Transformações lineares

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1 Transformação linear (TL) Transformações lineares Sejam V e W espaços vectoriais. Uma função T : V W é chamada transformação linear de V em W se para todo o x, y Vec F se verifica: (a) (b) T(x + y) = T(x) + T(y) T(cx) = ct(x) Uma transformação linear preserva a estrutura de espaço vectorial. ÁLGEBRA Transformações lineares - 1 Transformações lineares Para uma transformação linear T : V W verifica-se: (a) setélineart(o)=o (b) TélinearseesóseT(cx+y)=cT(x)+T(y) (c) TélinearseesóseT( a i x i )= a i T(x i ) Exemplos de TL Transformação identidade Transformação zero I V :V V I V (x) = x, para todo o x T 0 :V W T 0 (x) = O, para todo o x ÁLGEBRA Transformações lineares - 2

2 Núcleo e Imagem de uma TL Conjuntos importantes associados a uma TL Seja T : V W Núcleo de T (ou espaço nulo de T) = N(T) N(T) = { x V:T(x)=O} Imagem de T (ou contradomínio de T) = R(T) R(T) = { T(x) : x V} O núcleo e a imagem de uma transformação linear são subespaços vectoriais de V e W, respectivamente. ÁLGEBRA Transformações lineares - 3 Imagem de uma TL Determinação de uma base para R(T) Seja T : V We ={x 1,x 2,...,x n } uma base para V. Então R(T) = span ({T(x 1 ), T(x 2 ),..., T(x n )}). Podemos também concluir que os vectores de W T(x 1 ), T(x 2 ),..., T(x n ) linearmente independentes formam uma base para R(T), isto é, {T(x 1 ), T(x 2 ),..., T(x n )} base para R(T) ÁLGEBRA Transformações lineares - 4

3 Característica de uma TL Característica de uma TL é a dimensão da imagem da transformação R(T) = dim (R(T)) Teoremadadimensão Sejam V, W espaços vectoriais e T : V W. Se V for de dimensão finita, então dim (N(T)) + característica(t) = dim(v) ÁLGEBRA Transformações lineares - 5 Base ordenada Base ordenada para um espaço vectorial V base do espaço vectorial na qual se estabelece uma ordem determinada entre os vectores Se ={x 1,x 2,..., x n }forumabaseordenadaparaumespaço vectorial de dimensão finita V, então ={x 2,x 1,..., x n }éuma base ordenada distinta. ÁLGEBRA Transformações lineares - 6

4 Representação de elementos de EV Representação de vectores numa base Seja ={x 1,x 2,..., x n } uma base ordenada para um espaço vectorial de dimensão finita V. Para qualquer elemento x de V, define-se a representação de x em,[x],como 1 [ ] 2 x =, onde x = a a a n i= 1 [x] é também designado por vector das coordenadas de x relativamente a. n a i x i ÁLGEBRA Transformações lineares - 7 Representação matricial de uma TL Representação matricial de uma TL Sejam V e W espaços vectoriais de dimensão finita com bases ordenadas ={x 1,x 2,..., x n } e ={y 1,y 2,..., y m }, respectivamente. Seja T: V W linear. Então existem escalares únicos a ij F tais que m T(x ) = a y para 1 j n Amatrizm n A definida como A ij =a ij é designada a representação matricial de T nas bases ordenadas e e escreve-se Se V = W e =, j A = i= 1 ij A = [ T] i [ T] ÁLGEBRA Transformações lineares - 8

5 Representação matricial de uma TL Resultado fundamental da definição de representações matriciais Sejam V e W espaços vectoriais de dimensão finita com bases ordenadas ={x 1,x 2,..., x n } e ={y 1,y 2,..., y m }, respectivamente, e T: V W linear. Então, para cada x Vey=T(x) W temos que [ y] = [ T( x) ] = [ T] [ x] ÁLGEBRA Transformações lineares - 9 Representação matricial de uma TL Outras consequências importantes... Sejam V e W espaços vectoriais de dimensão finita com bases ordenadas e, respectivamente. Sejam T, U: V W duas transformações lineares. A adição das duas transformações lineares é linear. T+U:V W [ T + U] = [ T] + [ U] [ at] [ ] = a T ÁLGEBRA Transformações lineares - 10

6 Representação matricial de uma TL Outras consequências importantes... Sejam V, W e Z espaços vectoriais de dimensão finita com bases ordenadas α, e, respectivamente. Sejam T: V WeU:W Z duas transformações lineares. A composição das transformações lineares U e T, é linear. UT: V Z [ UT] = [ U] [ T] α α ÁLGEBRA Transformações lineares - 11 Representação matricial de uma TL Outras consequências importantes... Sejam V e W espaços vectoriais de dimensão finita com bases ordenadas e, respectivamente. Sejam T: V W linear. A transformação inversa da transformação linear T, quando existe também é linear. T -1 :W V 1 [ T ] = ([ T] ) 1 ÁLGEBRA Transformações lineares - 12

7 Representação matricial de uma TL Outras consequências importantes... Sejam V e W espaços vectoriais. V é isomorfo de W se existe uma transformação linear T: V W que seja invertível. Uma transformação linear nestas condições diz-se um isomorfismo de V em W. Exemplos: M 2 (R) é isomorfo com R 4 F 2 éisomorfocomp 1 (F) P 3 (R) é isomorfo com M 2 (R) ÁLGEBRA Transformações lineares - 13 Mudança de base Representação de um vector em bases diferentes Sejam e duas bases ordenadas para o mesmo espaço V e a matriz Q =. [ I ] V ' Então: - Q é invertível -paratodoox V, [ x ] = Q[ x] ' A matriz Q assim definida é designada: matriz que muda coordenadas para coordenadas,ou matriz de mudança da base para a base. ÁLGEBRA Transformações lineares - 14

8 Mudança de base Representação de uma TL em bases diferentes Sejam e duas bases ordenadas para o mesmo espaço V, et:v V uma transformação linear. Seja Q a matriz de mudança da base para a base (ou de mudança de coordenadas em coordenadas ). Então 1 [ T] = Q [ T] Q ' As matrizes [T] e[t] são matrizes semelhantes. ÁLGEBRA Transformações lineares - 15 Mudança de base Representação de uma TL em bases diferentes Sejam e bases ordenadas para V, e base ordenadas para W e T: V W uma transformação linear. Então onde: ' 1 [ T] = P [ T] Q ' Qéamatrizdemudançadabase para a base ; Péamatrizdemudançadabase para a base. ÁLGEBRA Transformações lineares - 16