Métodos Numéricos no Traçado de Campos

Transcrição

1 Métodos Nuércos no Traçado de Capos ELECTROTECNIA TEÓRICA LEEC Aníbal Castlho Cobra de Matos Mara Inês Barbosa de Carvalho Dezebro de 5

2 Nota ntrodutóra Estes apontaentos destna-se apoar as aulas da dscplna de Electrotecna Teórca da Lcencatura e Engenhara Electrotécnca e de Coputadores. São aqu apresentados dos étodos nuércos para a resolução de equações dferencas parcas e lustrada a sua aplcação à deternação do potencal eléctrco nua regão do espaço.

3 Índce Introdução... Método das dferenças fntas Método dos Eleentos Fntos... Conclusão Bblografa... 6

4 Introdução A deternação dos capos eléctrcos e agnétcos nua dada regão do espaço envolve frequenteente a resolução de equações dferencas parcas. E alguns casos é possível trando partdo da geoetra do problea obter estes capos de ua fora analítca. No entanto na stuação as geral estas equações apenas pode ser resolvdas recorrendo a étodos nuércos. Apresenta-se aqu de ua fora resuda o étodo das dferenças fntas e o étodo dos eleentos fntos. Trata-se de dos étodos geras de resolução nuérca de equações dferencas parcas co aplcações e dversos doínos. Ebora estes étodos possa ser aplcados a utos probleas da área de electroagnetso para eeplfcar a sua aplcação será consderado aqu o problea da deternação do potencal eléctrco nua regão do espaço. E stuações estaconáras a deternação do potencal eléctrco nua regão do espaço onde a pertvdade deléctrca é ε e a densdade de carga é ρ é feta recorrendo à resolução da equação de Posson ρ ε. Serão apenas consderados probleas e que o potencal não depende de z. Neste caso a equação de Posson toa a fora ρ ε. A uncdade da solução desta equação nua dada regão é garantda pela consderação de condções frontera apropradas. E geral estas condções pode ser de dos tpos. Ou defne

5 o potencal eléctrco e pontos da frontera da regão ou defne restrções sobre as coponentes do vector capo eléctrco e pontos da frontera. Estas últas restrções traduze-se naturalente e condções envolvendo as dervadas parcas (de prera orde) do potencal eléctrco. Aqu serão apenas abordados probleas co condções frontera do prero tpo ou sea ( g( para todos os pontos da frontera onde g ( é ua função conhecda.

6 Método das dferenças fntas A resolução nuérca de equações dferencas parcas pelo étodo das dferenças fntas envolve a dscretzação do espaço a qual é realzada através da defnção de ua grelha de pontos. Consderando a grelha da fgura a solução da equação dferencal será deternada nos pontos ) defnndo-se ( ). ( Esta grelha perte a aproação das dervadas de por dferenças entre valores nos dversos pontos da grelha. Ass ( ) ( ) 3

7 ) ( ) ( De u odo seelhante pode tabé escrever-se / / ) ( ) ( ) ( ) ( / / ) ( ) ( ) ( ) ( Substtundo estas duas últas aproações na equação de Posson e consderando anda que h obté-se ε ρ h. Esta equação relacona o potencal no ponto ) ( co os potencas nos pontos vznhos e deverá ser consderada para todos os pontos do nteror da regão. Juntando todas estas equações obté-se u sstea de equações lneares que ua vez resolvdo fornecerá a solução aproada do problea. Sepre que nas equações sea referdos pontos da frontera o valor do respectvo potencal será o defndo pelas condções frontera dadas.

8 Eeplo Na regão representada te-se ρ. Consderando a grelha defnda na fgura deverão ser consderadas equações correspondentes aos pontos nterores As equações a resolver para deternar o potencal pelo étodo das dferenças fntas serão A solução do sstea de equações pode ser calculada quer recorrendo ao étodo drecto quer recorrendo a u processo teratvo. No prero caso o étodo de resolução deverá ter e consderação a natureza esparsa da atrz de coefcentes (reduzdo núero de eleentos não nulos) estndo técncas que tra partdo da estrutura destas atrzes de fora a obter a solução do sstea de ua fora uto as epedta do que sera possível utlzando a habtual elnação gaussana. 5

9 6 Eeplo Na regão da fgura supõe-se que ρ. Esta regão fo dscretzada de acordo co a grelha apresentada. Consderando os pontos nterores nuerados da esquerda para a dreta e de ca para bao obté-se o segunte sstea de equações Coo se pode observar esta é ua atrz co u reduzdo núero de eleentos não nulos. Note-se que o núero de eleentos não nulos e cada lnha da atrz será no áo cnco pelo que o carácter esparso da atrz será tão as evdente quanto aor for o núero de pontos da grelha. 5

10 7 Na resolução do sstea de equações pelo processo teratvo a equação de cada ponto nteror é resolvda e orde ao potencal nesse eso ponto ou sea ε ρ h. O processo teratvo consste e obter novas estatvas dos potencas nos dferentes pontos consderando os anterores valores dos potencas nos pontos vznhos de acordo co esta epressão. Para ncar o processo é necessáro atrbur valores aos potencas nos dferentes pontos. Se be que o processo teratvo forneça estatvas dos potencas cada vez as próas da solução do problea é possível acelerar a convergênca do étodo teratvo utlzando técncas de relaação. Estas consste e odfcar a fora de actualzação dos novos valores do potencal consderando ua éda pesada entre o valor anteror e o novo valor fornecdo pela epressão aca. Eeplo 3 Consderando o sstea de equações do eeplo e resolvendo cada equação e relação ao pontencal do respectvo ponto obté-se

11 Incando as terações e obtê-se os valores apresentados na tabela segunte 3 Iteração A deternação do potencal pelo étodo das dferenças fntas fornece naturalente soluções aproadas do problea. Obvaente estas aproações serão tanto elhores quando enor for o espaçaento entre pontos da grelha. 8

12 Eeplo Consderando novaente o problea analsado no eeplo apresenta-se e seguda as soluções obtdas utlzando grelhas co dferentes espaçaentos. E cada caso ndca-se o núero de pontos nterores consderado. As fguras lustra a varação da solução obtda co o núero de pontos da grelha. Coo se pode observar as duas últas soluções são uto seelhantes apesar de tere sdo obtdas co núeros de pontos da grelha uto dferentes. Este facto perte conclur que estas soluções aproadas estão á bastante próas da solução eacta. 9

13 3 Método dos Eleentos Fntos Contraraente ao étodo das dferenças fntas no qual a solução aproada da equação de Posson é obtda apenas nos pontos de ua grelha o étodo dos eleentos fntos fornece ua solução aproada defnda e toda a regão consderada coo se descreve e seguda. É possível ostrar que a resolução da equação dferencal ρ ε no nteror de ua regão D co a condção ( g( na sua frontera é equvalente à deternação da função ( que nza o ntegral I D ρ dd ε e sultaneaente verfca a condção ( g( na frontera de D. O étodo dos eleentos fntos assenta nesta equvalênca procurando-se encontrar a função ( que resolve este segundo problea. A nzação do ntegral I é feta de ua fora aproada consderando que a função ( é ua cobnação lnear de funções ou sea ( φ ( onde φ ( são funções base pré-defndas. Note-se que este ntegral é proporconal à energa arazenada na regão consderada traduzndo esta equvalênca o prncípo da energa ína.

14 Este problea de nzação reduz-se então à deternação dos coefcentes da cobnação lnear que nza o ntegral I e sultaneaente satsfaz a condção ( g( nu núero fnto de pontos da frontera. É portante referr que ao restrngr a função ( a ua cobnação lnear de u núero fnto de funções base não será possível alcançar o valor íno do ntegral I correspondente à solução eacta do problea de nzação pelo que a solução obtda será apenas ua solução aproada da equação dferencal. Na resolução deste problea de nzação co restrções os parâetros dvddos e dos conuntos. Os parâetros enquanto os parâetros K são K n são utlzados para nzar I n n K são utlzados na satsfação das condções frontera. Sendo os parâetros K n uncaente usados na nzação de I está-se perante u problea clássco de nzação se restrções tendo-se então I para K n. Substtundo a epressão de ( no ntegral I obté-se I D φ dd φ φ ρ. ε Notando que φ φ e tabé que φ φ φ φ φ e

15 φ φ φ as equações resultantes da nzação fca dd φ φ φ φ φ D D ρ ε dd para K n. Defnndo as constantes D φ φ φ φ dd para K n e K que apenas depende das funções base consderadas as equações aca pode ser escrtas na fora D ρ φdd ε. Notando anda que os parâetros n n K são deternados a partr das condções frontera o sstea de n equações que perte deternar os parâetros K fca n n β para K n onde as constantes β são defndas por β ρ φdd ε D n. O sstea de equações anteror pode anda ser escrto na fora atrcal M n M n L L O L n n M nn β β. M M n β n

16 Refra-se novaente que as constantes e β que defne este sstea de equações depende apenas das funções base φ e das condções frontera. O sstea de equações obtdo perte deternar a solução do problea. É no entanto necessáro defnr ncalente as funções base usadas. Estas deverão ser escolhdas de fora a facltar não só a deternação das constantes e β que defne o sstea de equações coo tabé a resolução do própro sstea de equações. Efectvaente a solução da equação aproada da equação dferencal será tanto elhor quanto aor for o núero de funções base consderadas o que na prátca se traduz por ssteas de equações de elevada densão que porta resolver de fora efcente. A defnção das funções base assenta na subdvsão da regão D do espaço e pequenas áreas (eleentos) de geoetra be defnda. Para o caso bdensonal aqu analsado estes eleentos serão trângulos defnndo-se tantas funções base quantos os vértces dos trângulos e que se subdvdu a regão D. Cada ua destas funções caracterza-se por toar o valor nu dos vértces o valor e todos os outros e ser ua função lnear e e e e cada u dos trângulos. Dto de outra fora e cada u dos trângulos cada ua das funções é caracterzada por ua epressão do tpo a b c ou sea dentfca-se co u plano. As fguras seguntes lustra a subdvsão de ua regão e trângulos (neste caso guas) e a função base assocada a u dos vértces. Dvsão de ua regão e trângulos e função base assocada ao vértce ndcado. Coo a fgura ostra cada ua das funções base apresenta ua fora pradal sendo não nula apenas nos trângulos aos quas o vértce a ela assocado pertence. 3

17 sto de outra fora sto sgnfca que nu dado trângulo apenas serão não nulas as três funções assocadas aos seus vértces. Ass o conunto de todas as funções base fca copletaente especfcado ao defnr para cada trângulo as epressões das três funções que aí são não nulas. Consdere-se então a regão D dvdda nos trângulos T T T K K. Cada u destes trângulos T é defndo pelos seus vértces P P e P 3. Alguns destes vértces são partlhados por dos ou as trângulos sendo então necessáro estabelecer tabé ua nueração global de todos os vértces os quas são aqu desgnados por N N N K. Note-se que esta nueração global rá corresponder à nueração das funções base á consderada. Ua vez que nu dado vértce N a função φ toa o valor e todas as outras funções base toa o valor o valor da solução ( nesse vértce será splesente. Consdere-se agora u dado trângulo T de vértces P ( ) P ( ) e P ). Suponha-se anda que a estes três vértces corresponde a nueração global p 3 ( 3 3 q e r ou sea N p P N q P e N r P 3. N p P T P 3 P N r N q Neste trângulo apenas serão não nulas as funções φ p φ q e φ r correspondentes aos vértces N p N q e N r respectvaente. Estas funções são neste trângulo caracterzadas pelas epressões φ p q r ( a φ ( a φ ( a 3 b b b 3 c c c 3

18 As constantes que defne cada ua destas funções são obtdas drectaente a partr das condções atrás enuncadas ou sea cada ua das funções deve toar o valor nu dos vértces e nos outros. Por eeplo para a função φ p te-se φ φ φ p p p ( ( ( 3 3 ) a ) a ) a b b b 3 c c c 3 Epressões seelhantes pode ser obtdas para as funções pode ser faclente epressas na segunte equação atrcal φ q e φ r. As equações resultantes 3 3 a b c a b c a b c da qual resulta a b c a b c a b c

19 Eeplo 5 Consdere-se a regão D do plano defnda por 3 e 3. Esta regão encontra-se dvdda e 8 trângulos guas coo se ndca na fgura. A nueração global dos vértces é tabé ndcada na fgura. N 5 N 6 N 7 N 8 T T T 3 T T 5 T 6 N 9 N N N T 7 T 8 T 9 T T T N N 3 N N T 3 T T 5 T6 T 7 T8 N 3 N N 5 N 6 Consdere-se o trângulo T co a nueração local de vértces ndcada na fgura segunte. N 7 P (3) T N P 3 () N P () Neste trângulo apenas são não nulas as funções φ φ e φ 7 as quas são aí defndas pelas epressões φ ( a 7 φ ( a φ ( a 3 b b b 3 c c c 3 sendo as constantes a b e c dadas por a b c a b c a b c

20 Conclu-se então que no trângulo T as funções φ φ e φ 7 serão φ7 ( φ ( φ ( Consdere-se agora o trângulo T 9 co a nueração local de vértces ndcada na fgura segunte. N P 9 () N P 9 () T 9 N 3 P 93 () Neste trângulo apenas são não nulas as funções φ φ e φ 3 as quas são aí defndas pelas epressões φ ( a 3 9 φ ( a φ ( a 9 93 b b b c 9 c c 93 9 sendo as constantes a b e c dadas por a b c a b c a b c Conclu-se então que no trângulo T 9 as funções φ φ e φ 3 serão φ( φ ( φ ( 3 Segundo u processo seelhante pode deternar-se as epressões das funções que são não nulas e cada trângulo. Por eeplo a função φ será não nula não só nos trângulos T e T 9 coo anda nos trângulos T T 3 T 7 e T 8 sendo globalente defnda pelas seguntes epressões 7

21 φ ( T 3 ( T3 ( T ( ( T. 7 ( T8 ( T9 Coo á referdo os coefcentes K da cobnação lnear das funções base encontra-se dvddos e dos conuntos. Esta dvsão está drectaente relaconada co o facto de cada u dos vértces dos trângulos e que é dvda a regão D poder ser u ponto do seu nteror ou u ponto da sua frontera. Ass consderando que os vértces se encontra no nteror de D enquanto os vértces frontera os coefcentes enquanto os coefcentes N N N N K n N n K N se encontra na sua K n serão deternados a partr da nzação do ntegral I n n K serão utlzados na satsfação das condções frontera. n A deternação destes últos coefcentes é feta de ua fora edata notando que para todos os pontos da frontera de D se deverá ter ( g( e tabé que para cada vértce N se te ( ) resultando então que g N ) para todos os vértces na N ( frontera de D ou sea para n n K. É portante referr que quando a função que defne o potencal na frontera apresenta ua descontnudade nu ponto corresponde a u vértce é habtual toar coo potencal nesse ponto o valor édo dos ltes à esquerda e à dreta. 8

22 Eeplo 6 Consdere-se novaente a regão D do plano defnda por 3 e 3. Suponha-se que o potencal na sua frontera vara de acordo co o segunte g( ) 9 ( 3) g( 3) g( (3 g(3 9 Consdere-se tabé a dvsão da regão e trângulos defnda no eeplo 5 ou sea N 5 N 6 N 7 N 8 T T T 3 T T 5 T 6 N 9 N N N T 7 T 8 T 9 T T T N N 3 N N T 3 T T 5 T6 T 7 T8 N 3 N N 5 N 6 Os valores dos coefcentes correspondentes aos vértces na frontera serão g(3) g() 8 g() 6 g(3) g(3) 7 g() g(3) g() 8 g() g(33) 6 g(3) 8 g(3) 9 Para a deternação dos restantes coefcentes que defne a solução ( é necessáro calcular as constantes e β do sstea de equações lneares á apresentado. A fora coo se encontra defndas as funções base torna o cálculo destas constantes sples. Na verdade o valor D φ φ φ φ dd 9

23 apenas será não nulo quando os vértces N e N são couns a pelo enos u trângulo. Nesse caso a ntegração deverá ser estendda a todos os trângulos a que estes vértces pertence sultaneaente. Resulta ass que a atrz de coefcentes do sstea de equações será esparsa facltando deste odo a sua resolução. Note-se anda que e cada trângulo as dervadas parcas das funções φ e deternação de. φ são constantes o que splfca anda as a Eeplo 7 Contnuando a consderar a regão defnda nos eeplos anterores be coo a sua dvsão nos eleentos á consderados é possível deternar os valores as dferentes funções base. Por eeplo o valor obté-se a partr de a partr das epressões para T T T T T T φ φ dd ua vez que a função φ apenas é não nula nestes trângulos. Utlzando as epressões desta função á obtdas no eeplo 5 resulta T dd dd dd dd dd dd 8. T3 T T7 T8 T9 Já o valor se obté a partr de T T9 φ φ φ φ dd pos as funções φ e φ são sultaneaente não nulas apenas nestes dos trângulos. Substtundo as epressões destas funções (á obtdas no referdo eeplo) resulta tabé T ( ) dd ( ) dd ( ). T9

24 Todos os restantes coefcentes co K e K 6 pode deternar-se de ua fora análoga. A atrz segunte apresenta os seus valores para este eeplo. [ ] Tabé no cálculo de cada u dos valores β ρ φdd ε D n se deverá ter e consderação que sendo a função φ apenas não nula nos trângulos a que pertence o vértce N a ntegração e causa será soente estendda a esses trângulos. Eeplo 8 Consdere-se anda a esa regão dos eeplos anterores e suponha-se que ρ no seu nteror. Utlzando os valores para K e 5 K 6 be coo os valores para 5 K6 á calculados obtê-se faclente os valores β β β3 3 β 6. Após a deternação de todos estes coefcentes obté-se o sstea de equações que perte deternar os parâetros K n assocados a todos os vértces nterores. Ua vez resolvdo este sstea deterna-se fnalente a solução procurada. Tal coo no étodo das dferenças fntas este sstea de equações pode ser resolvdo de fora drecta ou utlzando u étodo teratvo. E abas as stuações a natureza esparsa da atrz de coefcentes do sstea pode ser utlzada de u odo vantaoso.

25 Eeplo 9 No eeplo e análse o sstea de equações que perte deternar K fca Resolvendo este sstea obté-se então os quas conuntaente co os restantes parâetros 5 K 6 á obtdos defne totalente a solução aproada da equação dferencal ou sea 6 ( φ (. A fgura segunte lustra esta solução.

26 Resundo a deternação de ua solução aproada da equação dferencal utlzando o étodo dos eleentos fntos pode ser obtda de acordo co os seguntes passos.. DIISÃO DA REGIÃO EM ELEMENTOS (TRIÂNGULOS).. NUMERAÇÃO DOS ÉRTICES (INTERIORES DE ATÉ n NA FRONTEIRA DE n ATÉ ). 3. DETERMINAÇÃO DAS EXPRESSÕES DAS FUNÇÕES BASE ( φ ) EM CADA ELEMENTO.. DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS n K A PARTIR DAS CONDIÇÕES FRONTEIRA. 5. OBTENÇÃO DAS CONSTANTES E β. K. 6. RESOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES PARA OBTER n 7. OBTENÇÃO DA SOLUÇÃO ( φ (. À seelhança do que acontece co o étodo das dferenças fntas tabé este étodo produz resultados as próos da solução eacta à edda que dnu o taanho dos eleentos (trângulos) e que se dvde a regão D. Ebora não sea sples obter para o caso geral ua epressão de aoração do erro de aproação das soluções obtdas por este étodo é possível afrar-se que este erro vara co o quadrado da aor dstânca entre dos vértces do eso trângulo. Eeplo Apresenta-se e seguda as soluções aproadas do problea tratado nos eeplos anterores para dferentes subdvsões da regão D. E todos os casos é utlzada ua grelha regular estando os trângulos dspostos de ua fora análoga ao caso á deternado. 3

27 Coo sera de esperar a solução obtda torna-se as suave à edda que o núero de trângulos ou sea de vértces auenta aproando-se ass da solução eacta. Iporta anda referr que nos eeplos analsados a regão D te sdo sepre dvdda e trângulos de ua fora regular. É no entanto possível consderar dvsões não unfores coo se ostra na fgura as quas perte obter elhores soluções para o eso núero de trângulos consderados.

28 Conclusão Coparado co o étodo das dferenças fntas o étodo dos eleentos fntos apresenta ua copledade superor produzndo contudo resultados as próos da solução eacta para o eso núero de pontos. Este facto é consequênca da solução obtda por este étodo ser por construção ua função contínua. Efectvaente o étodo das dferenças fntas produz apenas valores da função nu conunto fnto de pontos sendo necessáro efectuar nterpolações para obter valores noutros pontos. Abos os étodos pode ser aplcados à resolução de ua grande varedade de probleas traduzdos por dferentes equações dferencas. A grande vantage do étodo das dferenças fntas resde na sua etrea splcdade. Por outro lado o étodo dos eleentos fntos adapta-se faclente a stuações as copleas do que a aqu consderada noeadaente regões co fronteras rregulares ou dvsões da regão e trângulos de taanhos e orentações não unfores. Fnalente salenta-se o facto de abos os étodos se encontrare pleentados e varadas bblotecas de funções para dferentes abentes coputaconas pelo que na prátca o esforço de aplcação destes étodos é noralente concentrado na foratação dos dados do problea para estas funções. 5

29 5 Bblografa R. Burden J. Fares Nuercal analss PWS-Kent Publshng Copan 988. M. Sadku Eleents of electroagnetcs Oford Unverst Press. J. Kraus D. Flesch Electroagnetcs wth applcatons McGraw-Hll 999. MATLAB Partal Dfferental Equaton Toolbo The MathWorks Inc.. 6