PÊNDULO ELÁSTICO. Fig. 1. Considere o sistema da figura 1. Quando se suspende uma massa, m, na mola, o seu comprimento aumenta de l 0

Transcrição

1 PÊNDULO ELÁSTICO. Resuo U corpo lgado a ua ola é posto e ovento osclatóro. Deterna-se as característcas do ovento e estuda-se a conservação da energa ecânca.. Tópcos teórcos Y l 0 l Fg. F r el P r X Consdere o sstea da fgura. Quando se suspende ua assa,, na ola, o seu coprento auenta de l 0 para l. À grandeza l = l l0 dá-se o noe de alongaento da ola. Quando o corpo se encontra e equlíbro estátco, o seu peso é totalente copensado pela força elástca produzda pela ola, o que perte escrever a condção: g l =, () onde g é a aceleração da gravdade e a constante da ola. Esta equação estabelece ua proporconaldade drecta entre o alongaento sofrda pela ola e a assa do corpo que nela se suspende. Consdereos agora a stuação dnâca, sto é, a stuação e que o pêndulo elástco não se encontra e equlíbro (fg ).

2 Y l X F r el Fg. P r Nesta stuação o peso ( P r ) e a força elástca ( F r el ) não se anula entre s e as les da dnâca perte escrever: F = a () r F + P = a el onde a r é a aceleração adqurda pelo corpo. O desenvolvento dos cálculos perte deternar o alongaento da ola (deslocaento do corpo) relatvaente à posção de equlíbro estátco e função do tepo. No caso e que o pêndulo elástco é posto e ovento partndo do repouso e co u alongaento ncal 0, a le do ovento será: () t = 0 cos t (3) onde as grandezas (t) e 0 são eddas relatvaente à posção de equlíbro estátco defnda por (). Verfca-se que o ovento adqurdo pelo sstea é u ovento osclatóro caracterzado por ua frequênca angular própra de ω = e período: T = π (4) O período do ovento depende, desta fora, das característcas do pêndulo elástco, noeadaente da sua assa e da constante da ola. Ua fora alternatva de abordar o estudo do pêndulo elástco consste e verfcar que todas as forças que sobre ele actua (força elástca e força gravítca) são conservatvas. Ao consderar apenas estas forças coete-se, obvaente, a aproxação de desprezar as forças de atrto de frcção e de resstênca do ar que actua sobre o sstea. Nesta aproxação pode-se escrever:

3 te E p + Ep + Ec c (5) = g el quando o corpo se encontra nua posção genérca de alongaento. As grandezas E Pg, E Pel e E c tê, respectvaente, o sgnfcado de energa potencal gravítca, energa potencal elástca e energa cnétca. Defne-se a orge do referencal da fgura, ua vez as, na posção de equlíbro estátco dada pela equação (). Consdera-se anda que essa posção defne a orge da energa potencal gravítca. Nestas condções, pode-se escrever a conservação da energa ecânca na fora: A + va = B + vb. (6) Se, e partcular, o ponto A for o ponto de alongação áxa do pêndulo e o ponto B for o de passage pela posção de equlíbro estátco, tereos A = 0, v A = 0 e B = 0. Resulta então: 0 = v v = Esta equação estabelece ua dependênca drecta da velocdade de passage pela posção de equlíbro na apltude do ovento do pêndulo. (7) 3. Probleas propostos Pretende-se, neste trabalho experental: 3.. deternar a constante da ola; 3.. analsar o coportaento do período do ovento osclatóro e função da assa; 3.3. estudar a le de conservação da energa ecânca durante o ovento. 4. Materal Calha vertcal co ola ncorporada. Massas arcadas. Relógo electrónco. Detector fotoeléctrco. Régua graduada co cursores. Fos de lgação. 3

4 5. Procedento experental Tenha o cudado de anotar os erros de letura de escala assocados a todos os aparelhos de edda que usar. 5.. Deternação da constante da ola Marque na régua graduada a posção de equlíbro da ola na ausênca de assas Suspenda ua assa na ola e eça a nova posção de equlíbro Repta o procedento 0 vezes, auentando gradualente a assa suspensa (sugere-se que auente de 0 g e 0 g até 80 g), edndo, para cada valor da assa, a posção de equlíbro da ola. 5.. Estudo do ovento osclatóro do pêndulo Estudo do período do ovento Escolha ua assa para o pêndulo. Ponha o sstea e ovento, conferndo-lhe u certo alongaento e largando-o se velocdade ncal Meça 8 vezes o período do ovento se alterar as condções da experênca. Anote nua tabela adequada o alongaento ncal (que poderá ser de cerca de 0 c), a assa e os tepos eddos Repta para 5 assas dferentes (sugere-se que seja de 30 g e 30 g até perfazer 50 g) Estudo da conservação da energa ecânca 5... Escolha ua assa para o pêndulo (convé que seja grande para que o valor ncal da assa do pêndulo tenha pouco sgnfcado) e ponha-o e ovento nas condções de Deterne a velocdade de passage do pêndulo pela posção de equlíbro, edndo 8 vezes o tepo de passage da assa pelo detector fotoeléctrco. Anote nua tabela adequada a assa, o alongaento ncal e os tepos Repta a experênca 5 vezes auentando, e cada ua delas, a alongaento ncal de c (coece, por exeplo, por 6 c e prossga até 0 c). 6. Análse dos resultados obtdos 6.. Deternação da constante da ola Elabore u gráfco do alongaento sofrda pela ola e função da assa nela suspensa. 4

5 6... Deterne, a partr de ua regressão lnear dos resultados, a constante da ola. 6.. Estudo do ovento osclatóro do pêndulo Estudo do período do ovento Calcule o valor édo e o erro estatístco assocados às eddas do período do ovento Verfque a le de varação do período co a assa elaborando u gráfco de T e função de e ajustando-lhe ua lnha recta Estudo da conservação da energa ecânca Calcule os valores édos e os erros estatístcos assocados aos tepos referdos e 5... Deterne, a partr desses valores, as velocdades de passage da assa pela posção de equlíbro Elabore u gráfco da velocdade e função do alongaento ncal. Procure verfcar a le de conservação da energa ecânca ajustando ua lnha recta a este gráfco. 5

6 Apêndce Estudo do pêndulo elástco Y l 0 l Fg A. F r el P r X Consdere o sstea da fgura A.. Quando se suspende ua assa,, da ola, o seu coprento auenta de l 0 para l. À grandeza l = l l0 dá-se o noe de alongação da ola. Atendendo a que o corpo se encontra e equlíbro, as les da ecânca perte escrever: r F F F = 0 el el + P = 0 P = 0 (A.) já que a lnha de acção do peso, P r, e da força elástca, F r el, é a esa e segundo YY. Resulta, então, atendendo a Fel = l l0, (A.) P = g onde representa a constante da ola e g a aceleração gravítca: l - l0 = g l = g g l = Verfca-se por (A.3) que o alongaento é ua função lnear da assa do pêndulo. (A.3) Consdereos agora a stuação dnâca, sto é, a stuação e que o pêndulo elástco não se encontra e equlíbro (fg. A.). 6

7 Y l X F r el P r Fg. A. Nesta stuação o peso e a força elástca não se anula entre s e as les da dnâca perte escrever: F = a r Fel + P = a (A.4) g = a ( + l) + g = a já que o ovento ocorre apenas segundo YY e se consdera a orge deste exo na posção de equlíbro estátco, defnda pela equação (A.3). Atendendo anda a esta equação, pode-se escrever: = a d + = 0 d t d + = 0 d t (A.5) que é ua equação dferencal ordnára de ª orde, lnear, de coefcentes constantes e hoogénea. A sua solução é: () t t = c e + c t e (A.6) onde c e c são duas constantes de ntegração que deve ser deternadas pelas condções ncas do ovento do pêndulo. Ua vez que, nas experêncas a realzar, o pêndulo será posto e ovento a partr do repouso, conferndo-se-lhe ua certa alongação ncal, 0, as condções ncas são: ( 0) = 0 (A.7) v( 0) = 0 e perte calcular: c = c = 0 /. Resulta então: 7

8 () t = 0 cos t (A.8) onde as grandezas (t) e 0 são eddas relatvaente à posção de equlíbro estátco defnda por (A.3). Verfca-se que o ovento adqurdo pelo sstea é u ovento osclatóro caracterzado por ua frequênca angular própra de ω =. O período do ovento, T, será dado por: ou seja, ( t + T ) = ( t) 0 cos = t + T 0 cos t (A.9) T = π T = π (A.0) O período do ovento depende, desta fora, das característcas do pêndulo elástco, noeadaente da sua assa e da constante da ola. Ua fora alternatva de abordar o estudo do pêndulo elástco consste e verfcar que todas as forças que sobre ele actua (força elástca e força gravítca) são conservatvas. Ao consderar apenas estas forças coete-se, obvaente, a aproxação de desprezar as forças de atrto de frcção e de resstênca do ar que actua sobre o sstea. Nesta aproxação, e fazendo referênca à fgura A., pode-se escrever: E pg + E pel + E g + g + c = c te ( l + ) te ( l ) + v = c 8 + v = c te (A.) quando o corpo se encontra nua posção genérca de alongaento e E Pg, E Pel e E c tê o sgnfcado de energa potencal gravítca, energa potencal elástca e energa cnétca, respectvaente. Consdera-se que a orge do referencal da fgura A. se encontra, ua vez as, na posção de equlíbro estátco defnda pela equação (A.3). Consdera-se anda que essa posção defne a orge da energa potencal gravítca. Nestas condções, e fazendo uso novaente da equação (A.3), pode-se escrever a conservação da energa ecânca (soa da energa potencal co a energa cnétca) na fora: te ( l + ) + v = c. (A.)

9 O facto desta quantdade se anter constante ao longo de toda a trajectóra do corpo perte selecconar dos pontos dessa trajectóra, A e B, para os quas se pode escrever: ( l + ) + v = ( l + ) + v A A B B. (A.3) Se, e partcular, o ponto A for o ponto de alongaento áxo do pêndulo e o ponto B for o de passage pela posção de equlíbro estátco, tereos A = 0, v A = 0 e B = 0. Resulta então: 0 v = v B = B 0 (A.4) Esta equação estabelece ua dependênca drecta da velocdade de passage pela posção de equlíbro na apltude do ovento do pêndulo. 9