Matriz mudança de base

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1 Matriz mudança de base Laura Goulart UESB 21 de Agosto de 2018 Laura Goulart (UESB) Matriz mudança de base 21 de Agosto de / 8

2 8 - Coordenadas de um vetor A partir de agora iremos trabalhar com bases ordenadas, ie, a posição dos vetores está xada. Laura Goulart (UESB) Matriz mudança de base 21 de Agosto de / 8

3 8 - Coordenadas de um vetor A partir de agora iremos trabalhar com bases ordenadas, ie, a posição dos vetores está xada. Seja V um e.v.r. com dimv = n < + e considere B = {v 1,..., v n } uma base de V. Laura Goulart (UESB) Matriz mudança de base 21 de Agosto de / 8

4 8 - Coordenadas de um vetor A partir de agora iremos trabalhar com bases ordenadas, ie, a posição dos vetores está xada. Seja V um e.v.r. com dimv = n < + e considere B = {v 1,..., v n } uma base de V. Pela denição de base, dado v V, existem únicos α 1,..., α n R tais n que v = α i v i. i=1 Laura Goulart (UESB) Matriz mudança de base 21 de Agosto de / 8

5 8 - Coordenadas de um vetor A partir de agora iremos trabalhar com bases ordenadas, ie, a posição dos vetores está xada. Seja V um e.v.r. com dimv = n < + e considere B = {v 1,..., v n } uma base de V. Pela denição de base, dado v V, existem únicos α 1,..., α n R tais n que v = α i v i. i=1 Os escalares dessa combinação linear são as coordenadas de v em relação a base B e podemos representá-los através de uma matriz da seguinte forma: Laura Goulart (UESB) Matriz mudança de base 21 de Agosto de / 8

6 8 - Coordenadas de um vetor A partir de agora iremos trabalhar com bases ordenadas, ie, a posição dos vetores está xada. Seja V um e.v.r. com dimv = n < + e considere B = {v 1,..., v n } uma base de V. Pela denição de base, dado v V, existem únicos α 1,..., α n R tais n que v = α i v i. i=1 Os escalares dessa combinação linear são as coordenadas de v em relação a base B e podemos representá-los através de uma matriz da seguinte forma: [v] B = α 1 α 2.. α n n 1 Laura Goulart (UESB) Matriz mudança de base 21 de Agosto de / 8

7 Exemplos 8.1) Ache as coordenadas de v = ( 1, 2, 3) com relação a base canônica. Laura Goulart (UESB) Matriz mudança de base 21 de Agosto de / 8

8 Exemplos 8.1) Ache as coordenadas de v = ( 1, 2, 3) com relação a base canônica. 8.2) Ache as coordenadas de v = ( 1, 2, 3) com relação a base B = {( 1, 1, 1); (1, 1, 1); (1, 1, 1)}. Laura Goulart (UESB) Matriz mudança de base 21 de Agosto de / 8

9 9 - Matriz Mudança de Base Quando quisermos expressar as coordenadas de um vetor na base B para uma base C, usaremos uma matriz dita matriz mudança de base. Laura Goulart (UESB) Matriz mudança de base 21 de Agosto de / 8

10 9 - Matriz Mudança de Base Quando quisermos expressar as coordenadas de um vetor na base B para uma base C, usaremos uma matriz dita matriz mudança de base. Seja V um e.v.r. com dimv = n < + e considere B = {u 1,..., u n } e C = {v 1,..., v n } bases de V. Laura Goulart (UESB) Matriz mudança de base 21 de Agosto de / 8

11 9 - Matriz Mudança de Base Quando quisermos expressar as coordenadas de um vetor na base B para uma base C, usaremos uma matriz dita matriz mudança de base. Seja V um e.v.r. com dimv = n < + e considere B = {u 1,..., u n } e C = {v 1,..., v n } bases de V. Como B é uma base de V podemos escrever cada vetor C como combinação linear de B da seguinte forma: v 1 = α 11 u 1 + α 21 u α n1 u n Laura Goulart (UESB) Matriz mudança de base 21 de Agosto de / 8

12 9 - Matriz Mudança de Base Quando quisermos expressar as coordenadas de um vetor na base B para uma base C, usaremos uma matriz dita matriz mudança de base. Seja V um e.v.r. com dimv = n < + e considere B = {u 1,..., u n } e C = {v 1,..., v n } bases de V. Como B é uma base de V podemos escrever cada vetor C como combinação linear de B da seguinte forma: v 1 = α 11 u 1 + α 21 u α n1 u n v 2 = α 12 u 1 + α 22 u α n2 u n Laura Goulart (UESB) Matriz mudança de base 21 de Agosto de / 8

13 9 - Matriz Mudança de Base Quando quisermos expressar as coordenadas de um vetor na base B para uma base C, usaremos uma matriz dita matriz mudança de base. Seja V um e.v.r. com dimv = n < + e considere B = {u 1,..., u n } e C = {v 1,..., v n } bases de V. Como B é uma base de V podemos escrever cada vetor C como combinação linear de B da seguinte forma: v 1 = α 11 u 1 + α 21 u α n1 u n v 2 = α 12 u 1 + α 22 u α n2 u n. Laura Goulart (UESB) Matriz mudança de base 21 de Agosto de / 8

14 9 - Matriz Mudança de Base Quando quisermos expressar as coordenadas de um vetor na base B para uma base C, usaremos uma matriz dita matriz mudança de base. Seja V um e.v.r. com dimv = n < + e considere B = {u 1,..., u n } e C = {v 1,..., v n } bases de V. Como B é uma base de V podemos escrever cada vetor C como combinação linear de B da seguinte forma: v 1 = α 11 u 1 + α 21 u α n1 u n v 2 = α 12 u 1 + α 22 u α n2 u n. v n = α 1nu 1 + α 2nu α nn u n Laura Goulart (UESB) Matriz mudança de base 21 de Agosto de / 8

15 α 11 α 12 α 1n α 21 α 22 α 2n A matriz P = é chamada matriz mudança α n1 α n2 α nn da base B para a base V e denotada por P = [M] B C. Laura Goulart (UESB) Matriz mudança de base 21 de Agosto de / 8

16 Exemplo 9.1) Ache a matriz mudança da base B = {( 1, 1, 1); (1, 1, 1); (1, 1, 1)} para a base canônica. Laura Goulart (UESB) Matriz mudança de base 21 de Agosto de / 8

17 Propriedades MB1) Se B=C temos que a matriz mudança de base de B para C, e vice-versa, é a matriz identidade. (trivial) Laura Goulart (UESB) Matriz mudança de base 21 de Agosto de / 8

18 Propriedades MB1) Se B=C temos que a matriz mudança de base de B para C, e vice-versa, é a matriz identidade. (trivial) MB2) Sejam B = {u 1,..., u n }; C = {v 1,..., v n } e D = {w 1,..., w n } bases de um e.v.r. V. Se P = [M] B C Q = [M] C D, então P Q = [M]B D. e Laura Goulart (UESB) Matriz mudança de base 21 de Agosto de / 8

19 Propriedades MB1) Se B=C temos que a matriz mudança de base de B para C, e vice-versa, é a matriz identidade. (trivial) MB2) Sejam B = {u 1,..., u n }; C = {v 1,..., v n } e D = {w 1,..., w n } bases de um e.v.r. V. Se P = [M] B C Q = [M] C D, então P Q = [M]B D. Observação (9.1) Uma consequência é que a matriz mudança de base é inversível. e Laura Goulart (UESB) Matriz mudança de base 21 de Agosto de / 8

20 Propriedades MB1) Se B=C temos que a matriz mudança de base de B para C, e vice-versa, é a matriz identidade. (trivial) MB2) Sejam B = {u 1,..., u n }; C = {v 1,..., v n } e D = {w 1,..., w n } bases de um e.v.r. V. Se P = [M] B C Q = [M] C D, então P Q = [M]B D. Observação (9.1) Uma consequência é que a matriz mudança de base é inversível. e Exemplo (9.2) Considere B = {( 1, 1, 1); (1, 1, 1); (1, 1, 1)} e C = canônica bases do R 3. Laura Goulart (UESB) Matriz mudança de base 21 de Agosto de / 8

21 MB3) Sejam B = {u 1,..., u n }; C = {v 1,..., v n } bases de um e.v.r. V e considere v V. Então, [v] B = [M] B C [v] C e [v] C = [M] C B [v] B. Exemplo (9.3) Vamos refazer os exemplos 9.1 e 9.2. Laura Goulart (UESB) Matriz mudança de base 21 de Agosto de / 8