Técnicas de Processamento Imagens. Fourier 1D e 2D

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1 Técnicas de Processamento Imagens Fourier 1D e 2D

2 Agenda Motivação / Introdução Revisão de conceitos matemáticos Série de Fourier Transformada de Fourier 1D & 2D Contínua & discreta Principais propriedades

3 Motivação Sinais são interpretados pelos nossos sentidos e enviados para o nosso sistema nervoso percepção cor e sons Sinais são representados por funções que se caracterizam pela sua freqüência (cor vermelha, verde, azul; sons graves/agudos) Bom começo para analisar tais funções é o estudo de sua freqüência

4 O que é freqüência de uma função? Fácil de ser entendido no caso de funções periódicas f (t )= A cos(2 πωt ), A>0 A = amplitude da função (valores max e min assumidos) = indica o número de ciclos completos de período existentes no intervalo [0, 1]

5 O que diz Fourier sobre a equação do slide anterior? qualquer função periódica pode ser expressa como soma de senos e/ou cossenos de diferentes frequências, cada uma multiplicada por um coeficiente diferente. Mesmo funções não periódicas, mas cuja área sob a curva é finita, podem ser expressas como integral de senos e /ou cossenos multiplicados por uma função peso. A formulação neste caso é a transformada de Fourier.

6 O que é freqüência de uma função? a b

7 O que é freqüência de uma função? Qual a região contém mais componentes de alta freqüência?

8 Introdução Matemático francês Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) Teoria publicada em 1822 Qualquer função periódica pode ser representada como uma soma de senos e/ou cossenos de diferentes frequencias, cada uma multiplicada por um coef. diferente (Série de Fourier) Funções não periódicas (porém tendo um valor finito de área sob a curva) podem também ser representadas por integrais de senos e/ou cossenos multiplicadas por uma função peso (Transformada de Fourier) Ambas representações podem ser reconstruídas completamente por um processo inverso sem perda de informação

9 Introdução: Representação de sinais complexos

10 Série de Fourier

11 Série de Fourier Resta achar uma forma de calcular os coeficientes

12 Série de Fourier Valores médios de uma função S =AY <Y> = (S1-S2)/A <Y> = (S1-S2)/A = 0

13 Série de Fourier Calculando coeficientes f(x) = a0+ a1 sen(x) +a2 sen(2x) +a3 sen(3x) b1 cos(x) + b2 cos(2x) +... Vamos calcular a3. Multiplicando os dois lados por sem(3x) f(x)sen(3x) = a0 sen(3x) + a1 sen(x) sen(3x) + a2 sen(2x) sen(3x) + a3 sen2(3x) b1 cos(x) sen(3x)+... Tomando as médias de cada termo da equação:) < f(x)sen(3x) > = < a0 sen(3x) > + < a1 sen(x) sen(3x) > +< a2 sen(2x) sen(3x) > + < a3 sen2(3x) > < b1 cos(x) sen(3x) > +... a0 = < f(x) > = média de f(x). an = 2 < f(x) sen(nx) > = 2 vezes a média de f(x) sen(nx). bn = 2 < f(x) cos(nx) > = 2 vezes a média de f(x) cos(nx).

14 Série de Fourier Exemplo Onda Quadrada f(x) = a0+ a1 sen(x) +a2 sen(2x) +a3 sen(3x) b1 cos(x) + b2 cos(2x) +... a0 = < f(x) > = média de f(x). an = 2 < f(x) sen(nx) > = 2 vezes a média de f(x) sen(nx). bn = 2 < f(x) cos(nx) > = 2 vezes a média de f(x) cos(nx). f(x) = 1 (de 0 a ) f(x) = 0 (de a 2) a0 = 1/2

15 Série de Fourier Exemplo Onda Quadrada a1 = 2 < f(x) sen(x) > = 2/π a2 = 0 a3 = 2 < f(x) sen(3x) > = 2/3π a0 = 1/2; an = 0 - para todo n PAR; an = 2/n π - para todo n ÍMPAR.

16 Série de Fourier Exemplo Onda Quadrada f(x) = 1/2 + (2/ π) sen(x) + (2/(3 π)) sen(3x) + (2/(5 π)) sen(5x) + (2/(7 π)) sen(7x) +... Onda quadrada: 5 termos Onda quadrada: 15 termos Quiz: O que é o termo constante? O que é o primeiro termos da equação? E os demais termos? Como são chamados??

17 Série de Fourier 1a. componente: constante. Se não existisse (se fosse nula), o sinal estaria centrado no zero do eixo y. Em Eng. Elétrica esse termo corresponderia a componente de corrente contínua. 2a. componente: (4sinx) tem o mesmo período ( T =2 π ) do sinal. Portanto, é chamado de oscilação fundamental As demais parcelas correspondem as oscilações harmônicas do sinal Os coeficientes ak e bk são, na realidade, as amplitudes de cada harmônico

18 Série de Fourier Outro exemplo f ( x )=5+ 4 sin x + 4 sin 3 x+ 3 4 sin 5 x sin 7 x +

19 Transformada de Fourier

20 Definições matemáticas importantes C=R+ ji Número complexo Conjugado complexo Módulo Fase φ=arctan I Fórmula de Euler C = R +I 2 C =R ji 2 (R) jθ e =cos(θ) j sin( θ)

21 Definições matemáticas importantes IMPULSOS E A PROPRIEDADE DE DESLOCAMENTO (SHIFT) O conceito de impulso e sua propriedade de deslocamento, é central ao estudo de sistemas lineares e transformada de Fourier. Um impulso unitário de uma variável contínua t localizada em t=0, denotado (t), é definido como { δ (t )= 0 e deve satisfazer também a identidade se t=0 se t 0 δ(t)dt=1 Fisicamente, se t é considerado tempo, um impulso pode ser visto como um pico de amplitude infinita e duração zero, tendo área unitária. Um impulso tem a propriedade de deslocamento com respeito a integração f (t )δ(t )dt=f ( 0)

22 Definições matemáticas importantes Propriedade Sift mais geral diz que o impulso pode estar localizado em um ponto arbitrário t 0 f (t )δ(t t 0 )dt= f (t +t 0 )δ(t )dt=f (t0 ) que resulta no valor da função na posição do impulso. Por exemplo, se f(t) = cos(t), usando o impulso (t- ) resulta em f( ) = cos( )= -1. A Aδ ( x x 0 ) x0

23 Definições matemáticas importantes Esta discussão vale para variáveis discretas... Seja x uma variável discreta. O impulso unitário discreto (x) funciona da mesma forma que em variáveis contínuas, e é definido como δ ( x )= { 1 x=0 0 x 0 E a definição satisfaz o equivalente discreto da eq. contínua: δ ( x)=1 x=

24 A propriedade de deslocamento para variáveis discretas tem a forma f ( x)δ ( x)=f (0) x= ou mais genericamente, usando o impulso discreto em x = x 0, x= f ( x)δ ( x x 0 )=f ( x 0 ) A Fig. mostra o impulso discreto unitário diagramaticamente.

25 Definições matemáticas importantes Trem de impulsos s ΔT ( t )= n= δ(t nδt )

26 Série de Fourier

27 Transformada de Fourier (sinal contínuo 1D)

28 A TRANSFORMADA DE FOURIER DE FUNÇÕES CONTÍNUAS DE UMA VARIÁVEL A transformada de Fourier de uma função contínua f(t), é definida pela equação j 2π μ t F(μ)=ℑ {f ( t )}= f (t )e onde é também uma variável contínua. Dada F( ), podemos obter f(t) usando a transformada inversa de Fourier f (t )=ℑ {F( μ)}= F(μ)e 1 dt j2 π μ t dμ Usando a fórmula de Euler podemos expressar F(μ)= f (t ) [ cos(2πμ t ) jsin(2πμ t )] dt

29 EXEMPLO 4.1 Transformada de Fourier da função da Fig.4.4a W/2 j 2π μ t F (μ)= f (t )e dt= j2 π μ t Ae dt W /2 A j 2 πμ t W /2 A jπμ W j πμ W = [e ] W /2 = [ e e ] j 2 πμ j2 πμ A = [ e jπμw e j πμ W ] j 2 πμ sin( πμw ) = AW ( πμw ) onde a identidade sin θ=( e jθ e jθ )/2 j E o resultado é uma função sinc: sinc( m)= foi usada sin( π m) ( π m)

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31 Vimos que sinc( m)= sin( π m) ( π m) onde sinc(0) = 1 e sinc(m) =0 para todos os valores inteiros de m, coforme podemos observar na Fig.4.4b. Em geral a transformada de Fourier tem termos complexos, e é costume trabalhar com a magnitude da transformação (um valor real), que é chamada de espectro de Fourier ou espectro de frequência: conforme Fig.4.4c. sin (πμ W ) F ( μ) = AT (πμw ) É importante observar que: a) as posições de zeros em ambas as figuras são inversamente proporcionais a largura W, da função. b) a altura dos picos decrescem com a distância da origem. c) a função estende a infinito positivo e negativo.

32 Transformada de Fourier

33 Exemplos:

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35 Onda quadrada - Pulso

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38 Algumas propriedades da FT Linearidade x(t) + y(t) X(f) + Y(f)

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41 Simetria Seja h(t) e H(f) pares da transformada de Fourier então: H(t) h(-f)

42 Deslocamentos no tempo e na freqüência Deslocamentos no tempo (fase) h(t-t0) H( f )e-j2 ft0

43 C = R +I 2 2 I φ=arctan R ( ) Deslocamentos causam mudança apenas na fase e não na mag.

44 Convolução Uma das propriedades mais importante da FT h(t) H( f ) e g(t) (h*g)(t) H( f )G( f ) h(t)g(t) (H * G)( f ) G( f )

45 Convolução

46 Conservação da energia Teorema de Parseval

47 Amplitude e Fase O espaço FT pode ser visualizado diretamente através das suas componentes (real e imaginária) Ou através da fase e amplitude do spectro

48 Calculando a fase e a amplitude Amplitude é determinada pelo módulo: seja z um número complexo definido como: z = x + yi z = z = x2 + y2 H(f) = Re[H(f)]2 + Im[H(f)]2 Fase é dada por: Im[ E (t )] (t ) arctan Re[ E (t )]

49 Transformada de Fourier (sinal contínuo 2D)

50 Transformada de Fourier 2D O par de transformada de Fourier para função f(x,y) de duas variáveis: F(u,v )= f ( x, y )exp[ j 2π (ux+vy )]dxdy f ( x, y )= F( u,v )exp[ j 2π (ux+vy )]dudv onde u, v são os valores de freqüência

51 Transformada de Fourier 2D

52 Transformada Discreta de Fourier 1D-DFT

53 Transformada Discreta de Fourier A função contínua f(x) é discretizada numa seqüência: {f (t 0 ), f (t 0 + ΔT ), f (t 0 +2 ΔT ),, f ( t 0 +[ N 1 ] ΔT )}

54 Transformada Discreta de Fourier Onde t assume valores discretos (0,1,2,,N-1), então f (t )=f (t 0 +[ N 1 ] ΔT ) A seqüência {f(0}, f(1), f(2),, f(n-1)} denota qualquer amostragem de N valores uniformemente espaçados de uma função contínua correspondente

55 Transformada Discreta de Fourier O par de transformadas discretas de Fourier que se aplica a funções amostradas é dado por: 1 F (u)= N N 1 f ( t )exp [ j 2 π ut / N ], para u=0,1,2,,n-1 t=0 N 1 f (t )= f (u )exp[ j 2 π ut / N ], u=0 para t=0,1,2,,n-1

56 Transformada Discreta de Fourier Para calcular F(u), substituímos u=0 no termo exponencial e somamos para todos os valores de t Repetimos para todos os N valores de u Teremos então NxN adições e multiplicações. Então a complexidade computacional é de ordem O(N2) N 1 F (u)= f (t )exp [ j 2 π ut / N ], t=0 para u=0,1,2,,n-1

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58 EXEMPLO A Fig.4.11a mostra quatro amostras de uma função contínua, f(t), tomada em intervalos de T. A Fig.4.11b mostra os valores amostrados no domínio x. Nota-se que os valores de x são 0, 1, 2 e 3, indicando que poderiam referenciar quaisquer 4 amostras de f(t). Usando a eq M 1 F (u)= f ( x )e j2 π ux/m u=0,1,2,..., M 1 x=0 3 F (0 )= f ( x )=[ f (0 )+f (1)+ f (2 )+f (3 ) ] x=0 = =11 O próximo valor de F(u) é 3 F (1 )= f ( x )e j2 π ( 1) x / 4 x =0 =1 e 0 +2e jπ /2 +4 e jπ +4 e j3 π /2 = 3+2 j

59 Similarmente F (2)= (1+0 j) e F (3)= (3 +2 j ) Todos os valores de amostras f(x) são usados para computar cada valor de F(u). Se fosse dado F(u) e o problema é de computar a inversa 3 1 f (0 )= F (u)e j2 πu ( 0) 4 u=0 3 1 = F (u ) 4 u=0 1 = [ j j] 4 1 = [ 4 ]=1 4 o que está de acordo com a Fig.4.11b.

60 DFT shifting, (fftshift-matlab)

61 Transformada Discreta de Fourier 2D-DFT

62 Transformada Discreta de Fourier No caso de duas variáveis, o par DFT é: 1 F (u,v )= MN M 1 N 1 f ( x, y )= F (u,v )exp[ j 2 π(ux/ M +vy/ N )] f ( x, y)exp[ j 2π(ux /M +vy/ N )] x=0 y=0 M 1 N 1 x=0 y=0 onde u, v são os valores de freqüência

63 Transformada Discreta de Fourier A amostragem de uma função contínua agora é feita em uma grade bidimensional, com divisões de largura x e y nos eixos x e y, respectivamente Como no caso unidimensional, a função discreta f(x,y) representa amostras da função f ( x 0 + xδx, y 0 + yδy ) para x = 0,1,2,,M-1 e y = 0,1,2,, N-1 1 Δu=, MΔx 1 Δv= NΔy

64 Trem de pulso usado para amostragem puntual

65 Aliasing fenômeno em imagem

66 Ajuste da escala dinâmica do espectro de Fourier

67 Algoritmo 2D de 1D Matriz A Matriz Separar em linhas Separar em colunas FFT 1D para cada linha Compor linhas em matriz FFT 2D de A FFT 1D para cada coluna

68 Amplitude e Fase F(u,v) amplitude fase original F(u,v)

69 DFT aplicada na detecção de defeitos SEM = Scanning Electron Microscope

70 Transformada de Fourier discreta - 2D

71 Propriedades DFT - Translação

72 Propriedades DFT - Translação F(u,v) F(u,v)

73 Rotação

74 Combinação Linear (soma) + + = =

75 Expansão

76 Relação de freqüência espaço/espectro

77 Alguns pares...

78 Combinando Amplitude e Fase As funções complexas podem ser decompostas em suas magnitudes e fases. f(t) pode ser escrita: Do mesmo modo, f(t) = Mag{f(t)} exp[ i Phase{f(t)}] F( ) = Mag{F( )} exp[ i Phase{F( )}] Com estas propriedades podemos combinar a amplitude e a fases em imagens.

79 Combinando Amplitude e Fase Rick Linda Pictures reconstructed using the Fourier phase of another picture Mag{Linda} Phase{Rick} Mag{Rick} Phase{Linda} The phase of the Fourier transform is much more important than the magnitude in reconstructing an image.

80 Próxima aula: Filtragem no domínio da freqüência

81 Bibliografia Digital Image Processing, 3rd. Edition, Rafael C. Gonzalez, Richard E. Woods, 2008 Digital Image Processing, Kenneth R. Castleman, o. Colóquio Brasileiro de Matemática, Wavelets: Teoria, Software e Aplicações, Jonas Gomes, Luiz Velho, Siome Goldenstein, 1997