CAPÍTULO III. Aproximação de funções pelo método dos Mínimos Quadrados

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1 Métodos Nuércos CAPÍULO III C. Balsa & A. Satos Aproxação de fuções pelo étodo dos Míos Quadrados. Algus cocetos fudaetas de Álgebra Lear Relebraos esta secção algus cocetos portates da álgebra Lear que utlzareos o cotexto do étodo dos íos quadrados. Espaço gerado por ua atrz. Cosderado a atrz A, o subespaço gerado pelos vectores colua desta atrz é represetado por spa( A ) e correspode ao cojuto de todos os vectores que são cobação lear de dos vectores colua de A. Sbolcaete: Produto escalar. { } spa( A) y : y = Ax cox. Cosderado dos vectores (atrzes colua) v e v, o produto escalar de destes dos vectores é u escalar que resulta de vv = v v cos ( θ ), Sedo θ âgulo etre v e v. Vectores ortogoas. E cosequêca da defção ateror dos vectores ão ulos v e v são ortogoas (perpedculares ou oras) se o respectvo produto escalar for ulo, sto é se vv = vv =. Cosequeteete, se u vector u for ortogoal a u cojuto de vectores v, v,, v que costtue as coluas de ua atrz A etão u A=, pos [ ] ua= uvuv uv =. Por outro lado tabé se verfca que Au=, pos vu vu Au= =. vu Capítulo Míos quadrados 5

2 . Forulação do problea. Míos Quadrados Dada ua fução (sob a fora de tabela co potos) y = f( x ), =,,, Quereos ecotrar u polóo de grau Px = c+ cx+ cx + + c x + Para u deterado <. Este polóo ajusta os dados o setdo dos íos quadrados se zar a soa dos quadrados dos desvos e relação aos dados, sto é, = ( ) S = y P x Mzar S é o eso zar o quadrado da ora do resíduo do sstea P x = y c + c x + c x + + c x = y P x y c c x c x c x y P( x ) y = c + c x + c x + + c x = y Que a sua fora atrcal é represetado por = =., x x x c y c y x x x x x x c = y Ac= y. x c x x y O vector resíduo deste sstea é r = y Ac e a sua ora dos é ( ), r = y P x = Pelo que o quadrado desta ora é r = S. O problea dos íos quadrados reduz-se ass à resolução do sstea Ac = y. Cotudo o problea ão é tão sples quato parece pos coo teos > (as equações do que cógtas) o sstea é sobredeterado. Na aor parte dos casos estes ssteas ão adte solução pos y ão é cobação lear dos vectores colua da atrz A ( y spa( A) ). Para que y spa( A) a atrz A tera de possur vectores colua learete depedetes. Métodos Nuércos 5

3 Míos Quadrados. Método da equação oral O facto do sstea ão adtr solução exacta ão é grave o cotexto dos íos quadrados pos ós apeas estaos teressados e resolver aproxadaete u sstea Ax= b de aera a ecotrar o vector x que za o resíduo r = b Ax. Fgura Descrção geoétrca do problea dos íos quadrados. O paralelograo represeta o subespaço spa( A ) (gerado pelos vectores colua de A ), ao qual o vector b geralete ão pertece. Dados ua atrz A (co > ) e u vector b, procuraos u vector x tal que a ora de (cupreto de) r = b Ax seja ía. al coo se pode vsualzar a fgura o cupreto do vector resíduo r é ío quado r spa( A), sto é Ar= A b Ax = AAx = Esta últa equação é desgada por equação oral do sstea. O sstea resultate da equação oral é u sstea possível e deterado. A solução deste sstea é a solução aproxada do sstea orgal ( Ax = b ) que za o resíduo r = b Ax. x y para =,,,, para calcular o vector, c dos coefcetes do polóo de orde, que elhor aproxa os dados o setdo dos íos quadrados teos de resolver o sstea Ab Aplcado agora este resultado ao problea orgal. Dados os potos (, ) AAc Ay =. Esta é o étodo tradcoalete usado para resolver o problea dos íos quadrados. e o etato a desvatage de plcar a resolução de u sstea al codcoado, pos à edda que o grau do polóo aueta as coluas de A aproxa-se cada vez as da depedêca lear. E o au codcoaeto de AA é proporcoal ao quadrado do codcoaeto de A. Pelo que a resolução do sstea oral deverá ser efectuado co todos os cudados de aera a zar a trodução de erros. Métodos Nuércos 5

4 Míos Quadrados Exeplo: Cosderado os dados da segute tabela x 4 5 y detere o polóo de grau 4 que elhor ajusta os dados o setdo dos íos quadrados. O polóo de grau quatro terá a segute estrutura P( x) = c + c x+ c x + c x + c x A deteração dos coefcetes deste polóo plca a resolução do sstea AAc= Ay e que a atrz A é gual a 4 x x x x 4 x x x x 4 x x x x A = =. x x4 x4 x4 4 x x5 x5 x 5 4 x x6 x6 x6 A resolução do sstea c c.6 AAc= Ay c = c c coduz a c = O polóo de grau quatro que elhor aproxa os dados o setdo dos íos quadrados é P ( x ) = x+.64 x -.99 x +.65 x 4 4 Hoje e da, para probleas de grade desão, usa-se étodos alteratvos uto as efcetes do poto de vsta coputacoal. Para as forações sobre estes étodos recoeda-se a cosulta da bblografa do capítulo. Métodos Nuércos 5

5 Míos Quadrados 4. Probleas Propostos. Cosdere a segute fução y t( x) =, dada sob a fora da segute tabela: y x = t x a) Detere o polóo de grau que, o setdo do étodo dos íos quadrados que elhor aproxa a tabela dada. Este: t ( ), t ( 5), t ( ) e t. { } b) Detere a cobação lear das fuções, x, ( x ), ( x ) + que, o setdo do étodo dos íos quadrados, elhor aproxa a tabela dada. Este: t ( ), t ( 5), t ( ) e t. { } =,,. Detere a cobação lear do segute cojuto de fuções: ( x ) do étodo dos íos quadrados, elhor aproxa a segute tabela: + que, o setdo x y = f(x) Cosdere a segute fução (tabela): x f = f ( x ) a) Qual o polóo do º grau que, o setdo do étodo dos íos quadrados, elhor represeta a fução dada. b) Qual a cobação lear dos polóos { x, 5x + 4} dos íos quadrados, elhor represeta a fução dada. que, o setdo do étodo f = Cosdere a segute fução: f x x a) Qual o grau do polóo que elhor se adapta à fução dada? Defa o polóo de regressão. b) Qual a cobação lear dos polóos x x, ( x + ) {, x + } étodo dos íos quadrados, elhor represeta a fução dada. 4 que, o setdo do Métodos Nuércos 54

6 Míos Quadrados 5. Detere a cobação lear das fuções {, x, x, x} íos quadrados, elhor represeta o cojuto de potos: (,.), (,.5), (, 5.), (,.) ( 5,.4). + que, o setdo do étodo dos 4, 5. Bblografa - Mchael. Heath. Scetfc Coputg a Itroductory Survey. McGraw-Hll, New York, ( - Lloyd N. refethe ad Davd Bau, III. Nuercal Lear Algebra. SIAM, Phladelpha, 997. Métodos Nuércos 55