Sistemas e Sinais (LEE & LETI)

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1 Sistemas e Sinais (LEE & LETI) Laboratório nº : Transformada de Fourier Discreta e Amostragem Preparado por Isabel Lourtie pfpfpf Trabalho Experimental pfpfpf Grupo nº Turno Nº Nome: Nº Nome: Nº Nome: 1. Introdução pfpfpf Este trabalho de laboratório aborda a representação de sinais no domínio da frequência e a amostragem de sinais contínuos. A componente experimental deste trabalho de laboratório utiliza os ficheiros transformada_fourier_discreta.m, respostas_frequencia.m, sinal.m e espectro_sinal_amostrado.m que deverão ser copiados para a directoria de trabalho no Matlab. No final da aula de laboratório os alunos devem: 1. entregar o relatório ao docente; 2. submeter, através do sistema Fénix, um ficheiro.zip (ou.rar) com todas as figuras (em formato jpg) solicitadas no trabalho. 1

2 2. Transformada de Fourier discreta A transformada de Fourier de um sinal discreto é =. Nesta secção irá utilizar a função transformada_fourier_discreta fornecida em anexo. Esta função determina, para Ω, rad, a transformada de Fourier = do sinal discreto truncado no intervalo. Faça help transformada_fourier_discreta para ver como chamar a função e obter uma explicação sobre as variáveis de entrada e de saída. Considere o filtro discreto passa-baixo ideal definido na secção 2. da Preparação Prévia cuja resposta impulsional é h= sin 1 ; 0 ; =0. a) (0.5 val.) Para 50 50, obtenha h e represente-o graficamente em função de (ficheiro: ). Para gerar a resposta impulsional h e a representar graficamente em função de pode usar as seguintes instruções: n = [-50:50]; N1 = [-50:-1]; N2 = [1:50]; h = [sin(pi*n1/)./(pi*n1) 1/ sin(pi*n2/)./(pi*n2)]; stem(n,h); xlabel('n'); ylabel('h(n)'); b) (2 val.) Nesta secção pretende-se determinar as aproximações da resposta em frequência do filtro passa-baixo ideal definido na secção 2. da Preparação Prévia, obtidas a partir da resposta impulsional h truncada no intervalo. Para =,8,15,25,35,50, represente graficamente numa única figura a parte real de em função de Ω (ficheiro: ). Note que é uma função real pelo que a sua parte imaginária apresenta apenas valores residuais resultantes das aproximações nos cálculos. Para obter estes gráficos pode utilizar o script respostas_frequencia fornecido em anexo que, por sua vez, usa a função transformada_fourier_discreta para determinar as aproximações para Ω, rad. Este script gera uma figura com 6 gráficos, um para cada valor de. Em cada um dos gráficos de 2

3 sobrepôs-se, a encarnado, a resposta em frequência do filtro passa baixo ideal. Compare os resultados obtidos para com a resposta em frequência do filtro passa-baixo ideal. Qual o efeito de aumentar na precisão com que aproxima? No entanto, em torno das frequências em que há descontinuidades (Ω=± rad), observam-se oscilações. Quando aumenta, como é que variam a amplitude máxima e a frequência das oscilações? Quando aumenta, as frequências em que ocorrem os picos de amplitude máxima das oscilações aproximam-se ou afastam-se das frequências em que há descontinuidades? 3. Amostragem Nesta secção irá utilizar as funções sinal e espectro_sinal_amostrado fornecidas em anexo. A função sinal determina o sinal contínuo =cos no intervalo de tempo, em que = Δ ( - nº de pontos, Δ - incremento temporal). Faça help sinal para verificar como chamar a função e quais as variáveis de entrada e de saída. Seja o sinal que resulta da amostragem do sinal pelo método do impulso invariante com um intervalo de amostragem. O espectro do sinal amostrado é = A função espectro_sinal_amostrado fornecida em anexo determina, para frequências, a aproximação a obtida pela soma parcial com um número finito 2+1 de termos =. 3

4 O valor de deve ser seleccionado de modo a garantir que a maior parte da energia do sinal está contida no cálculo do somatório anterior de modo a que represente uma boa aproximação de. Nesta função o valor de é determinado definindo os limites do intervalo de tempo, em que está concentrada a maior parte da energia do sinal contínuo. Faça help espectro_sinal_amostrado para verificar como chamar a função e quais as variáveis de entrada e de saída. 1. Considere o sinal contínuo = definido no ponto 1. da secção 3 da Preparação Prévia. a) (1 val.) Utilize a função sinal com =0 para gerar o sinal contínuo e represente-o graficamente em função de para utilizando um incremento =0.01 (ficheiro: ). Note que as variáveis de entrada desta função são: O incremento temporal ; O número de pontos = ; A frequência angular. Repare que a maior parte da energia do sinal está contida no intervalo de tempo 10,10 seg. b) (0.5 val.) Para 10 10, e um incremento na frequência angular Δ=0.01, determine e represente graficamente o espectro de frequência do sinal, 1 = + 1, obtido no ponto 1.a) da secção 3 da Preparação Prévia (ficheiro: ). Para gerar o espectro de frequência e o representar graficamente em função de pode usar as seguintes instruções: w = -10:0.01:10; X1 = 1./(w.^2+1/); plot(w,x1); xlabel('\omega'); ylabel('x_1(j\omega)'); Note que, de acordo com o ponto 1.b) da secção 3 da Preparação Prévia, tem banda de frequência aproximadamente limitada ao intervalo 5,5 rad/s.

5 c) (2 val.) Para =10 e =30 utilize a função espectro_sinal_amostrado para determinar os espectros do sinal amostrado,, obtidos com intervalos de amostragem =0.3, 0.5, 2, 6, e represente graficamente a sua parte real (ficheiro: ). Note que o resultado é uma função real pelo que a parte imaginária apresenta apenas valores residuais resultantes das aproximações nos cálculos. Para obter para os vários valores de e fazer a representação gráfica da sua parte real em função de ω, pode usar as seguintes instruções: [Xp1,w] = espectro_sinal_amostrado(0.3,10,30,0); [Xp2,w] = espectro_sinal_amostrado(0.5,10,30,0); [Xp3,w] = espectro_sinal_amostrado(2,10,30,0); [Xp,w] = espectro_sinal_amostrado(6,10,30,0); RXp1 = real(xp1); RXp2 = real(xp2); RXp3 = real(xp3); RXp = real(xp); Xmax = max([max(rxp1),max(rxp2),max(rxp3),max(rxp)]); Xmin = min([min(rxp1),min(rxp2),min(rxp3),min(rxp)]); subplot(2,2,1) plot(w,rxp1); xlabel('\omega'); ylabel('x_1p(j\omega)'); title('t = 0.3'); axis([w(1) w(length(w)) Xmin Xmax]); subplot(2,2,2) plot(w,rxp2); xlabel('\omega'); ylabel('x_1p(j\omega)'); title('t = 0.5'); axis([w(1) w(length(w)) Xmin Xmax]); subplot(2,2,3) plot(w,rxp3); xlabel('\omega'); ylabel('x_1p(j\omega)'); title('t = 2'); axis([w(1) w(length(w)) Xmin Xmax]); subplot(2,2,) plot(w,rxp); xlabel('\omega'); ylabel('x_1p(j\omega)'); title('t = 6'); axis([w(1) w(length(w)) Xmin Xmax]); De acordo com o teorema da amostragem, só é possível reconstruir de forma única o sinal analógico a partir das suas amostras quando o sinal analógico é de banda limitada no intervalo de frequências, e a frequência de amostragem >2. Considerando que o sinal é aproximadamente de banda limitada no intervalo de frequências 5,5 rad/s, como se observou no ponto 1.b) da secção 3 da Preparação Prévia, quais dos espectros são de sinais amostrados obtidos de acordo com as condições estabelecidas pelo teorema da amostragem, i.e., a partir dos quais é possível recuperar praticamente sem erro o sinal analógico? 5

6 O espectro do sinal amostrado é constituído pela sobreposição de réplicas do espectro do sinal analógico multiplicadas por 1 e transladadas na frequência de múltiplos da frequência de amostragem. Confirme se obteve este resultado para os espectros determinados nas condições do teorema da amostragem, i.e., sem a ocorrência de aliasing. Conhecendo o espectro do sinal analógico,, que representou graficamente na alínea b), como é que a partir dos gráficos de consegue concluir se terá existido ou não aliasing na amostragem do sinal analógico? 2. Considere o sinal contínuo = =cos em que representa o sinal utilizado no ponto 1. desta secção. a) (1 val.) Utilize a função sinal com =,3 para gerar o sinal contínuo e represente-o graficamente em função de para utilizando um incremento =0.01 (ficheiro: ). De modo a obter apenas uma figura para os dois casos, utilize subplot e para cada gráfico indique o valor de com title. Repare que, tal como acontecia com o sinal, a maior parte da energia do sinal está contida no intervalo de tempo 10,10 seg. b) (1 val) Para =,3, 15 15, e um incremento na frequência angular Δ=0.01, determine e represente graficamente os espectros de frequência do sinal, = , obtido no ponto 2 da secção 3 da Preparação Prévia (ficheiro: ). 6

7 Para gerar os espectros de frequência e os representar graficamente em função de pode usar as seguintes instruções: w = -15:0.01:15; X21 = (1/2)*(1./((w-pi).^2+1/) + 1./((w+pi).^2+1/)); X22 = (1/2)*(1./((w-3*pi).^2+1/) + 1./((w+3*pi).^2+1/)); subplot(1,2,1) plot(w,x21); xlabel('\omega'); ylabel('x_2(j\omega)'); title('\omega_0 = \pi'); subplot(1,2,2) plot(w,x22); xlabel('\omega'); ylabel('x_2(j\omega)'); title('\omega_0 = 3\pi'); Tal como, os espectros de frequência são aproximadamente de banda limitada. Tendo em conta que tem banda de frequência aproximadamente limitada ao intervalo 5,5 rad/s, quais os valores aproximados da frequência máxima,, do sinal para =,3? c) (2 val.) Considerando =0.5, =10 e =20, e para =,3, utilize a função espectro_sinal_amostrado para obter os espectros do sinal amostrado, e represente graficamente a sua parte real (ficheiro: ). Note que o resultado é uma função real pelo que a parte imaginária apresenta apenas valores residuais resultantes das aproximações nos cálculos. De modo a obter apenas uma figura para os dois casos, utilize subplot e para cada gráfico indique o valor de com title. Compare os espectros obtidos para os dois valores de considerados. O que conclui? Explique o resultado obtido. Tenha em conta a análise efectuada nos pontos 3.a) e 3.b) da secção 3 da Preparação Prévia. 7