Apontamentos de Matemática 6.º ano

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1 Aplicação da decomposição de números em fatores primos para determinar o máximo divisor comum Exemplo: Determinar m. d. c. (60,36) 60 = 3 5 e 36 = 3 Qual é o maior número pelo qual podemos dividir 60 e 36? Tendo em consideração que os fatores primos e os seus produtos são divisores, podemos verificar que o número procurado é 3 = 1. Então m. d. c. (60,36) = 1 Reparemos que o máximo divisor comum foi obtido multiplicando os fatores comuns elevados ao menor expoente. Propriedade O máximo divisor comum de dois ou mais números inteiros, decompostos em fatores primos, é igual ao produto dos fatores primos comuns das decomposições destes números cada um deles elevados ao seu menor expoente. Exercícios resolvidos 1. Determinar o m. d. c. (90,108) 90 = 3 5 e 108 = 3 3 m. d. c. (90,108) = 3 = 9 = 18 Nota: e 3 são os fatores comuns (que aparecem nas duas decomposições); e 3 são esses fatores elevados ao menor expoente que aparecem.. Determinar m. d. c. (18,55) 18 = 3 e 55 = 5 11 Estes dois números não têm fatores comuns na sua decomposição. Então m. d. c. (18,55) = 1 Nota: 18 e 55 são primos entre si, pois o seu máximo divisor comum é a unidade. 1

2 Exercícios propostos 1. Utilizando a decomposição em fatores primos determine: a) m. d. c. (36,60) b) m. d. c. (75,105) c) m. d. c. (8,4) d) m. d. c. (45,55) e) m. d. c. (33,90). Considere os números A e B decompostos em fatores primos. A 3 5 e B 5 Resolva as alíneas seguintes sem calcular os valores de A e de B. a) Indique três divisores de A. b) Indique dois divisores de B que não sejam números primos. c) Determine m. d. c. A, B. 3. Considere A = 3 e B = 3 5 O m. d. c. (A, B) é igual a: (Escolha a opção correta) Sejam A = 3 7 e B = dois números naturais decompostos em fatores primos. Na decomposição de A o expoente de 3 é desconhecido. O m. d. c. (A, B) = 9. Qual é o valor de A? (Escolha a opção correta)

3 Aplicação da decomposição em fatores primos para determinar mínimo múltiplo comum. Exemplo Determinar m. m. c. (18,30) usando a decomposição em fatores primos. 18 = 3 e 30 = 3 5 O menor múltiplo natural de cada número é ele próprio. Qual será o menor múltiplo dos dois? Reparemos: Cada número, 18 = 3 e 30 = 3 5 tem que aparecer na decomposição do mínimo múltiplo comum formando o menor número possível. Será 3 5, ou seja, são todos os fatores elevados ao maior expoente. Propriedade O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números inteiros, decompostos em fatores primos, é igual ao produto dos fatores primos comuns e não comuns da decomposição destes números elevados cada um deles ao seu maior expoente. Exercícios resolvidos 1. Determinar o m. m. c. (0,35) 0 = 5 e 35 = 5 7 m. m. c. (0,35) = 5 7 = 140 Nota: são todos os fatores,, 5 e 7 elevados, cada um, ao maior expoente: 5 7. Determinar o m. m. c. (1,40) 1 = 3, 40 = 3 5 Há na decomposição os seguintes fatores:, 3 e 5 (o maior expoente do é 3, e do 3 e do 5 é 1). Então m. m. c. (1,40) = =

4 Exercícios propostos 5. Utilizando a decomposição em fatores primos determine: a) m. m. c. (1,14) b) m. m. c. (75,35) c) m. m. c. (18,1) d) m. m. c. (90,35) e) m. m. c. (33,30) 6. Considere os números A e B decompostos em fatores primos. A 3 5 e B 5 Resolva as alíneas seguintes sem calcular os valores de A e B. a) Qual é o quociente da divisão de A por 5? E por 5? b) Determine m. m. c. A, B. 7. Considere A = 3 e B = 3 5 O m. m. c. (A, B) é igual a: (Escolha a opção correta) Sejam A = 3 5 e B = 3 5 dois números naturais decompostos em fatores primos. Na decomposição de A o expoente de 3 é desconhecido. O m. m. c. (A, B) = 90. Qual pode ser o valor de A? (Escolha as opções corretas)

5 Soluções dos exercícios propostos 1 a) 1, b) 15 c) 14 d) 35 e) 3 a), 3 e 5 (por exemplo) b) 10 e 5 (por exemplo) c)10 3) 3 4) a) 7 b) 55 c) 16 d) a) A: 5 = 3 5 = 90 e A: 15 = 3 5 = 30 b) 3 5 = 450 7) 3 5 8) 3 7 ou