Cálculo 4. Guia de Estudos P2,3+,

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1 Cálculo 4 Guia de Estudos P2,3+,

2 Resumo da Teoria 1. Revisão Séries de Potências Vimos que séries de potências podem ser escritas na forma c x x %. Toda série de potências é dotada de um intervalo de converência I. Uma propriedade leal é que esse intervalo é simétrico em relação a x %. Em outras palavras, I =]x % R; x % + R[, onde R é o raio de converência da série. Este intervalo nos fornece os valores x para os quais a série convere. Ou seja, se tomarmos um x 1 qualquer, sabemos que: c x 1 x % convere para um determinado numero L, se x 1 I c x 1 x % divere, se x 1 I Às vezes, apenas descobrir se determinada série convere não é suficiente. Queremos saber para onde ela convere. Vamos pear o exemplo anterior, no caso em que x 1 I. Sabemos que: c x 1 x % = L Mas quanto vale esse L? Com a teoria vista até aora é impossível dizer. Assim, quem vai entrar na joada são as funções definidas por séries de potências. 2. Funções Definidas por Séries de Potências Dada uma série de potências c x x % com um determinado intervalo de converência I. Existe uma função f(x) de tal forma que: 1

3 f x = c x x %, para x I Normalmente nos referimos a f(x) como fórmula fechada de c x x %. A iualdade anterior é importantíssima. Peando novamente o exemplo anterior, em que x 1 I, sabemos que: c x 1 x % = L Mas se conseuirmos encontrar f x = c x x %, para x I, então: f x 1 = L. Descobrimos então que nossa série convere para f x 1. Mas que método eu uso para descobrir minha f x? Derivação e Interação termo a termo. 3. Derivação e Interação Termo a Termo Nesta parte, uma abordaem prática é mais eficiente. Vamos pear a seuinte série como exemplo: 1 x + x ; x < = 1 x P.G de razão x e primeiro termo a % = 1 Qual a fórmula fechada para uma P.G? Nessa aí não tem seredo, é teoria de ensino médio. 1 x =, para x < 1 AB Mas a maioria esmaadora das séries não é uma P.G. Por exemplo: 2

4 D E B EFG A Isso não é nem de lone uma P.G. A ideia é manipular esta série de modo a cair em uma P.G. Essas manipulações serão constituídas de derivações e/ou interações. D E B EFG A = (x) Derivando ambos os lados: 1 x = I (x) Opa, mas sabemos que 1 x é uma P.G, cuja fórmula de soma fechada é AB, para x < 1. AB = I x, para x < 1 Interando ambos os lados: x = ln(1 + x), para 1 < x 1 Essa é a lóica que precisamos usar para encontrar a fórmula fechada de uma série. - Temos uma série, que iualamos a uma função enérica i. e x. - Derivamos ou interamos até cairmos em uma P.G. - Sabemos a fórmula que descreve a P.G. - Fazemos a lóica reversa para chear na (x). 3

5 Um exercício pode abordar este tema de duas maneiras: - Dada uma série descubra uma fórmula fechada para sua soma - Dada uma função, descubra sua expansão em série de potencias 4. Séries De Taylor Obviamente, existem séries que, independentemente do número de interações ou derivações que você faça, nunca chearemos em uma P.G. Assim como existem funções cuja expansão é muito difícil de ser encontrada, somente derivando e interando outras séries. Concluímos que o método da derivação e interação termo a termo, apesar de ser muito útil, é limitado. Sure então o Teorema de Taylor. Este teorema afirma o seuinte: Dada uma função f x = O O'% c O x x %. Prova-se que os coeficientes c O podem ser calculados por: c O = PQ B R O! A partir deste teorema, cheamos nas séries de funções importantes. As que mais são cobradas em prova são: e B = sin x = cos x = B E!, com x R D E B VEFG ;A! D E B VE ;!, com x R, com x R 4

6 arctan x = ln AB DB = 2 D E B VEFG ;A B VEFG ;A, para 1 x 1, para 1 < x < 1 5. Erro em Séries Numéricas Como estudado, uma série é uma soma infinita. Muitas vezes queremos determinar o valor aproximado desta soma. Cada aproximação tem um erro associado a ela. Por exemplo: 1 ;A! Soma infinita Podemos aproximar esta série, fazendo a soma até um certo k: O 1 ;A! Obviamente, quanto maior o valor de k, mais precisa é a aproximação e menor o erro. Em contrapartida, quanto maior k mais termos preciso somar e mais difícil fica de executar esta soma. Normalmente o exercício nos fornece um valor de erro máximo a ser cometido. Baseados neste valor de erro, precisamos achar o valor k mínimo que faz com o que o erro cometido, ao aproximar minha soma infinita por uma soma até k, seja menor que o valor de erro máximo fornecido. Existem fórmulas que nos ajudam a associar o erro cometido em uma dada aproximação com o valor de k. Alumas destas fórmulas são mais erais, e outras mais específicas de cada série. 5

7 Erro de Taylor: O erro cometido ao aproximar uma função f(x) por seu polinômio de ordem k é: E x = foa x I x x % OA k + 1! Erro em Séries Alternadas: O erro cometido ao se aproximar uma série alternada 1 a por uma soma até um certo k é: E a OA Métodos Genéricos (valem para qualquer série): Sabemos que a = a + a O OA Assim, ao dizermos que a a o erro cometido é a Prova-se que: O OA OA a f x dx OA Método da Interal Onde f(x) é tal que f n = a 6

8 Outra forma de majorar o erro é tentar manipular a expressão OA a, e daí chear em uma fórmula que associe o erro com o rau k 6. Séries de Fourier Assim como as séries de potencias descrevem uma função como um somatório de potências de x, a série de Fourier descreve uma função como um somatório de senos e cossenos. Matematicamente, temos que a série de Fourier de uma função f(x), definida de L x L é: S x = 1 R + a ; cos fb ' + b sin fb, onde a % = a = b = D D D f x dx f x cos fb f x sin fb Valor médio de f(x) dx dx Parte par de f(x) Parte ímpar de f(x) Muitas vezes o exercício pede para esboçar o ráfico de S(x). Aluns detalhes merecem destaque: 1. No intervalo de L a L : S x = f x, nos pontos onde f(x) é contínua. S x = P BF AP B i, nos pontos de descontinuidade. ; 7

9 S L = S L = P AP D ;. 2. Fora de L a L: S(x) é periódica de período 2L. Em resumo, basta repetir o ráfico obtido de L a L para outros intervalos. Funções definidas em semi-intervalos: Alumas vezes um exercício pode pedir a série de Fourier de uma função f(x) definida de 0 x L Neste caso trabalhamos com extensões da f(x) 1. Extensão ímpar: Definimos ~ x de tal forma que ~ x = x, para x 0, π ~ x = x, para x π, 0 A série de (x) é iual a série da ~ x Série de Senos 2. Extensão par: Definimos ~ x de tal forma que ~ x = x, para x 0, π ~ x = x, para x π, 0 A série de (x) é iual a série da ~ x Série de Cossenos 8

10 Identidade de Parseval: Dada uma função f(x), definida de L x L, com sua série dada por: S x = 1 R + a ; cos fb ' + b sin fb, onde A seuinte iualdade é válida: 1 R V ; + a ; + b ; = D f ; x dx Identidade de Parseval 9

11 Exercícios 1. Derivação e Interação Termo a Termo I. Determine as expansões em séries de potências em torno de x % = 0, das seuintes funções, e os valores de x para os quais essas expansões são válidas: Obs.: Esse é o famoso dada a função, descubra a série. a. B V A;n b. AB V c. ;B AB o d. ln A<B V II. Obter uma expressão para a soma das séries abaixo e os respectivos raios de converência: Obs.: Esse é o famoso dada a série, descubra a função a. x BV ; + Bp < + 1 D BE b. x + 2x ; + 3x < + + nx c x + 9x ; + 16x < d x + 6x ; + 7x < 10

12 2. Séries de Taylor + Erros I. Desenvolva em séries de potencias as seuintes funções e calcule f(1), com erro inferior a 10 Dx. Considere a função da letra a) valendo 1, para t = 0. a. f x = B z{ } % } b. f x = B e D}V % dt dt II. Calcule, usando séries de Taylor, ~pvr % B e ~pvg % B. III. Obtenha um valor aproximado de a. e, com erro inferior a 10 Dn b. f, com erro inferior a 10Dn ƒ c. ln 2, com erro inferior a 10 Dn 3. Séries de Fourier I. Ache a série de Fourier de f(x), e faça os ráficos de f e da função soma da série encontrada: a. f x = x, π < x π b. f x = cos x, π < x π c. f x = x ;, 0 x π d. f x = 1, 0 < x < π 11

13 II. Calcule a soma das séries: a. b. c. ' ' ;A V D EiG o V 12

14 Gabarito: 1. Parte I a. 1 BVE n VEFV b. 1 n + 1 x c. 2 1 x ƒa d. D< E B VE Parte II a. ln 1 + x b. c. B DB V AB DB p d. ƒd<b DB V 2. Parte I a. 1 B VEFG ;A! ;A b. 1 B VEFG! ;A 13

15 Parte II 0 e 320! Parte III Demonstração em aulão. 3. Parte I a. f ; ƒ f ' ;D B) (;D) V, soma: x, se π x π e sua extensão periódica para x R. b. ; f ˆz (;B) (1 + 2 '( 1)D, soma: cos x, para x R. ƒ V D c. Demonstração em aulão. d. ƒ (sen x + sen 3x + sen 5x +...), 0 < x < π f < n Parte II a. fv b. fv ; c. Demonstração em aulão. 14