0.5 setgray0 0.5 setgray1. Mecânica dos Fluidos Computacional. Aula 7. Leandro Franco de Souza. Leandro Franco de Souza p.

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1 Leandro Franco de Souza p. 1/1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 Mecânca dos Fludos Computaconal Aula 7 Leandro Franco de Souza

2 Leandro Franco de Souza p. 2/1 Equações Dferencas Parcas EDP s A mecânca dos fludos computaconal trata da obtenção numérca para EDP; As EDP s que descrevem fenômenos de nteresse em mecânca dos fludos podem ser classfcadas em três categoras: Elíptcas Parabólcas Hperbólcas Cada classe de equações está assocada a uma categora de fenômeno físco; o método numérco que funcona para uma classe pode não funconar para outra.

3 Leandro Franco de Souza p. 3/1 Equações Dferencas Parcas Consstênca: é a propredade que dz que à medda que a dstânca entre pontos espacas e temporas são reduzdos, a aproxmação utlzada converge para a Equação Dferencal Parcal (EDP). Establdade: é a tendênca que quasquer perturbações (e.: erro de arredondamento) que forem ntroduzdas na solução das equações algébrcas tem de decar. Convergênca: Se um processo é consstente e estável ele convergrá para solução das EDP s.

4 Leandro Franco de Souza p. 4/1 Equações Parabólcas Equação parabólca mas smples: T t = α 2 T x 2, que é a equação transente de dfusão de calor, onde α é um número postvo. Esta equação surge do estudo de transferênca de calor no qual a função T (t, x) mostra a temperatura no tempo t na posção x, a partr de uma dstrbução de temperatura ncal T (0, x) = T 0 (x). Outras equações smlares a esta surgem do estudo de escoamentos vscosos e processos de dfusão.

5 Leandro Franco de Souza p. 5/1 Equações Parabólcas Para a equação T t = α 2 T x 2, necessta-se de: Condção ncal T (0, x) = T 0 (x), Condções de frontera T (t, x 0 ) e T (t, x max )

6 Leandro Franco de Souza p. 6/1 Análse de Consstênca Equações Parabólcas Análse de Consstênca da equação: T t = α 2 T x 2, que pode ser escrta, utlzando o operador P, como: P T = T t α 2 T x 2. Utlzando aproxmações de prmera ordem no tempo e segunda ordem centrada no espaço, pode-se escrever a equação na forma dscretzada (FTCS): P, x T = T n+1 T n α T 1 n 2T n + T+1 n ( x) 2.

7 Leandro Franco de Souza p. 7/1 Análse de Consstênca Equações Parabólcas Utlzando a sére de Taylor temos: T n 1 = T n T n +1 = T n ( x) dt n dx + ( x)2 2! + ( x) dt n dx + ( x)2 2! d 2 T n dx 2 ( x)3 3! d 2 T n dx 2 + ( x)3 3! d 3 T n dx 3 + ( x)4 4! d 3 T n dx 3 + ( x)4 4! d 4 T dx 4 n +HOT d 4 T dx 4 n +HOT T n+1 = T n + () dt dt n + ()2 2! d 2 T n dt 2 + ()3 3! substtundo os termos na equação: d 3 T n dt 3 + ()4 4! d 4 T dt 4 n +HOT P, x T = T n+1 T n α T n 1 2T n + T n +1 ( x) 2. obtemos: P, x T = dt dt n α d2 T n dx d 2 T n dt 2 + ( x)2 12 d 4 T dx 4 n +O()2 + O( x) 3.

8 Leandro Franco de Souza p. 8/1 Análse de Consstênca Equações Parabólcas Realzando a dferença entre a equação dferencal parcal e a equação dcretzada temos: P T P, x T = 2 d 2 T n dt 2 +( x)2 12 d 4 T dx 4 n +O()2 + O( x) 3. Este dferença tende a zero à medda que, x 0. Portanto o esquema FTCS para esta equação é Consstente.

9 Leandro Franco de Souza p. 9/1 Análse de Establdade Equações Parabólcas Verfcação de establdade de um esquema através do Método de Von Neumann: É o método mas usado para determnar o crtéro de establdade, sendo o mas dreto para se obter este crtéro; Infelzmente só pode ser utlzado para estabelecer condções necessáras e sufcentes para análse de establdade lnear de problemas de valor ncal com coefcentes constantes; Neste método os erros dstrbuídos nos pontos da malha em um dado tempo t são expanddos em séres fntas de Fourer. Em seguda a establdade ou nstabldade é determnada verfcando se cada componente de Fourer do erro deca ou amplfca no processo para o próxmo tempo t +.

10 Leandro Franco de Souza p. 10/1 Método de Von Neumann para Análse de Establdade 1 o passo -> substtur os termos na equação por uma soma da solução exata com os erros (arredondamento, truncamento, etc...): T (t, x) = T (t, x) + ɛ(t, x), que pode ser escrto na forma dscretzada como: T n = T n + ɛ n, onde o termo T n é a solução exata da equação dferencal e ɛ n ndca o erro no nstante de tempo n no ponto da malha. 2 o passo -> expandr em sére de Fourer a equação dscretzada:

11 Leandro Franco de Souza p. 11/1 Método de Von Neumann para Análse de Establdade Substtundo T n por T n + ɛ n na equação dscretzada: fca da forma: T n+1 T n = α T 1 n 2T n + T+1 n ( x) 2. T n+1 T n + ɛn+1 ɛ n = α T 1 n 2 T n + T +1 n ( x) 2 +α ɛn 1 2ɛn + ɛn +1 ( x) 2. Como os termos com sobrelnha satzfazem a equação ncal, pode-se obter a equação dscretzada para o erro: ɛ n+1 ɛ n = α ɛn 1 2ɛn + ɛn +1 ( x) 2.

12 Leandro Franco de Souza p. 12/1 Método de Von Neumann para Análse de Establdade 2 o passo -> Consdera-se as condções de contorno peródcas e pode-se expandr o erro dstrbudo no espaço em um certo nstante de tempo t em uma sére de Fourer: ɛ n = N l= N E n l eik l. x, onde I = 1 e El n é a ampltude do harmônco l. O harmônco com l = 0 representa uma função constante no espaço. O produto k l x é mutas vezes substtuído pelo ângulo de fase: φ = k l x = lπ N ɛ n = N E n l eiφ. l= N

13 Leandro Franco de Souza p. 13/1 Método de Von Neumann para Análse de Establdade 3 o passo -> subttur a expansão em sére de Fourer nas equações dscretzadas para o erro: que fca da forma: ɛ n+1 ɛ n = α ɛn 1 2ɛn + ɛn +1 ( x) 2, N l= N En+1 l e Iφ N l= N En l eiφ = (1) = α N l= N En l ei( 1)φ 2 N l= N En l eiφ + N l= N En l ei(+1)φ ( x) 2,

14 Leandro Franco de Souza p. 14/1 Método de Von Neumann para Análse de Establdade Para cada valor de l, obtém-se a equação: E n+1 l e Iφ El neiφ = α En l ei( 1)φ 2E n l eiφ + E n l ei(+1)φ ( x) 2, manpulando os termos, pode-se obter: E n+1 l e Iφ = E n l e Iφ +α ( x) 2 [ E n l e I( 1)φ 2E n l e Iφ + E n l e I(+1)φ], ou anda: E n+1 l e Iφ = E n l eiφ +α ( x) 2 [ E n l eiφ e Iφ 2E n l eiφ + E n l eiφ e +Iφ],

15 Leandro Franco de Souza p. 15/1 Método de Von Neumann para Análse de Establdade que pode ser smplfcado por: E n+1 l = E n l + α ( x) 2 [ E n l e Iφ 2E n l + E n l e+iφ], e escrto na forma: E n+1 l = E n l [ 1 + α ( x) 2 ( e Iφ 2 + e +Iφ)], que fnalmente pode ser escrto como: E n+1 l E n l = 1 + α [2cos(φ) 2] = G, ( x) 2 onde G é conhecdo como fator de amplfcação, pos é ele que controla a amplfcação ou atenuação de E.

16 Leandro Franco de Souza p. 16/1 Método de Von Neumann para Análse de Establdade Note que G depende de α/( x) 2, sendo, portanto, função dos parâmetros de dscretzação. Para que a ampltude dos erros (E) não amplfque a cada passo no tempo t, temos a condção: ou seja: G = En+1 l El n = 1 + α [2cos(φ) 2] 1, ( x) α [cos(φ) 1] 1, (2) ( x) α [cos(φ) 1] 1, (3) ( x) 2

17 Leandro Franco de Souza p. 17/1 Método de Von Neumann para Análse de Establdade onde a Eq. (2) é sempre satsfeta. Da Eq. (3) temos: que é verdade desde que: 1 4α ( x) 2 1, α ( x) Este últmo é o crtéro de establdade do método que utlza o método de Euler para dscretzação temporal e uma aproxmação por dferenças fntas de 2 a ordem no espaço para dscretzação espacal.

18 Leandro Franco de Souza p. 18/1 Convergênca do método O método acma analsado, que utlza método de Euler para dscretzação temporal e uma aproxmação por dferenças fntas de 2 a ordem no espaço para dscretzação espacal, é convergente desde que seja obedecdo o crtéro de establdade: pos ele é consstente e estável. α ( x)