de fase. Para se oter a mesma proailidade de erro ( -4 ) DPSK requer db mais de relação E N do que PSK. DPSK tamém pode ser desmodulado como na figura seguinte: Desmodulação su-óptima de PSK diferencial Sinal DPSK s ^ i (t) Neste receptor o sinal de referência é uma versão atrasada do sinal receido. A proailidade de erro é maior que com o receptor diferencialmente coerente. Detecção não coerente de DPSK e MFSK

11 Modulação ortogonal não-coerente Proailidades de erro Fórmula geral da proailidade de símolo errado: P e = M k= ( ) k+ k + Se M = (modulação inária): E M ke exp s k (k +)N P B = e N (E energia dos símolos) Casos particulares com M = : FSK inário ortogonal com detecção não-coerente: Energia do símolo: E = E (E energia/it) P B = e E N DPSK inário com detecção não-coerente: Duração do símolo DPSK: Energia do símolo: E = E P B = e E N DPSK apresenta um ganho de 3 db sore BFSK não-coerente, para a mesma proailidade de erro. Detecção não coerente de DPSK e MFSK

12 Modulações digitais inárias: PSK, DPSK e FSK Proailidades de it errado em modulações digitais inárias - detecção não-coerente de FSK Proailidade de it errado, P B detecção coerente de DPSK detecção coerente de PSK detecção coerente de FSK detecção não-coerente de DPSK -6-7 Limite de Shannon (-,6dB) -5 5 E /N o (db) 5 Para proailidades de erro muito pequenas (<-7) podemos oservar o seguinte: a relação E necessária para atingir um determinado valor de P B em PSK N e em DPSK é praticamente a mesma. a relação E necessária para atingir um determinado valor de P B em FSK N é praticamente a mesma qualquer que seja o tipo de detecção usado. Detecção não coerente de DPSK e MFSK

13 Modulação digital MFSK Proailidade de símolo errado com detecção não-coerente Proailidade de símolo errado, P e M= ,6 5 5 E /N o (db) Proailidade de it errado com detecção não-coerente Proailidade de it errado, P B M= ,6 5 5 E /N o (db) Acima de M=8 há pouca diferença entre as proailidades de erro otidas com detecção coerente e detecção não-coerente. Detecção não coerente de DPSK e MFSK 3

14 Proailidades de it e símolo errado Modulação ipo de detecção M = M > P Pe PSK Coerente Q E N Q E s sen π * N M DPSK Coerente Q E N Q E N DPSK Não- -coerente exp E Q E s sen π * N M N FSK Coerente Q E N (M )Q E s N FSK Não- -coerente exp E M ( ) k+ M exp ke s ** N k + k (k +)N k = OOK OOK Coerente Q E N Não- E exp E + Q -coerente N N QAM Coerente * Para E s N elevado. ** Limite superior: P e M exp E s N 4 M Q E N odos os sinais são equiprováveis e E s = E log M = ke. Em OOK: E = E. Relação entre proailidade de it errado e proailidade de símolo errado: k P M o Sinais ortogonais: = = P k k e M P o Sinais de fase múltipla e código de Gray: ( Pe << ) P k Detecção não coerente de DPSK e MFSK 4 e

15 Proailidades de it errado em modulações digitais Valores de E /N necessários para se atingir P = -4 e -5 Modulação ipo de detecção Eficiência E /N (db) espectral (its/s/hz) P = -4 P = -5 BPSK Coerente 8,4 9,6 QPSK Coerente 8,4 9,6 MSK Coerente 8,4 9,6 DPSK Não-coerente 9,3,3 DQPSK Não-coerente,7,9 BFSK Coerente,4,6 OOK Coerente,4,6 8-PSK Coerente 3,7 3, 6-QAM Coerente 4, 3,4 BFSK Não-coerente,3 3,4 OOK Não-coerente,3 3,4 8-DPSK Não-coerente 3 4,6 5,8 6-PSK Coerente 4 6, 7,4 64-QAM Coerente 6 6,5 7,8 56-QAM Coerente 8,,5 Detecção não coerente de DPSK e MFSK 5

16 Apêndice : espaçamento entre frequências de sinais ortogonais FSK E E = + e s () t = cosπ f t forem usados em P.: Se s () t cos( π f t φ ) FSK qual deverá ser o espaçamento mínimo entre f e f de modo que as formas de onda sejam ortogonais? R.: Se as formas de onda forem ortogonais deverá ser s () ts () tdt= π f t φ π cos( + )cos f tdt = Desenvolvendo: cosφ cos π f t cos π f t dt senφ sen π f t cos π f t dt = Mas ( π ) ( π ) = π( + ) + π( ) cos f t cos f t cos f f t cos f f t ( π ) ( π ) = π( + ) + π( ) sen f t cos f t sen f f t sen f f t Sustituindo valores e calculando os integrais otemos: sen π f+ f sen π f f cosφ + + π f+ f π f f cosπ f+ f cosπ f f + senφ + = π f+ f π f f Ora sen π f+ f cosπ f+ f π f + f π f + f se f + f Detecção não coerente de DPSK e MFSK 6

17 Apêndice : espaçamento entre frequências de sinais ortogonais FSK (cont.) Assim, cosφ sen π f f + senφ cos π f f = (*) Se a detecção for coerente então φ =, caso contrário é φ. Detecção não coerente de FSK ( φ ): erá de ser sen π ( f f ) = cosπ f f = ( ) = π π π f f k f f = kπ A segunda condição é mais restritiva que a primeira. Conclui-se que k Espaçamento para ortogonalidade: f f = k =,, Espaçamento mínimo: f f = Detecção coerente de FSK ( φ = ): A equação (*) passa a sen π ( f f ) =, donde π f f = kπ. k Espaçamento para ortogonalidade: f f = k =,, Espaçamento mínimo: f f = Logo, a detecção coerente permite que o sinal FSK ocupe uma menor largura de anda. Detecção não coerente de DPSK e MFSK 7

18 Apêndice : Proailidade de it errado em BFSK com detecção não coerente Pressupostos: Sinais s () t = E cosπ f t, t, i =, (equiprováveis) i i Detector constituído por M = filtros passa-anda com B = / e M = detectores de envolvente s (t) e s (t) estão suficientemente separados em frequência (isto é, a soreposição de espectros é desprezável) r(t) = s(t) + n(t) Filtro passa-anda B = / Detector de envolvente / z () + z() Sinal receido Filtro passa-anda Detector de envolvente / - z () Sinal estimado B = / P = p( z s) dz p( z s) dz + Como em casos anteriores e dada a simetria das funções densidade de proailidade (fdp) podemos escrever (com z z P = p z s dz = P z > z s = e z = z ) Suponhamos que a frequência f foi enviada (isto é, rt () = s() t + nt ()) à saída do filtro temos uma v.a. gaussiana N (, σ ) (ruído apenas, sem sinal) cuja envolvente, z (), tem uma fdp de Rayleigh (ver Apêndice 3). à saída do filtro temos ruído N (, σ ) mais a sinusóide s (t) logo, a sua envolvente, z (), tem uma fdp de Rice (ver Apêndice 3). Detecção não coerente de DPSK e MFSK 8

19 Apêndice : Proailidade de it errado em FSK com detecção não-coerente (cont.) fdp da envolvente (Rayleigh): z z exp z pz ( s) = σ σ z < σ variância do ruído na saída fdp da envolvente (Rice): z z + A z exp A I z pz ( s) = σ σ σ z < com E A = x cos I( x) = π e θ d π θ função de Bessel modificada da ª espécie, de ordem Sendo transmitido s (t) o receptor comete um erro sempre que a amostra da envolvente z (), otida no canal superior e devida apenas a ruído, exceder a amostra da envolvente z (), otida no canal inferior e devida a sinal + ruído. Logo, A proailidade desta situação ocorrer pode ser calculada integrando p( z s ) relativamente a z, desde z a infinito, e tomando a sua média para todos os valores possíveis de z : P = P z> z s = p z s p z z s dz dz = z z A z A z z = σ σ σ z σ σ + exp I exp dz dz Detecção não coerente de DPSK e MFSK 9

20 Apêndice : Proailidade de it errado em FSK com detecção não-coerente (cont.) A expressão anterior vale P A A exp 4σ NB = exp = 4 N (pois σ = B ) P é tanto menor quanto menor for B (largura de anda do filtro) Como um sinal passa-anda ocupa o doro da largura de anda do sinal em anda-ase que lhe deu origem, a menor largura de anda possível do filtro (sem ISI) é =. P A 4N N = e = e E FSK com detecção não coerente requer db mais em E /N do que FSK 4 com detecção coerente, para a mesma. O receptor não coerente é mais simples pois os sinais de referência coerentes não precisam de ser gerados é o tipo de receptor quase sempre usado! P Detecção não coerente de DPSK e MFSK

21 Apêndice 3: As funções densidade de proailidade (fdp) de Rayleigh e de Rice fdp de Rayleigh é a fdp da envolvente de ruído gaussiano N (, σ ) : r r exp () r fr r = σ σ outros valores Fdp normalizada: r vexp( v ) v Fazendo v = fv() v = σ fr() r = σ outros valores.6.4 fr(r). 3 4 r fdp riciana (de Rice) é a fdp da envolvente de ruído gaussiano N (, σ ) + sinusóide de amplitude A: r r + A Ar fr() r = exp I σ σ σ (I (x) função de Bessel modificada da ª espécie e ordem zero) Fdp normalizada: r Fazendo v = e a σ A σ v + a = f () v = σ f () r = ve I ( av) V R.6 a = Se a = Rayleigh f V (v) Se a for elevado gaussiana nas vizinhanças de v = a v Detecção não coerente de DPSK e MFSK