Frequências aos saltos

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1 Espalando espectros Onde se fala de its, cips e outras coisas mais Sílio A. Arantes Feereiro 009 Frequências aos saltos Conteúdo. Introdução.... Geração e desmodulação de sinais FH/MFSK Gano de processamento em FH/MFSK Recapitulando SFH Velocidade do relógio PN em sistemas SFH Recapitulando FFH Velocidade do relógio PN em sistemas FFH Proailidade de erro Interferência de anda larga Interferência de anda parcial Introdução Pensemos na modulação inária FSK: consoante o it da sequência inária moduladora, a frequência da portadora tem dois alores possíeis (por exemplo, 800 Hz e 00 Hz) à olta de um determinado alor central (000 Hz). Imaginemos agora que esta frequência central afinal não é constante mas aria de acordo com um dado padrão pretensamente aleatório. Por exemplo, de tantos em tantos segundos a frequência central da portadora salta de 000 Hz para 00 Hz, e depois para 600 Hz, e depois para 800 Hz, etc., como na figura seguinte. Frequência Tempo Num caso destes em que a frequência da portadora modulada salta sequencialmente de patamar em patamar o sinal resultante ai ocupando uma maior largura de anda ao longo do tempo (asta olar para a figura anterior). A este tipo de espalamento espectral dá-se o nome de espalamento espectral por saltos em frequência (ou FH, de Frequency-Hopping ). A modulação digital mais usada é precisamente FSK. À menor duração de uma qualquer frequência em FH/FSK cama-se cip (não confundir com o cip da Sequência Directa) e ao número de cips por segundo cama-se cip rate. Sendo R a

2 taxa de símolos (número de símolos FSK por segundo) e a cip rate é a maior das duas: R = max( R, R) c R a taxa de saltos (número de saltos/s) Consoante a rapidez dos saltos em frequência assim temos dois tipos de sistemas FH, um com Saltos Lentos e outro com Saltos Rápidos: Slow Frequency-Hopping (SFH) Os saltos são lentos e a portadora permanece em cada patamar de saltos durante um certo número de símolos (er Exemplo ). Isto significa que a taxa de símolos R do sinal MFSK é um múltiplo inteiro da taxa de saltos R. Ou sea, R R e T T, em que T = R é o tempo de permanência em cada patamar e T = R. Assim Rc = max( R, R) = R, o tempo de cip é T c = T e ários símolos MFSK são transmitidos entre dois saltos consecutios. Logo, Em SFH/MFSK cada símolo é um cip Fast Frequency-Hopping (FFH) Agora a portadora salta árias ezes durante cada símolo MFSK (er Exemplo 3), isto é, a taxa de saltos é um múltiplo inteiro, K, da taxa de símolos: R = KR Logo, T = T K < T, Rc = max( R, R) = R e T c = T. A frequência da portadora MFSK muda, ou salta, árias ezes durante a transmissão de um símolo, isto é, Em FFH/MFSK cada salto é um cip. Geração e desmodulação de sinais FH/MFSK O diagrama de locos de um gerador de sinais FH é apresentado na Fig., onde emos que segmentos sucessios de its de uma sequência PN são aplicados ao sintetizador digital de frequência para com eles seleccionar um de alores possíeis da frequência da onda sintetizada. Esta onda sinusoidal é multiplicada pelo sinal MFSK originando, como é costume, uma componente de frequência-soma e uma componente de frequência-diferença. O filtro selecciona a primeira e reeita a segunda. Dados inários Modulador MFSK Sintetizador de frequências Filtro passa-anda Misturador Sinal FH/MFSK ( its) Gerador do código PN Fig. Geração de sinais FH. O sistema gera, portanto, andas de frequência FH. Como em cada anda a frequência da portadora MFSK toma M = alores então no processo de espalamento o número total de + frequências é igual a M =. Entre saltos a largura de anda ocupada pelo sinal FH é igual à largura de anda de um sinal MFSK conencional mas considerando os saltos todos a largura de anda ocupada é muito maior.

3 É difícil aos sintetizadores de frequência manter coerência de fase entre saltos sucessios pelo que a maior parte dos sistemas de comunicação FH/MFSK usa desmodulação não-coerente, como na Fig.. Sinal receido Filtro passa-anda Detector não-coerente de MFSK Estimatia dos dados inários Sintetizador de frequências Misturador ( its) Gerador local do código PN Fig. Desmodulação de sinais FH. A detecção não-coerente de MFSK pode ser feita com M filtros adaptados seguidos de detectores de enolente, como saemos. Em FH de Saltos Lentos o símolo transmitido é estimado seleccionando simplesmente a saída mais eleada dos M ramos e em FH de Saltos Rápidos o símolo é estimado de uma de duas maneiras : ) tomam-se decisões separadas relatiamente aos K cips receidos no interalo T e por oto de maioria selecciona-se o símolo MFSK (er Exemplo 3). ) calculam-se funções de erosimilança com ase no sinal total receido durante K cips e selecciona-se a função mais eleada. Um receptor que aplique a segunda alternatia é óptimo no sentido em que minimiza a proailidade de símolo errado para uma dada relação E N Gano de processamento em FH/MFSK Tal como nos sistemas SS por Sequência Directa o gano de processamento é definido por largura de anda do sinal modulado espalado B PG = = largura de anda do sinal modulado nao espalado B Veamos como calculá-lo. Em primeiro lugar á que recordar que a separação de frequências para que as portadoras seam ortogonais é Δ f = T. Teremos então, consoante o tipo de saltos FH, T = R SFH Δ f = = T c T = KR FFH c Sem espalamento o sinal MFSK ocupa uma largura de anda (LB) B MFSK M T = MR. Ao espalar o sinal passamos a ter andas FH, ou patamares de salto, cada uma a ocupar a largura de anda M Δ f. Assim, a largura de anda do sinal modulado espalado, B FH, ale FH MFSK MR BFH = nº de andas FH LB de cada anda = MΔ f = MKR SFH FFH Já estamos em condições de determinar o gano de processamento em FH: In S. Hayin, Communication Systems, 4ª Edição, Wiley, 00. 3

4 BFH SFH PG = = B MFSK K FFH No caso particular de FSK inária o gano de processamento pode ser expresso por BFH PG =. R 4. Recapitulando SFH Do que á imos podemos listar as seguintes características de um sistema FH de Saltos Lentos: as frequências do sinal FSK estão separadas por um múltiplo inteiro da cip rate R c = R para assegurar ortogonalidade entre elas (porquê R c = R? Porque em SFH "cada símolo é um cip"). Cada um dos M ramos do receptor não-coerente está adaptado a um dos M sinais ortogonais MFSK. Assim, como cada um destes sinais não ai interferir nos outros M- ramos (pois não le estão adaptados) o desempeno do sistema SFH/MFSK é o mesmo de um sistema MFSK não-coerente conencional (sem saltos) em presença de ruído gaussiano ranco aditio (ruído AWGN). + + Largura de anda: BSFH = MR = R = R Gano de processamento: PG = ou, em db, PG( db) = 0log 0( ) = 3. Exemplo : FH de Saltos Lentos A próxima figura refere-se a um sistema SFH com as seguintes características: SFH B FH Frequência B FSK Dados B FSK T Tempo T T Receptor 4

5 Número de frequências FSK: M = 4 (isto é, 4-FSK e = its/símolo). Comprimento do segmento PN que escole as andas FH: = 3. Logo, o número de andas FH é = 8. Δ f = T = T. Logo, 4 BFSK M Δ f = T = T, BFH = BFSK = 8 BFSK e PG = 8 (9 db). 4.. Velocidade do relógio PN em sistemas SFH Uma antagem dos sistemas FH relatiamente aos sistemas é que a elocidade do relógio do gerador de sequências pseudo-aleatórias não precisa de ser tão eleada para se atingir o mesmo espalamento de espectro, isto é, a mesma largura de anda ocupada. Vamos comproá-lo comparando /BPSK com SFH/BFSK. Mais tarde eremos que o mesmo acontece em FFH. A largura de anda de um sinal /BPSK é o doro da largura de anda da sequência espaladora (em anda-ase), isto é, B = Tc. Ora a sequência espaladora é uma sequência pseudo-aleatória cuos its têm a duração dos cips, o que significa que a elocidade do relógio do gerador PN é igual à cip rate, isto é, elocidade de relógio (): = T Em SFH/BFSK a largura de anda é c + B = MR = R. Se fizermos T = KT e R = R K, em que SFH + + K < é o número de saltos por símolo, então BSFH = R =. Durante os T segundos de KT permanência numa anda FH o gerador PN tem de produzir its para que se saia para onde ai a portadora saltar a seguir quer dizer, o gerador produz T its/s. É esta a elocidade de relógio: elocidade de relógio (SFH): SFH = T + + Igualando as duas larguras de anda, B = BSFH, otemos = e = SFH, para Tc KT K finalmente comproarmos que a elocidade de relógio é mais eleada num sistema do que num sistema SFH, para a mesma largura de anda espalada: SFH = > K Exemplo : SFH de noo P.: Num sistema SFH/BFSK o déito inário é 4800 its/s, ocorrem K = 0,5 saltos de frequência/it e são usadas 048 frequências no total. a) Quantos its controlam o sintetizador de frequência? ) Qual é a elocidade do relógio do gerador PN? c) Qual é a largura de anda do sinal SS? R.: Tratando-se de modulação inária é =. O ritmo de saltos é R = KR = 400 saltos/s e o + + número total de frequências que o sistema FH usa é = = 048. Assim, = 0. a) O sintetizador de frequência é controlado por = 0 its. ) No interalo T = R entre saltos consecutios o gerador PN tem de produzir = 0 its (para se poder escoler o salto seguinte), isto é, tem de produzir 5

6 R T = = = its/s. Tal significa que a elocidade do relógio do gerador é 4 Hz. Em comparação, o relógio PN de um sistema teria de funcionar a uma elocidade de 0 3 = SFH = 4.0 = 4,95 MHz K 0 0,5 para se oter a mesma largura de anda espalada. c) A separação entre frequências contíguas do sinal FH é Δ f = T = 4800 Hz e a largura de anda do sinal SFH/BFSK é B = B = MΔ f = 4800 = 9,83 MHz. FH FSK 5. Recapitulando FFH Quanto aos sistemas FH podemos dizer: Cada salto é um cip : ocorrem ários saltos durante cada símolo MFSK, isto é, cada salto demora menos que cada símolo. Ou sea, T < T e, portanto, Rc = R (e Tc = T ). T R Se K = = for o número de saltos/símolo o espaçamento mínimo entre frequências MFSK T R é K K Δ f = = = (ou Δ f = KR ). T T T A largura de anda de cada anda FH é M Δ f = MKR = KR e a largura de anda do sinal + FFH/MFSK é BFFH = MΔ f = MKR = KR. O gano de processamento é PG = K ou, em db, PG( db) = 0log 0( K) = 3 + K db. A técnica FH de Saltos Rápidos é muito útil em amientes de fading (desanecimento) ou em amientes em que o empastelamento ( amming ) é feito em parte da anda do sinal espalado. É coneniente usar códigos correctores de erros associados às técnicas FH de Saltos Rápidos (ea a ustificação na Sec. 6.). Imagine-se que a táctica de um interferente é perseguir a portadora medindo o conteúdo espectral do sinal e resintonizando o seu sinal interferente na anda de cada salto. Então, se quisermos encer a interferência as frequências das portadoras FH deem mudar antes que o interferente tena tido tempo de fazer todo o processamento necessário à sua acção. A técnica FH de Saltos Lentos é claramente menos indicada para este tipo de interferência persecutória. Exemplo 3: FH de Saltos Rápidos A próxima figura refere-se a um sistema FFH com as seguintes características: Número de frequências FSK: M = 4 (isto é, 4-FSK e = its/símolo). Comprimento do segmento PN que escole as andas FH: = 3. Logo, o número de andas FH é = 8. Número de saltos/símolo: K = 3. K Δ f = = =. Logo, BFSK = MΔ f = = e BFH = BFSK = 8BFSK. Uma pergunta: T T T T T aca que, tal como no Exemplo, o gano de processamento é 8? Não, pois não? 6

7 FFH B FH Frequência B FSK Dados B FSK T Tempo T Receptor Uma maneira possíel de estimar símolos na desmodulação é proceder a um oto por maioria. Oserando a figura anterior notamos que cada símolo é estimado com ase em três decisões, cada uma correspondente a um dos três patamares de salto por símolo. Imaginemos, por exemplo, que na estimação do primeiro símolo aia duas decisões a faor do símolo 00 e uma a faor do símolo 0. Quem ganaria? 5.. Velocidade do relógio PN em sistemas FFH Vimos atrás que a elocidade de relógio do gerador PN é menor em FH com Saltos Lentos do que num sistema SS por Sequência Directa, para a mesma largura de anda espalada. Em FFH tamém é assim, como amos er de imediato com FSK inária. Recorda-se que a largura de anda de um sinal /BPSK é B = T e a elocidade do relógio = T. Tal como acontecia com Saltos Lentos, tamém em FFH o gerador PN tem de produzir c its nos T segundos de permanência numa anda FH, fazendo com que FFH o espaçamento de frequências é Δ f = e a largura de anda do sinal é T Igualando as duas larguras de anda, B = BFFH, otemos c + = e T T c = T. Em FFH/BFSK + BFFH = MΔ f =. T + = FFH, isto é, FFH = >. Comproámos que, de facto, a elocidade de relógio é mais eleada num sistema do que num sistema FFH, para a mesma largura de anda espalada. 7

8 É claro que em FFH o relógio tem de ser mais rápido que em SSH, para o mesmo. Na erdade, com ase em = e =, K < SFH, otemos FFH = > SFH. Não esquecer que nestas FFH SFH K K expressões o parâmetro K < representa o número de saltos por símolo em SFH. Exemplo 4: Velocidade do relógio PN em FFH Vamos comparar a elocidade de relógio dos geradores de sequências pseudo-aleatórias de um sistema FFH com FSK inária e de um sistema com PSK inária. P.: Um sistema BFSK de espalamento espectral por saltos rápidos em frequência usa 048 frequências. Se desearmos oter a mesma largura de anda de espalamento com um sistema SS/BPSK otido por sequência directa qual é a relação entre as elocidades de relógio dos geradores PN dos respectios códigos de espalamento? R.: Acaámos de er que a relação entre as duas elocidades de relógio é dada por =, FH em que representa o número de its da sequência PN que selecciona cada anda de frequências de salto em FH. Cada uma dessas andas usa duas frequências (por se tratar de modulação FSK inária) e como ao todo existem 048 frequências, então o número de andas de salto é 048 = 04, alor que é igual a, claro. Logo, = 0. Conclui-se imediatamente que a elocidade de relógio do sistema é cerca de cem ezes maior que a elocidade de relógio do sistema FFH: elocidade de relógio () = = = 0,4 ezes. elocidade de relógio (FH) Proailidade de erro A Fig. 3 mostra dois tipos de interferência de ruído ranco intencional: de anda larga e de anda parcial. A primeira ocupa toda a largura de anda ocupada pelo sinal, B ss, e a segunda ocupa apenas uma parte. Interferência de anda larga d.e.p. N =P /B ss B ss f É a interferência menos preudicial. Apenas aumenta o níel de ruído gaussiano no receptor. Interferência de anda parcial d.e.p. N =N /ρ Ruído ranco de anda limitada, mesma potência P ρ Mais eficaz em FH. Existe um ρ óptimo (do ponto de ista do interferente). ρb ss f 6.. Interferência de anda larga Fig. 3 Interferências de anda larga e de anda parcial. Consideremos em primeiro lugar uma transmissão SFH/BFSK afectada de ruído gaussiano ranco (AWGN) e interferência de anda larga. O sinal tem potência P e largura de anda B ss, o ruído AWGN tem densidade espectral de potência unilateral N 0 e a interferência tem potência P e densidade 8

9 espectral de potência N = P Bss. A proailidade de it errado com detecção não-coerente é dada por E ( N0 + N ) E exp N0 P = e = E N 0 + E N ou alternatiamente por E N0 E N0 P = exp exp exp = = P P P P R P P + E N0 + E N0 N0 + Bss R PG P Bss R A Fig. 4 apresenta a proailidade de it errado para ários alores de E N 0. Tal como em /BPSK, para alores eleados de E /N a proailidade de erro estailiza num patamar imposto pela relação E /N 0 : nessa zona do gráfico o ruído AWGN é preponderante E /N 0 = 4 db 6 db P 0-8 db 0 db 0-3 db Interferência de anda parcial E /N (db) Fig. 4 Proailidade de it errado em FH/BFSK não-coerente com interferência de anda larga. Suponamos agora que a interferência intencional ocupa uma percentagem ρ da anda do sinal. Em sistemas FH esta fracção de ocupação da anda espalada é tamém a proailidade de um dado símolo sofrer interferência. A proailidade média de it errado é calculada pela média ponderada ( ρ) ( so AWGN) ρ ( AWGN+interf. ) P = P + P = ρ E ρ E = exp + exp N N N ( + ρ ) 0 0 Se N >> N0 podemos desprezar o ruído AWGN, ficando ρ ρe P exp. N 9

10 O interferente nada gana em usar uma largura de anda B inferior à largura de anda B do B sinal sem espalamento; sendo assim, ρ = B Bss B Bss, ou melor, ρ, 0. Esta é a gama B útil de ρ do ponto de ista do interferente. O melor alor de ρ (para o interferente, entenda-se) é o que causar maior dano; ou sea, é o alor ρ = ρ0 para o qual P é máxima. Deriando P em ordem a ρ e igualando a zero conclui-se que ρ o = E N e, portanto: ss P max se E N >,0 e ρ = ρo = ee N E N = E exp se E N,0 (e ρ = ocupa toda a anda) N Note-se que se E N,0 não é possíel usar ρ = ρ 0 pois seria superior a 00%. A Fig. 5 apresenta a proailidade de it errado para ários alores de ρ ρ 0 P ρ = 0, 0, E /N (db) 0,00 0,000 Fig. 5 Proailidade de it errado em FH/BFSK não-coerente com interferência de anda parcial. Se ρ ρ0 á uma relação exponencial entre P e E N ; se ρ = ρ0 a relação passa a ser inersamente proporcional, o que é mais desfaoráel para quem comunica, como a figura comproa. Vemos no gráfico, por exemplo, que para a mesma proailidade de erro P = 0-6 á uma diferença de mais de 40 db na relação E N com ρ = (interferência de anda larga) e com ρ = ρ 0 (pior interferência de anda parcial). Isto quer dizer que o interferente com ρ = ρ0 poupa mais de 40 db de potência para ter o mesmo efeito que a interferência de anda larga. Como comater este tipo de interferência? Com códigos correctores de erros e entrelaçamento. É que a codificação e o entrelaçamento transformam a relação inersa de noo na relação exponencial. 0