Exercícios de Telecomunicações I (TEC)

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1 Exercícios de Telecomunicações I (TEC)

2 Telecomunicações I Folha 1 - Sinais 1 - Calcule a transformada de Fourier de v(t) = Ae -t/t u(t). 2 - Calcule a transformada de Fourier dos sinais da figura. Desenhe a amplitude do espectro fazendo δ<<t. δ A δ 2A A -T T t -2T 2T t 3 - Represente o espectro do sinal: w(t) = cos(2π10t+π/6) + 3 sen 2π30t - 4 cos 2π35t. 4 - Calcule a transformada de Fourier de: Ae -t/t sen w c t. 5 - Calcule e represente graficamente o espectro de x(t) cos 2πf p t sabendo que: e que f p >>f m. 0 f < f m X(f) = 1 f / f m f m f f m 0 f > f m 6 - Calcule v(t) w(t) em que v(t) = e -t u(t) e w(t) = Π(t/2T).

3 Telecomunicações I Folha 2 Modulações de Amplitude 1 - Uma portadora representada por 10.cos(2π x 10 6 t)v é modulada em amplitude por um sinal modulador representado por 3.cos(2π x 10 3 t)v. Calcule: a) o índice de modulação b) as frequências das bandas laterais c) a amplitude das bandas laterais d) a percentagem da potência transmitida nas bandas laterais. 2 - Um emissor de AM emite um sinal com potência de 5kW e com um índice de modulação de 60%. Calcule a potência transmitida na portadora e em cada banda lateral. 3 - Um emissor de AM emite um sinal com uma potência 24kW quando modulado a 100% por uma sinusoide. Determine a potência do sinal quando: a) a portadora não é modulada b) a portadora é modulada a 60%, uma banda lateral é suprimida e a portadora é atenuada de 26dB. 4 - A corrente na antena de um emissor AM é de 8A quando só é transmitida a portadora, e passa a 8,93A quando a portadora é modulada por uma sinusoide. Calcule o indice de modulação. Calcule a corrente na antena quando a portadora for modulada a 80%. 5 - Um emissor radia 9kW quando a portadora não está modulada e 10,125kW quando está modulada por uma sinusoide. Se outra sinusóide modular simultaneamente a portadora com um indice de modulação de 0,4 qual será a potência radiada. 6 - Para o circuito dado A=10V, V 2 =5V e v a = 0 v e 0 2 v e + 4v e v e > 0 Calcule o índice de modulação máximo que se pode obter com este circuito sem causar distorção na envolvente de v o (t).

4 7 - Mostre que o sinal n v(t) = [cos(ω p t).cos(ω i t + θ i ) sen(ω p t).sen(ω i t + θ i )] i =1 é um sinal SSB-SC (w p >>w i ) a) trata-se de banda lateral superior ou inferior? b) escreva uma expressão para a banda lateral que falta. c) obtenha uma expressão para o sinal completo de DSB-SC. 8 - A fig. representa o modulador SSB de Weaver. Analise o seu funcionamento considerando X(t) = cos(2πf m t) e f m < W. 9 - a) A forma de onda v(t) = (1 + m.cos w m t)cosw p t, em que m é uma constante (m 1), é aplicada ao detector de envolvente da figura. Mostre que para a saída do desmodulador acompanhar a envolvente de v(t) é necessário, em qualquer instante t 0 : 1 RC w m sen w m t 0 m 1+ m cos w m t 0 b) Usando o resultado da alínea anterior mostrar que, se quisermos que o detector siga a envolvente, então m deve satisfazer a desigualdade: RC 1 m2 mω m

5 Detector de envolvente 10 - Quando um receptor superheterodino é sintonizado para 555kHz o seu oscilador local apresenta à entrada do misturador um sinal de 1010kHz. Qual é a frequência imagem? A antena está ligada ao misturador atraves de um circuito sintonizado com um Q de 40. Qual será o factor de rejeição para a frequência imagem? 11 - Calcule o factor de rejeição da frequência imagem para um receptor de dupla conversão que tem uma primeira frequência intermédia de 2MHz e uma segunda de 200kHz, o amplificador de RF tem um Q de 75 e está sintonizado para 30MHz Para a realização de um grupo primário de FDM (12 canais) procede-se do seguinte modo: i - filtra-se o sinal vocal ( Hz) ii - modula-se em SSB/SC (banda lateral superior) três canais pelas portadoras de 12kHz, 16kHz e 20kHz sucessivamente iii - repete-se o procedimento ii para mais três grupos de três canais iv - modula-se em SSB/SC (banda lateral inferior) os quatro subgrupos anteriores pelas portadoras de 120kHz, 108kHz, 96kHz e 84kHz sucessivamente Quais são as frequências máxima e mínima de cada um dos grupos finais?

6 Telecomunicações Folha 3 Modulações Angulares 1 - Para além do FM e do PM temos outros dois tipos de modulação exponencial, uma em que Ø(t) = k dx(t) / dt e outra em que f (t) = k t x( )d. Complete a tabela e calcule o valor máximo de Ø(t) e f (t) para os quatro tipos de modulação, quando x(t) = cos2πf m t. Ø(t) f (t) PM Ø. x(t) Ø / 2π dx(t) / dt Ø(t) - Fase t FM 2πf x( )d f x(t) f (t) - Frequência 2- Um sinal de 1MHz com amplitude de 3V é modulado em frequência por um sinal de 500Hz com amplitude de 1V. O desvio de frequência é de 1kHz. a) Se o nivel do sinal modulador passar a ser de 5V e a frequência de 2kHz escreva a expressão do novo sinal de FM. b) Determine a largura de banda do sinal modulado nas duas situações descritas. 3 - O desvio de frequência de 75kHz de um sinal FM é obtido com um sinal modulador sinusoidal de amplitude unitária. Suponha que a mesma portadora é modulada em FM por um outro sinal sinusoidal de valor eficaz igual a 80% do valor eficaz do primeiro sinal e de frequência 15kHz. O sinal de FM obtido é aplicado a um filtro passa-banda ideal de largura de banda B=(2ß+1)f m. Qual fracção da potência é deixada passar por este filtro. 4 - Suponha que a máxima largura de banda requerida por um sinal modulador arbitrário de frequência máxima 10kHz é Bt. a) Calcule a percentagem de Bt ocupada quando o sinal modulador é um sinal sinusoidal de amplitude unitária e f m =0.1, 1 e 5kHz respectivamente, sendo a modulação FM com f=30khz. b) Repita a alínea anterior para PM com ß PM =3. Compare os resultados.

7 5 - Considere um sistema FM em que f=75khz e f m =15kHz. Calcule a largura de banda de forma a incluir 95% da potência. n Jn(2) Jn(5) Jn(10) Um oscilador funcionando a 100MHz tem um condensador de 75pF no seu circuito de 7 - sintonia, em paralelo com um díodo varicap. Qual a variação de capacidade total que o varicap deve proporcionar de maneira a permitir um desvio de frequência máximo de 80kHz. O condensador variável com a tensão é um díodo inversamente polarizado cuja capacidade está relacionada com a tensão de polarização v. C o =200pF e L está ajustado para a ressonância a 5MHz quando uma tensão inversa fixa v=4v é aplicada ao condensador C v. A tensão moduladora é m(t) = sen2π.10 3 t. Se a amplitude de oscilação for 1V escreva uma expressão para a forma de onda de saída do oscilador. 8 - Projecte um sistema de Amstrong usando um oscilador a cristal de 500kHz, com flutuação máxima de frequência de ±30Hz, supondo que se pretende uma portadora de 97MHz com f=75khz. Tenha em conta que os multiplicadores só devem ser duplicadores ou triplicadores.

8 Telecomunicações Folha 4 - Ruído 1 - Considere o processo aleatório definido por y(t) = a + b cos(t), em que a e b são variáveis aleatórias independentes. A variável aleatória b tem distribuição N(0,2), e a é uniformemente distribuida em [0,2]. Qual é o valor médio do processo aleatório y(t)? Calcule o valor da função de autocorrelação Ry(Ë). O processo y(t) é estacionário? 2 - Ruído n(t) de banda limitada e valor médio nulo tem uma densidade espectral de potência Gn(f) = 10-6 V2/Hz na gama de frequências de -100 a 100KHz. a) Determine Rn(Ë). Para que espaçamento de Ë, n(t) e n(t+ë) são não correlacionados? b) Suponha que n(t) é gaussiano. Qual é a probabilidade, em qualquer instante t, de n(t) exceder 0.45V? e 0.9V? 3 - Z(t) = M(t) cos(wt + Ø). M(t) é um processo aleatório com E(M(t))=0 e E(M(t)2)=Mo. a) Se Ø=0 calcule E(Z(t)2). Z(t) é estacionário? b) Se Ø é uma variável aleatória independente tal que f(ø)=1/2 para - Ø mostre que E(Z(t)2) = E(M(t)2) E(cos2(wt+Ø)) = Mo/2. Z(t) é estacionário? 4 - Duas resistências R1 e R2 encontram-se ás temperaturas T1 e T2 respectivamente, e estão ligadas em série. Calcule a temperatura equivalente de ruído da combinação. 5 - Um gerador de ruído com um díodo de vazio apresenta Gv(f) = 2kRTo + eibr2, em que R é a resistência da fonte, e é a carga do electrão e Ib é a corrente contínua que atravessa o díodo. Obtenha uma expressão para a temperatura de ruído e calcule também o seu valor quando R=50 e Ib=20mA. 6 - Calcule a largura de banda equivalente de ruido do filtro H(w)2 = exp(-w2). 7 - Considere o circuito da figura. Mostre que a densidade espectral de potência de vo(t) é : Gv(f) = 10-8 V2/Hz com B = G/2 C 1+(f/B)2

9 8 - Uma antena tem uma temperatura de ruído Tant=10K e está ligada a um receptor com temperatura de ruído efectiva Te=140K. O ganho disponível a meio da banda do receptor é gao=1010 e, relativamente a esta frequência intermédia, a largura de banda de ruído é Bn=1.5*105Hz. Calcule a potência disponível do ruído de saída. 9 - Uma antena está apontada numa direcção tal que a sua temperatura de ruído é de 30K. Está ligada a um preamplificador com uma figura de ruído de 1.6dB e um ganho disponível de 30dB numa banda de 10MHz. a) Calcule a temperatura efectiva de ruído á entrada do preamplificador. b) Calcule a potência do ruído á saída do preamplificador Um tom de amplitude 2 Vrms e frequência 5.8 KHz modula em amplitude uma portadora de amplitude 5 Vrms, sendo transmitida a portadora e as bandas laterais. Sabendo que a densidade espectral de ruído à entrada do detector é 0.1 µw/hz, determine a relação sinal ruído à saída do detector. A largura de banda do receptor é 10 KHz e a amplitude da portadora á entrada do detector é 1 Vrms A relação sinal ruído à saída de um detector coerente é 25 db quando a entrada é um sinal SSB-AM. Se a entrada do detector passar a ser DSB-AM com m=100%, determine o aumento da potência total à entrada do detector para manter uma S/N à saída deste de 25 db Um transmissor de VHF radia um sinal DSB-AM com um índice de modulação de 45% e uma largura de banda de áudio de 15 KHz, produzindo uma S/N de 40 db à saída de um receptor que dista 3 Km do transmissor. Se o transmissor for comutado para FM, radiando a mesma potência total e com um desvio máximo de frequência de 60 KHz, determine a que distância se deve encontrar um receptor de FM para apresentar na saída uma S/N igual à do DSB-AM. Assuma que a densidade espectral de ruído à entrada dos receptores é a mesma e que a potência recebida decresce com o quadrado da distância ao transmissor Uma estação de radio transmite um sinal DSB - SC - AM com uma potência média de 1 KW. Se a transmissão passar para SSB-AM calcule a potência média emitida nos dois casos seguintes: a) receber a mesma potência de sinal à saída do receptor. b) ter a mesma S/N à saída do receptor Um tom de 7,5 KHz é o sinal modulador para dois sistemas, DSB-AM e FM, sendo a potência transmitida igual nos dois casos. O desvio máximo de frequência da portadora de FM é 60 KHz, e a amplitude do 1º par de riscas do espectro de FM é igual à amplitude das bandas laterais do sinal de DSB-AM transmitido. Assuma uma largura de banda de 7,5 KHz

10 para os receptores de AM e FM e determine o ganho em S/N que o receptor de FM apresenta. A densidade espectral de potência tem um valor constante e é a mesma em ambos os casos. 15. Para o processo aleatório definido por v(t) = 6e Xt calcular E[v(t)], R(t 1,t 2 ) e E[v 2 (t)]. 16 Seja o processo aleatório definido por v(t) = A.cos(ω o t + φ), onde A e φ são variáveis aleatórias independentes tendo φ uma fdp uniforme em [0, 2π]. Determinar E[v(t)], R v (t 1,t 2 ), E[v 2 (t)] e <v 2 (t)> e conclua sobre a estacionaridade e ergodicidade do processo. 17 Um processo aleatório apresenta uma função de autocorrelação R v (τ) = 16e -8τ2 +9. Faça o esboço da sua função densidade espectral de potência e determine o valor dc do sinal, a sua potência média e o valor rms. 18 Considere o circuito seguinte em que R e L são ideais (sem ruído) e a fonte de ruído gera ruído branco de densidade η. Sendo v(t) a tensão na resistência calcular G v (f), R v (τ) e E[v 2 (t)]. 19 O ruído térmico produzido por uma resistência de 10kW à temperatura ambiente, processo y(t), passa por um filtro passa baixo ideal com frequência de corte 2,5MHz a ganho unitário, após o que entra num rectificador de onda completa terminando num processo que designamos por z(t). Qual a média e o valor rms de z(t)? 20 Um sistema de transmissão analógico com a banda limitada a W = 5kHz e um emissor com potência S T =100mW é usado para transmitir sinais a longo de um canal sendo a relação (S/N) D à entrada do receptor de 46 db. Se alterarmos a largura de banda do canal conforme necessário, como deveríamos fazer variar a potência emitida se pretendêssemos usar o canal para (a) transmitir sinais de alta fidelidade e (b) transmitir voz com qualidade telefónica. 21 Um sinal com banda W = 5kHz é transmitido numa distância de 40km utilizando um cabo cuja atenuação é α = 3dB/km. O receptor utilizado possui uma temperatura de ruído equivalente à entrada T N = 10T o. (a) Determine a potência de emissão requerida para que (S/N) D = 60dB, (b) idem, quando a meia distância de transmissão se usa um repetidor com emissor e receptor iguais aos usados nas extremidades. 22 Determine a expressão corresponde à tensão v n2 (f) de uma série de duas resistências R 1 à temperatura T 1 e R 2 à temperatura T 2, em equilíbrio térmico. Verifique que se for T 1 = T 2 o ruído é o que estaria associado à resistência série das duas. 23 Repita para o caso das duas resistências se encontrarem em paralelo. Sugestão: trabalhe com a corrente de ruído e o problema é muito idêntico ao anterior.

11 24 Considere um circuito com impedância complexa e com ruído ligado a uma resistência também ruidosa. Mostre que, uma vez que as potências de ruído trocadas nos dois sentidos devem ser iguais para que as duas partes atinjam o equilíbrio térmico, isso significa que o ruído da reactância é o associado pela expressão normal à sua parte resistiva. 25 Um amplificador com ganho em potência G = 50dB e B N = 20kHz apresenta à saída uma potência de ruído N o = 80pW quando a temperatura de ruído à entrada é T S = T o. Calcule a temperatura equivalente de ruído do amplificador (T e ), o seu factor de ruído (F) e a potência à saída quando for T S = 2T o. 26 Quando a temperatura de ruído à entrada de um amplificador passa de T o para 2T o a temperatura de ruído à saída aumenta de 1/3. Determine T e e F. 27 Um sistema de recepção consiste num pré-amplificador (F = 3dB e G = 20dB), um cabo com atenuação L = 6dB à temperatura T o e um receptor com F = 13dB. (a) Determine o factor de ruído do sistema, (b) repita trocando a posição do pré-amplificador por forma a ficar entre o cabo e o receptor. 28 Calcule a distância máxima que poderá ser utilizada para efectuar comunicação em RF admitindo que: a Banda de transmissão é B = 200KHz, o factor de ruído do receptor é de 6dB, a potência emitida é de 1kW e as antenas apresentam ganhos G T = 20dB e G R =20dB e o comprimento de onda utilizado é 3cm, o ruído da antena possui uma temperatura equivalente T a = 50ºK e (S/N) D = 30dB. OBS: Algumas expressões importantes para estes cálculos. Nas expressões A e designa área eficaz de uma antena, G o ganho dessa antena, P potências, R e T em índice designam respectivamente receptor e emissor, r designa a distância entre antenas de emissão e recepção: 4πAe G = 2 λ AeR A PR = PT 2 r λ A segunda expressão é essencial neste caso e pode escrever-se de outra forma: Sendo agora a potência na recepção expressa em termos da potência emitida, dos ganhos das duas antenas utilizadas e da atenuação em espaço livre, dada por 4πAeR 4πAeT λ P R = PT = r λ λ π L fs 2 4πr = λ 2 PT. G L T fs et 2. G R.

12 Este último termo designa-se por atenuação em espaço livre que pode ser expressa em db do seguinte modo 4πr L fs = 20log10 λ Normalmente todas estas grandezas são expressas em db e nesse caso ficará P R = P T + G T + G R L fs Onde o uso de bold significa que a grandeza está expressa em db. 29 Um sistema de comunicação com as seguintes características P T = 10W W = 10kHz N o = 10-13W/Hz Atenuação do cabo de ligação = 1dB/km, Em que P T é a potência do emissor, W a frequência máxima do sinal modulador, N o a densidade espectral de potência do ruído efectivo à entrada do receptor. Calcule o comprimento máximo do cabo que se pode utilizar por forma a garantir que a relação SNR o à saída seja de 40 db, para os seguintes casos: (a) modulação SSB, (b) modulação AM com 100% de modulação e (c) FM com β = 2 e 8 e sem pré-ênfase.