Resumindo e concluindo

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1 Resumindo e concluindo TeleTextos de bolso e de trazer por casa, suavemente, suavemente Em busca da fase perdida Sílvio A. Abrantes Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores Faculdade de Engenharia, Universidade do Porto Porto, Portugal sam@fe.up.pt Fevereiro de 009 Conteúdo. Introdução.... Recuperação ML da fase com temporização conhecida e ajuda dos dados Recuperação ML da fase com temporização conhecida mas sem ajuda dos dados Eliminação da ambiguidade de fase com a Palavra Única Uso alternativo da Palavra Única Comprimento da Palavra Única Recuperação ML da fase sem temporização de símbolos nem ajuda de dados Referências bibliográficas Introdução A situação é esta: conhecemos a frequência da portadora da modulação digital em uso, sabemos quando os símbolos de informação começam e acabam, as amostras de sinal de que o receptor precisa são recolhidas nos instantes adequados mas não conhecemos a fase da portadora, algo que é essencial a um desmodulador coerente. Como se mostra na Fig., um desmodulador coerente gera uma onda sinusoidal que, além da frequência, deve ter a mesma fase do sinal recebido (θˆ = θ ). E porquê? Porque um erro de fase Δ θ = ˆ θ θ da onda de referência faz rodar a constelação de pontos da modulação de um ângulo Δ θ (ver Fig. ), aumentando a probabilidade de símbolo errado. Sinal BPSK recebido + ruído rt () =± Acos ( π ft+ θ) + nt () c T 0 z(t), z(t), z(3t), Para o detector ( ) Bcos π f ˆ ct+ θ Sinusóide de referência Fig. Desmodulador coerente de BPSK. À tarefa de descobrir qual é a fase da portadora chama-se habitualmente recuperação da fase da portadora. Antes de entregar o sinal recebido ao detector o receptor coerente terá de fazer essa descoberta.

2 QPSK 6QAM Fig. Dois exemplos de rotação de constelação devida a erro de fase. Há vários métodos de busca da fase perdida []. Neste TeleTexto vamos limitar-nos exclusivamente às modulações digitais lineares, como MPSK e QAM, e aos métodos de Máxima Verosimilhança, bem apropriados a uma realização digital. Não haverá aqui referências a PLLs, Costas Loops ou métodos analógicos e também não nos defrontaremos com métodos em malha fechada, com feedback : vamos privilegiar exclusivamente os métodos que processam sequências de amostras números, portanto em malha aberta, sem realimentação, por isso mais adequados a situações que exigem um tempo de aquisição de sincronismo curto. Supondo sempre que conhecemos a frequência da portadora vão ser apresentadas três abordagens de Máxima Verosimilhança: em duas a temporização de símbolos é conhecida e na terceira não. A demanda da fase perdida pode ser ajudada pela própria mensagem ou não. Se o for a tarefa está mais facilitada, claro; se não o for é mais difícil mas também se consegue. Diz-se que a primeira técnica é Data-Aided, ou apenas DA, e a segunda Non-Data-Aided, ou NDA. Comecemos pelo que é mais fácil, avisando já que não apresentaremos demonstrações ou justificações dos métodos considerados, apenas resultados finais.. Recuperação ML da fase com temporização conhecida e ajuda dos dados A estimativa ML da fase da portadora ajudada pelos símbolos da mensagem requer o conhecimento de um número L de amostras observadas zk ( ), para k =,,, L, e igual número de símbolos enviados c k. Estes, que poderão ter sido obtidos numa fase de treino, são complexos e as amostras zk ( ), também complexas, são colhidas à saída do filtro adaptado ou do correlacionador do receptor durante um intervalo de observação de LT segundos (T é a duração de cada símbolo). A colheita faz-se nos instantes de ordem k (isto é, em t = kt + τ, em que τ está relacionado com a temporização, conhecida, dos símbolos). Chamando ˆ θ à estimativa de fase, é dada pela seguinte expressão [], em que representação polar: Im( x) arg( x) = arctg Re( x é a fase (ângulo) do complexo ) x = Re( x) + j Im( x) na sua L ˆ * θ = arg czk k ( ). k = E pronto, já está, é só isto! O correspondente diagrama de blocos encontra-se na Fig. 3. Designá-los-emos simplesmente de métodos ML, de Maximum Likelihood. Se não sabe o que é isto de estimação ML o melhor é consultar o TeleTexto que trata do assunto.

3 Do filtro adaptado ou do correlacionador t = kt + τ zk ( ) * c k Conjugado do símbolo arg( ) L parcelas θˆ Fig. 3 Recuperação ML da fase com temporização conhecida e ajuda dos símbolos Exemplo : Estimação DA de Máxima Verosimilhança Consideremos a recepção de um sinal QPSK cujos pontos da constelação estão situados nos eixos do espaço de sinal em, j, - e j, portanto nos ângulos 0º, 90º, 80º e 70º, respectivamente. Dispondo dos valores de c k e z(k) da tabela seguinte, qual é a estimativa ML da fase da portadora? k 3 4 z(k) 0,38 j0,94 0,93 j0,39 0,93 + j0,38 0,9 + j0,38 0,39 + j0,9 c k - j -j -j czk k * ( ) 0,38 + j0,94 0,39 + j0,93 0,38 + j0,93 0,38 + j0,9 0,39 + j0,9 * Vamos usar ˆ θ = arg czk k ( ). Na última linha da tabela estão os produtos czk k * ( ), cuja soma é k = * 4,64 o complexo czk k ( ) =,9+ j4,64, de ângulo de fase arctan,963 k =,9 = rad, ou,479º. É esta a nossa estimativa ML da fase da portadora QPSK: ˆ θ =,479º. Bastante fácil! 3. Recuperação ML da fase com temporização conhecida mas sem ajuda dos dados Continuamos a conhecer a frequência da portadora e a temporização dos símbolos mas agora não conhecemos os dados, só as L amostras zk ( ). A estimativa NDA de máxima verosimilhança em constelações invariantes à rotação de π N é dada [] por L MPSK ( N = M ): ˆ M L 4 θ = arg z ( k) QAM ( N = 4 ): ˆ θ = arg z ( k) M k = 4 k = O que são constelações invariantes à rotação de π N? São as constelações de MPSK e QAM. No primeiro caso a rotação de π N = π M não altera a constelação (ora experimente com 8-PSK, por exemplo) e o mesmo acontece em QAM se rodarmos a constelação de π N = π 4= π (experimente de novo). Continua a ser fácil recuperar a fase da portadora: dispondo de L amostras zk ( ), k =,,, L, à saída do filtro adaptado ou correlacionador, só temos que elevar cada uma à N-ésima potência, somar tudo, determinar o ângulo de fase da soma ou do seu simétrico e dividir por N, como no diagrama de blocos da Fig. 4. Porém, a estimativa agora obtida fica limitada à gama ±π N pois a fase de L k = z N ( k), como qualquer complexo, está limitada a ± π. 3

4 Do filtro adaptado ou do correlacionador t = kt + τ zk ( ) ( ) N arg ( ) N L parcelas θˆ Fig. 4 Recuperação ML da fase com temporização conhecida mas sem ajuda dos símbolos Exemplo : Estimação NDA de Máxima Verosimilhança Retomemos a tabela do Exemplo mas agora só com os valores das amostras estimativa ML da fase da portadora QPSK? zk ( ). Qual é a k 3 4 z(k) 0,38 j0,94 0,93 j0,39 0,93 + j0,38 0,9 + j0,38 0,39 + j0,9 z 4 ( k ) 0,036 + j,06 0,08 + j,034 0,00 + j,09 0,004 + j0,98 0,033 + j0,996 4 Agora usaremos ˆ arg 4 ( ) θ = z k pois em QPSK N = M = 4. Na última linha da tabela estão as k = potências 4 4 z ( k), cuja soma é o complexo z ( k) = 0,008 + j,0869. O seu ângulo de fase a k =,0869 dividir por 4 é arctan 0, ,008 = rad, ou,476º, e é esta a nossa estimativa ML da fase da portadora. Ora compare-se este valor com o obtido no Exemplo, onde pudemos dispor dos dados, ao contrário de agora. Parece que está alguma coisa mal Na verdade, temos um pequeno problema: a estimativa NDA de fase é ambígua ou, como também se diz, há uma ambiguidade de fase de π N radianos. De facto, como ˆ θ está limitada à gama ± π N não abrange valores da fase θ fora dessa gama o que faz com que, dada a simetria da constelação, tenhamos não uma mas N igualmente plausíveis estimativas de fase ˆ θ = θ +Δ θ + πmn, em que 0 m N e Δ θ é um eventual e presumivelmente pequeno erro de estimação. Pergunta-se: qual desses ˆ θ é a melhor estimativa da verdadeira fase θ? Como determinar o valor adequado de m? O problema soluciona-se procedendo a uma codificação/descodificação diferencial ou então usando a chamada Unique Word. Seguindo [], vamos ver como usar esta Palavra Única. 3.. Eliminação da ambiguidade de fase com a Palavra Única Consideremos a modulação MPSK e suponhamos que a recuperação de fase é perfeita ( Δ θ = 0 ). A ambiguidade de fase é π M e queremos determinar o valor de m em θ = ˆ θ πmm. A questão resolve-se antecedendo a sequência a transmitir de um prefixo composto de conhecidos a tal Palavra Única. Então, na posse de L > L amostras zk ( ) recebidas, das quais as primeiras L estimativa ˆ θ é ambígua, efectuamos os seguintes cálculos simples: L símbolos correspondem à Palavra Única, estimamos a fase normalmente e depois, como essa. Para cada k, k L, calcula-se o complexo * j ˆ k yk ( ) = zkce ( ) θ Não esquecer que para k L os símbolos ck são a própria e conhecida Palavra Única. 4

5 . Determina-se a média dos L complexos yk ( ): L Y = y( k) L k = j mm 3. Para cada valor de m em 0 m M calcula-se a parte real de Ye π : j m M ( ) Re Ye π, 0 m M Ao todo temos agora M valores reais: ( ) j M Re Y, Re( Ye π j4 m M ), Re( ) Ye π, etc. 4. Escolhe-se o valor de m que corresponde ao maior dos M reais: j m M { } m = arg max Re Ye π m Por outras palavras: Escolhe-se m se Re( j π m M ) max Re( j π Ye = Ye m M ), m = 0,,, M A estimativa ML de fase, agora enxuta da ambiguidade inicial, é ˆ θ πmm. Para quem gostar de concisão: o critério de escolha de L * ˆ j π m M jθ m = arg max Re e z( k) cke m k = m deve obedecer a Exemplo 3: Eliminação da ambiguidade de fase Vamos tentar eliminar a ambiguidade da estimativa do Exemplo, L = ˆ 0,398 θ = rad, usando uma Palavra Única de símbolos, - e j (os dois primeiros da tabela do Exemplo ). Seguindo os passos do respectivo algoritmo obtemos sucessivamente ) * j ˆ θ y() = z() c e = 0,008 + j,039 ) Média dos yk ( ) : Y = y() + y() = 0,007 + j,0 j m 4 3) Cálculo das partes reais de Ye π, para m = 0,,,3 : * j ˆ θ y() = z() c e = 0, j,008 m 0 3 j m 4 Re( Ye π ) 0,007 -,0-0,007,0 4) Escolhemos m = 3, é claro. Sendo assim, a estimativa de fase sem ambiguidade é ˆ θ πmm = 0,398 6π 4 =,963 rad, ou,476º. Agora sim, a nova estimativa já condiz com a que obtivemos no Exemplo com a ajuda dos dados!

6 Exemplo 4: Recuperação da portadora em BPSK com e sem ajuda de dados DA DA Neste exemplo vamos recuperar a fase de uma portadora de BPSK com os métodos DA e NDA. Dispomos das amostras complexas zk ( ) e dos símbolos reais c k = ± da tabela seguinte. A primeira coluna indica o método onde o conteúdo das linhas é usado. A ambiguidade da estimativa no método sem ajuda é suprimida através de uma Palavra Única de dois bits [- ]. k 3 4 z(k),000 j0,90 0,990 + j0,00 0,990 j0,90 0,980 j0,90 0,980 + j0,00 c k czk k * ( ),000 + j0,90 0,990 + j0,00 0,990 + j0,90 0,980 + j0,90 0,980 + j0,00 NDA z ( k ) 0,964 + j0,380 0,940 + j0,396 0,944 + j0,376 0,90 + j0,37 0,90 + j0,39 y(k),08 j0,006,00 + j0,006 No método DA a quarta linha da tabela conduz-nos ao complexo * k k = czk ( ) = 4,94 + j0,97 e à sua fase ˆ θ DA =,09 º. No método NDA a quinta linha conduz-nos a z ( k) = 4,693 + j,97 e a k = metade da sua fase, ˆ θ,08 º, valor que de tão próximo de ˆ NDA = θ DA nos leva a prever que é mesmo esse o valor final de ˆNDA θ. E assim é. Realmente, a Palavra Única elimina-nos a dúvida inerente a ˆNDA θ através da média da última linha, reais Re( ),039 jπ m = ( ) Y = y() + y() =,04 j0,0004, e dos dois Y = (para 0 ) e Re Ye =,039 (para m = ): como o primeiro valor é o maior dos dois escolhemos m = 0 e não precisamos de corrigir ˆNDA θ, como antecipáramos Uso alternativo da Palavra Única A Palavra Única pode ser usada de outra maneira, sem os cálculos anteriores. Vejamos como. Em BPSK ocorre uma ambiguidade de fase de 80º ou seja, há duas alternativas de fase à escolha em QPSK e em QAM a ambiguidade é de 90º há quatro alternativas de fase enfim, em MPSK a ambiguidade de fase reparte-se por M possibilidades. Então uma maneira de ficarmos sem dúvidas é detectar os primeiros L símbolos de acordo com as M possibilidades. Aquela cuja detecção dê origem aos símbolos da Palavra Única é a que deve ser escolhida. Imaginemos, por exemplo, que em QPSK usávamos a Palavra Única de três símbolos ss 4s. Se ao detectar os primeiros três símbolos da mensagem com as quatro ambiguidades 0º, 40º, -30º e -40º o resultado for, respectivamente, sss, ss s, sss e ss s qual deve ser a nossa escolha? Claro 40º! Comprimento da Palavra Única A Palavra Única não deve ser muito curta senão corremos o risco de errarmos a escolha do inteiro m. Qual deve ser então o seu comprimento, L? Para responder precisamos de conhecer a probabilidade de falsa resolução de ambiguidade, P. Segundo [], em MPSK vale fra ( 0 P = Q L E N ) M = ( 0 π ) P = Q L E N sen M M 4 fra fra Como é de prever, significa Unique Word. 6

7 quando o ruído é gaussiano branco de densidade espectral de potência N 0 e E é a energia dos símbolos MPSK. Sabemos bem que quando a recuperação da fase da portadora é perfeita a probabilidade de símbolo errado em MPSK é igual a Pe Q( E N0 senπ M) para M = (BPSK), em que E b = para 4 M e a Pb = Q( Eb N0 ) é a energia de bit. Se ocorrerem erros de resolução de ambiguidade passamos a ter de considerar uma probabilidade média de símbolo errado que depende de dada por P = P ( P ) + P P + P e e fra fra e fra de garantir que Pfra << Pe. P fra,. Ora se não quisermos degradação do desempenho temos Exemplo : Cálculo do comprimento da Palavra Única Consideremos QPSK com EN 0 = 3,8 db. Na ausência de defeitos de sincronização de fase a 6 probabilidade de símbolo errado vale ( ) de falsa resolução de ambiguidade seja muito pequena face a então de P = Q E N = 0. Se desejarmos que a probabilidade e 8 ( 0 π ) ( 0 ) 0 8 P e por exemplo, P fra = 0 P = Q L E N sen 4 = Q L E N = 0 concluímos que a Palavra Única fra deve conter 4 símbolos: L = Q (0, Pfra) = 4. EN 0 Imaginemos uma outra situação em QPSK: EN 0 = 0 db e uma Palavra Única composta de apenas dois símbolos. Qual é a probabilidade média de símbolo errado, P e? De quanto se degradou a probabilidade de símbolo errado, P e, por causa dos erros na recuperação da fase da portadora? Comecemos por P fra e P e : 6 ( 0 ) ( ) P = Q L E N = Q 0 = 7, 74.0 fra 3 ( 0 ) ( ) P = Q E N = Q 0 =,6.0 e Deste modo 0,%. -3 P = P ( P ) + P =,73.0, correspondendo a uma degradação de cerca de e e fra fra 4. Recuperação ML da fase sem temporização de símbolos nem ajuda de dados Temos suposto que a temporização de símbolos é conhecida. Se não a conhecermos, mesmo assim a recuperação ML da fase sem a ajuda dos dados pode ser usada em MPSK. O que é preciso é que a amostragem do sinal à saída do correlacionador ou do filtro adaptado seja realizada a uma cadência mais elevada: em vez de símbolo a símbolo (de T em T segundos) deve ser feita várias vezes por símbolo (digamos, N s vezes, nos instantes t = kt Ns ). A nova estimativa de θ passa a usar NL s amostras zkt ( N s ), recolhidas de T N s em T N s segundos, e a expressão respectiva é ˆ θ arg ( ) NL s M = z kt Ns M k = (MPSK). Qual deve ser o valor do factor de sobreamostragem N s? Vejamos quanto vale se usarmos impulsos de cosseno elevado com factor de roll-off α, que ocupam, como se sabe, uma largura de 7

8 M banda ( + α ) : a elevação à potência M alarga a banda M vezes, passando para ( + α ) e, de T T acordo com o teorema da amostragem, a frequência de amostragem deve ser, no mínimo, o dobro M da maior frequência do sinal, ou seja, f s (+ α) ; mas fs = Ns T. Portanto, T N M( + α ). s Com sinalização rectangular a largura de banda ocupada após elevação à M-ésima potência é M T pelo que, seguindo raciocínio idêntico ao anterior, concluímos que o factor de sobreamostragem deve respeitar Ns M. Exemplo 6: Recuperação da fase em BPSK sem temporização de símbolos nem ajuda de dados Vamos recuperar a fase da portadora de BPSK a partir das vinte amostras zkt ( N s) da tabela. O factor de sobreamostragem vale N s = 4. k zkt ( N s) k zkt ( N s) k zkt ( N s) k zkt ( N s),000 j0,90 6 0,69 + j0,4,338 j0,60 6 0,374 + j0,079 0,68 j0, ,84 + j0,04 -,44 j0,4 7 0,980 + j0,00 3 0,363 + j0, ,49 j0, ,980 j0,90 8,68 + j0,37 4 0,80 + j0,64 9 0,990 j0,90 4 0,64 j0,3 9, + j0,46 0,990 + j0,00 0,0 j0,4 0,8 j0,03 0,84 + j0,9 Obtemos 0 z ( kt Ns ) = 4, + j0, e a estimativa pretendida é k= ˆ 0, θ = arctan =, 47 º. 4,. Referências bibliográficas [] Sílvio A. Abrantes, Introdução à sincronização em modulações digitais, Março de 007, disponível online em [] Mengali, Umberto e D Andrea, Aldo N., Synchronization Techniques for Digital Receivers, Plenum Press,