Matriz de uma transformação linear

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1 Matriz de uma transformação linear Laura Goulart UESB 9 de Outubro de 2018 Laura Goulart (UESB) Matriz de uma transformação linear 9 de Outubro de / 8

2 21 - Matriz de uma transformação linear Sejam U, V e.v.r. de dimensão nita. Considere B = {u 1,..., u n } e C = {v 1,..., v m } bases de U e V respectivamente. Tome T L(U, V ). Laura Goulart (UESB) Matriz de uma transformação linear 9 de Outubro de / 8

3 21 - Matriz de uma transformação linear Sejam U, V e.v.r. de dimensão nita. Considere B = {u 1,..., u n } e C = {v 1,..., v m } bases de U e V respectivamente. Tome T L(U, V ). Logo, Laura Goulart (UESB) Matriz de uma transformação linear 9 de Outubro de / 8

4 21 - Matriz de uma transformação linear Sejam U, V e.v.r. de dimensão nita. Considere B = {u 1,..., u n } e C = {v 1,..., v m } bases de U e V respectivamente. Tome T L(U, V ). Logo, T (u 1 ) = α 11 v 1 + α 21 v α m1 v m Laura Goulart (UESB) Matriz de uma transformação linear 9 de Outubro de / 8

5 21 - Matriz de uma transformação linear Sejam U, V e.v.r. de dimensão nita. Considere B = {u 1,..., u n } e C = {v 1,..., v m } bases de U e V respectivamente. Tome T L(U, V ). Logo, T (u 1 ) = α 11 v 1 + α 21 v α m1 v m T (u 2 ) = α 12 v 1 + α 22 v α m2 v m Laura Goulart (UESB) Matriz de uma transformação linear 9 de Outubro de / 8

6 21 - Matriz de uma transformação linear Sejam U, V e.v.r. de dimensão nita. Considere B = {u 1,..., u n } e C = {v 1,..., v m } bases de U e V respectivamente. Tome T L(U, V ). Logo, T (u 1 ) = α 11 v 1 + α 21 v α m1 v m T (u 2 ) = α 12 v 1 + α 22 v α m2 v m. T (u n ) = α 1nv 1 + α 2nv α mn v m Laura Goulart (UESB) Matriz de uma transformação linear 9 de Outubro de / 8

7 21 - Matriz de uma transformação linear Sejam U, V e.v.r. de dimensão nita. Considere B = {u 1,..., u n } e C = {v 1,..., v m } bases de U e V respectivamente. Tome T L(U, V ). Logo, T (u 1 ) = α 11 v 1 + α 21 v α m1 v m T (u 2 ) = α 12 v 1 + α 22 v α m2 v m. Ou seja, T (u n ) = α 1nv 1 + α 2nv α mn v m n T (u j ) = α ij v i Laura Goulart (UESB) Matriz de uma transformação i=1 linear 9 de Outubro de / 8

8 A matriz (α ij ) é chamada matriz de T em relação as bases B e C e denotada por [T ] B C. Laura Goulart (UESB) Matriz de uma transformação linear 9 de Outubro de / 8

9 Exemplos 21.1) Seja T : R 3 R 2 dada T (x, y, z) = (x + y, y + z). Determine a matriz de T em relação às bases canônicas do R 3 e B = {(1, 1); (1, 1)} do R 2. Laura Goulart (UESB) Matriz de uma transformação linear 9 de Outubro de / 8

10 Exemplos 21.1) Seja T : R 3 R 2 dada T (x, y, z) = (x + y, y + z). Determine a matriz de T em relação às bases canônicas do R 3 e B = {(1, 1); (1, 1)} do R ) Seja T : R 3 R 3 tal que T (x, y, z) = (x y + 3z, x 2y, y + 2z). Determine a matriz de T em relação à base canônica de R 3. Laura Goulart (UESB) Matriz de uma transformação linear 9 de Outubro de / 8

11 Teorema (21.1) Os espaços L(U, V ) e M m n são isomorfos. Laura Goulart (UESB) Matriz de uma transformação linear 9 de Outubro de / 8

12 Teorema (21.1) Os espaços L(U, V ) e M m n são isomorfos. Observação (21.1) Dada uma matriz A M n m, existe T L(R m, R n ) dada por T (v) = Av t no qual [T ]can = A. Laura Goulart (UESB) Matriz de uma transformação linear 9 de Outubro de / 8

13 Teorema (21.1) Os espaços L(U, V ) e M m n são isomorfos. Observação (21.1) Dada uma matriz A M n m, existe T L(R m, R n ) dada por T (v) = Av t no qual [T ]can = A. Exemplo (21.3) ( ) Dada A = , encontre T L(R 3.R 2 ). Laura Goulart (UESB) Matriz de uma transformação linear 9 de Outubro de / 8

14 Teorema (21.1) Os espaços L(U, V ) e M m n são isomorfos. Observação (21.1) Dada uma matriz A M n m, existe T L(R m, R n ) dada por T (v) = Av t no qual [T ]can = A. Exemplo (21.3) ( ) Dada A = , encontre T L(R 3.R 2 ). Corolário (21.1.1) diml(u, V ) = n m = dimu dimv. Laura Goulart (UESB) Matriz de uma transformação linear 9 de Outubro de / 8

15 Propriedades MT1) Seja V um e.v.r com dimv = n < + e considere B = {u 1,..., u n } e C = {v 1,..., v n } bases de V. Tome I L(V ) o operador identidade. É fácil ver que [I ] C B é a matriz mudança da base C para a base B. Laura Goulart (UESB) Matriz de uma transformação linear 9 de Outubro de / 8

16 Propriedades MT1) Seja V um e.v.r com dimv = n < + e considere B = {u 1,..., u n } e C = {v 1,..., v n } bases de V. Tome I L(V ) o operador identidade. É fácil ver que [I ] C B é a matriz mudança da base C para a base B. MT2) [Matriz da Composta] Sejam V 1, V 2, V 3 e.v.r. de dimensão nita. Considere B = {u 1,..., u n }; C = {v 1,..., v m } e D = {w 1,..., w p } bases de V 1, V 2, V 3 ; respectivamente. Tome T L(V 1, V 2 ) e S L(V 2, V 3 ). Então, [S T ] B D = [S]B C [T ]C D. Laura Goulart (UESB) Matriz de uma transformação linear 9 de Outubro de / 8

17 Laura Goulart (UESB) Matriz de uma transformação linear 9 de Outubro de / 8

18 MT3) Se T L(U, V ) é um isomorsmo, então ( [T ] B C ) 1 = [T 1 ] C B. Laura Goulart (UESB) Matriz de uma transformação linear 9 de Outubro de / 8

19 MT3) Se T L(U, V ) é um isomorsmo, então ( [T ] B C ) 1 = [T 1 ] C B. MT4) [T (v)] C = [T ] B C [v] B. Laura Goulart (UESB) Matriz de uma transformação linear 9 de Outubro de / 8

20 MT3) Se T L(U, V ) é um isomorsmo, então ( [T ] B C ) 1 = [T 1 ] C B. MT4) [T (v)] C = [T ] B C [v] B. Exemplo (21.4) Seja T L(R 2, R 3 ) tal que [T ] can B = , onde B = {(1, 0, 1); ( 2, 0, 1); (0, 1, 0) é base do R 3. Qual é a imagem do vetor u = (2, 3) por T. Laura Goulart (UESB) Matriz de uma transformação linear 9 de Outubro de / 8

21 MT5) Seja V um e.v.r. com dimv = n < + e considere B = {u 1,..., u n } e C = {v 1,..., v n } bases de V. Tome T L(V ). Então, [T ] C = M 1 [T ] B M, onde M é a matriz mudança da base C para a base B. Laura Goulart (UESB) Matriz de uma transformação linear 9 de Outubro de / 8