I-4 Espectro de sinais periódicos A Série de Fourier. Comunicações (11 Março 2010)

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1 I-4 Especr de sinais periódics Série de Furier Cmunicações (11 Març 010 1

2 Sumári 1. Sinais periódics 1. Sinusóide. Onda quadrada. Especr de ampliude e de fase 1. Unilaeral. Bilaeral 3. Série de Furier 4. Cálculs 1. Pência e valr médi. Largura de banda 5. Exercícis 6. Ouras aplicações

3 1. Sinais periódics Sinais periódics u esriamene repeiivs Repeem-se a cada períd fundamenal T menr valr de emp para qual sinal se repee N dmíni cnínu u analógic (períd T seg ems x T ( x( x( T Para dmíni discre (períd N amsras ems Exempls: Onda Quadrada x[ n] x[ n N] Sinusóide é ineir relaiv. T 0 T 0 f 1 0 T T 0 0 ISEL - DEETC - Cmunicações 3

4 1. Sinusóide v( cs( f0 valr máxim de ampliude f frequência fundamenal (n.º de períds pr segund T = 1 / f, é períd fundamenal fase inicial ( deslcamen n eix ds emps, em relaçã à rigem 4

5 1. Sinusóide v( cs( f0 Tem valr médi nul pência é P v apenas depende da ampliude nã depende da frequência nem da fase 5

6 1. Sinusóide 6

7 1. Sinusóide plicaçã nas mdulações: OOK FSK PSK 7

8 1. nda quadrada hp://en.wiipedia.rg/wii/mancheser_cde 8

9 1. nda quadrada 9

10 . Especr de ampliude e de fase sinusóide represenada pr um fasr (fase + vecr Fórmula de Euler e j cs j sin cm j 1 0 sinusóide crrespnde à cs( 0 ( ( j j e e 0 real da expnencial 0 cmplexa hp:// 10

11 . Especr de ampliude e de fase O fasr em cmprimen Rda a f rações pr segund Faz um ângul de radians cm eix real, para = 0 Para descrever fasr n dmíni da frequência precisams de lhe assciar a ampliude e a fase 11

12 . Especr de ampliude e de fase Cnvenções na represenaçã especral: Variável independene é a frequência f em Hz (cicls/seg w=*pi*f (rad/seg é a frequência angular Os ânguls de fase sã medids relaivamene a funçã c-sen (rigem d referencial: sen(ω = cs (ω - 90º = cs (ω / ampliude é sempre psiiva. mpliudes negaivas sã referidas na fase cs(ω = cs (ω º = cs (ω +- 1

13 . Especr de ampliude e de fase sinusóide v( = 0 cs ( 1000 /3 Especr de mpliude Especr de Fase /3 crrespnde a 60º 13

14 . Especr de ampliude e de fase Sma de sinusóides cm cmpnene DC nã nula Dmíni d emp Dmíni da frequência: mpliude Fase (em graus v( 7 10cs 0 4sen(

15 . Especr de ampliude e de fase v( 7 10cs 0 4sen( cs 0 4cs cs 0 4cs 60 3 mpliude sempre psiiva C-sen indica a referência de fase 15

16 . Especr de ampliude e de fase Fasres Cnjugads Especr bilaeral e frequências negaivas Simeria par Simeria ímpar 1 * z ( z z j f j * j f j z e e z e e j f j j f j cs( f e e e e 16

17 . Especr de ampliude e de fase Versã bilaeral d especr v( 7 10cs 0 4sen( cs 0 4cs

18 . Especr de ampliude e de fase Dmíni d Temp x( cs( f Especr Unilaeral cs(f cs(f cs( (f cs( ( f Especr Bilaeral 18

19 . Especr de ampliude e fase Cnsiuem represenações gráficas de sinusóides n dmíni da frequência Uma linha n especr unilaeral represena uma sinusóide Essa mesma sinusóide é represenada pr duas linhas n especr bilaeral O especr de ampliude frnece indica a disribuiçã de pência pelas frequências O especr de fase indica desfasamen de cada cmpnene de frequência (desvi para =0 19

20 3. Série de Furier Jean-Bapise Jseph Furier ( Qualquer funçã u frma de nda periódica pde ser expressa pela sma de sinusóides cm frequências múliplas ineiras (designadas harmónicas da frequência fundamenal, cm as ampliudes e fases aprpriadas x( 0 1 cs( f 1 cs( f... 0 cs(f 1 0

21 3. Série de Furier 1 cs( ( 1 0 f x Especr Unilaeral Especr Bilaeral cs( ( f c x 0, 0, 0, c c c 0, 0,

22 3. Série de Furier (rignmérica Especr Unilaeral cs( a b cs( acs( b sen( asen( b x( 0 cs(f (cs( cs( f sen( sen(f 0 cs( cs(f sen( sen(f 1 1 a0 a cs( f bsen( f 1 1 a, 0 cs(, 0 b sen(

23 3. Série de Furier (rignmérica 3 cs( ( 1 0 f x Especr Unilaeral sen( cs( f b f a a 0, cs( 0, a ( sen b b a a b aan

24 3. Série de Furier (expnencial 1/ 4 Especr Bilaeral sen( cs( ( f b f a a x exp( exp( exp( exp( j f j f j b f j f j a a exp( exp( f j b j a f j b j a a exp( exp( f j b j a f j b j a a

25 3. Série de Furier (expnencial / 5 Especr Bilaeral exp( exp( ( f j b j a f j b j a a x f j c exp( b a b a c exp( j c c 0, 0,

26 3. Série de Furier (expnencial / Ceficienes da Série de Furier c c exp( j x(,exp( jf 1 x( exp( jf d T T 1 T T x( cs( f 1 d j T T x( sen(f d 6

27 3. Série de Furier Frequência fundamenal f é aquela à qual sinal se repee T = 1 / f O períd fundamenal T é mínim múlipl cmum ds períds das várias cmpnenes de frequência T = mmc( T 1, T,... 7

28 3. Série de Furier Sínese de sinais periódics aravés da sma de sinusóides 8

29 3. Série de Furier Sma de sinusóides 9

30 3. Série de Furier x( 0 1 cs( f 1 cs( f... 0 cs(f 1 x( é sinal periódic real cm frequência fundamenal f Especr de ampliude é dad pels ceficienes a Especr de fase é definid pels ceficienes 0 é valr médi d sinal (cmpnene DC f sã as cmpnenes harmónicas d sinal f é a primeira harmónica 30

31 3. Série de Furier Sequência de pulss recangulares (nda quadrada Sinal periódic de pência Sínese à cusa de sinusóides 31

32 3. Série de Furier Especr da sequência de pulss recangulares 3

33 3. Série de Furier Especr da nda quadrada mpliude uniária Duy cycle d =1/4 33

34 3. Série de Furier Especr da nda quadrada (ampliude uniária s linhas d especr crrem às frequências múliplas de f 0 Na frequência 0 ems a cmpnene DC d sinal f 0 é a frequência fundamenal f 0 sã as harmónicas d é duy cycle s ampliudes das harmónicas sã dadas pr = d sinc(d 34

35 3. Série de Furier Onda quadrada: sma de sinusóides x( 0 cs(f 1 d, 0 dsinc( d, 0 Na: nesa represenaçã ma valres negaivs 0 35

36 x( 4. Cálculs 0 cs(f 1 x( c cs(f pência é calculada a parir d especr de ampliude, recrrend a Terema de Parseval P x 0 P x c 1 Especr Unilaeral Especr Bilaeral O valr médi (u cmpnene DC é dad pel ceficiene 0 = c 0 (cnribuiçã da frequência 0 36

37 4. Cálculs largura de banda (LB é definida cm a largura da faixa de frequências cupada pel sinal Frequências negaivas nã sã cnsideradas LB=60 Hz 37

38 4. Cálculs Us d MTLB x( cs(

39 4. Cálculs Us d MTLB x( cs( cs( 1000 Puc dealhe na represenaçã d sinal Baix númer de pns usad na represenaçã 39

40 4. Cálculs Us d MTLB x( cs( cs(

41 5. Exercícis figura apresena especr unilaeral de ampliude d sinal x(. a presene respeciv especr bilaeral de ampliude b Indique a pência, a largura de banda, a frequência fundamenal e valr médi d sinal c Seja y(= 3 - x(4 + x(. Esbce s especrs unilaerais de ampliude e fase de y( 41

42 5. Exercícis Cnsidere sinal periódic x(, de frequência fundamenal 10 Hz, definid pr x( 5 cs( f /4 5cs( 3f /3 a Esbce s especrs unilaerais de ampliude e de fase de x(. b Indique a largura de banda d sinal e a percenagem de pência cnida na banda de 0 a 15 Hz. Sejam z( -3 cs ( 10 e a Esbce sinal z( b Calcule Ez, mz e Pw c Esbce s especrs ds sinais z( e w(. w( -1 5sen( 0 - / z(. 4

43 6. Ouras plicações DTMF Dual Tne MuliFrequency Cada ecla crrespnde à sma de duas sinusóides Tabela cm pares de frequências uilizadas 43

44 6. Ouras plicações Marcaçã elefónica DTMF Dual-Tne Mulifrequency Demnsraçã Malab - phne 44

45 6. Ouras plicações Nas musicais = Sinusóides rganizadas em frequência (escalas Uma iava = duplicaçã de frequência 45

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