Departamento de Física Universidade do Algarve PÊNDULO SIMPLES

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1 Departamento de Física Universidade do lgarve PÊNDULO SIMPLES 1. Resumo Um pêndulo é largado de uma determinada altura, medindo-se a sua velocidade linear quando passa pela posição mais baixa. Este procedimento é repetido para diferentes alturas. Os dados assim obtidos são processados de modo a verificar a conservação da energia mecânica do sistema e a calcular o valor da aceleração gravítica.. Tópicos teóricos Considere-se um pêndulo simples. Se desenharmos o diagrama de forças (ver fig. 1) que lhe estão aplicadas, facilmente se observa que a resultante dessas forças não é constante no tempo. Basta para tanto reparar que se o peso se mantém constante, a tensão varia consoante a posição do pêndulo. Por este motivo, torna-se um pouco mais difícil recorrer ao formalismo newtoniano para descrever o movimento do pêndulo. ssim, este sistema é, muitas vezes, estudado com base no princípio da conservação da energia mecânica. B T r P r Fig. 1 Recorde-se que este princípio se traduz pela expressão: te E M = EC + EP = c (1) onde as variáveis têm o seguinte significado: PS - 1

2 lgarve Departamento de Física Universidade do E M energia mecânica E C energia cinética E P energia potencial Se aplicarmos (1) às posições mais alta () e mais baixa (B) de um pêndulo simples, é possível provar que: 1 mgh = mvb vb = gh () Deste modo, a expressão () relaciona a velocidade do pêndulo no ponto mais baixo com a altura máxima do mesmo, chegando-se a este resultado através apenas da conservação da energia mecânica do sistema. 3. Problemas propostos Pretende-se estudar o movimento de um pêndulo no sentido de: 3.1. verificar experimentalmente a conservação da energia mecânica; 3.. determinar o valor experimental da aceleração da gravidade. 4. Material Pêndulo simples composto por um fio e uma esfera opaca. Detector fotoeléctrico. Relógio electrónico. Régua graduada com cursores. Disparador mecânico. Craveira Bases e suportes. Fios de ligação. 5. Procedimento experimental Tenha o cuidado de anotar os erros de leitura de escala associados a todos os aparelhos de medida que usar. PS -

3 Departamento de Física Universidade do lgarve 5.1. Verifique a montagem experimental: 3 1 Legenda: 1. Régua graduada. Cursores 3. Pêndulo 4. Disparador mecânico 5. Detector fotoeléctrico 6. Relógio electrónico Fig. 5.. Meça com a craveira o diâmetro da esfera constituinte do pêndulo e anote o valor Fixe uma altura máxima para o pêndulo. Utilize os cursores da régua graduada para a medir. Tenha em atenção os erros sistemáticos que pode cometer nessa determinação Largue o pêndulo 10 vezes. De cada vez o relógio medirá automaticamente o tempo que a esfera demora a passar pelo detector fotoeléctrico Registe numa tabela, para a altura escolhida, os 10 valores obtidos para o tempo de passagem da esfera Fixe uma nova altura de queda (menor que a anterior) e repita os passos anteriores Proceda como indicado, realizando, pelo menos, 10 alturas diferentes. 6. nálise dos resultados obtidos 6.1. partir dos resultados obtidos calcule os valores médios e estime os erros estatísticos associados às medidas de tempo correspondentes a cada altura. note estes cálculos numa tabela. 6.. note numa outra tabela os valores de v, v e h (sem esquecer os erros associados a cada uma das grandezas). PS - 3

4 lgarve Departamento de Física Universidade do 6.3. Construa, a partir da tabela anterior, um gráfico de v em função de h. Represente também, se possível, as barras de erro associadas a cada ponto. Verifique a forma do gráfico obtido. Como relaciona estes resultados com a expressão ()? 6.4. Calcule o declive e a ordenada na origem da recta que melhor se ajusta aos pontos experimentais do gráfico anterior, utilizando o método dos mínimos quadrados Represente a recta obtida sobre o mesmo gráfico Estime o erro associado ao declive da recta e à ordenada na origem Calcule, a partir da regressão linear, o valor experimental da aceleração da gravidade Tendo em conta o erro associado ao declive da recta, determine o erro experimental associado à aceleração da gravidade. PS - 4

5 Departamento de Física Universidade do lgarve pêndice Estudo da conservação da energia mecânica de um pêndulo Se definirmos energia mecânica (E M ) como a soma da energia cinética (E C ) com a energia potencial (E P ), então, é possível dizer que a energia mecânica de um corpo se mantém constante, desde que sobre ele actuem apenas forças que não realizem trabalho ou cujo trabalho seja independente da trajectória do corpo 1. Concentremo-nos no pêndulo simples. Observe-se que sobre ele actuam duas forças: a tensão do fio e o peso. Se recordarmos que o trabalho realizado por uma força F r é dado pela expressão: W r r = F. ds (.1) onde ds r é o elemento infinitesimal da trajectória do corpo, facilmente se verifica que a tensão do fio não realiza trabalho, uma vez que é sempre perpendicular à trajectória. Quanto ao trabalho da força gravítica virá dado por: W r = mg h (.) Fg Tomando as variáveis o seguinte significado: m massa do pêndulo g aceleração da gravidade h variação na altura do pêndulo Ou seja, não depende da trajectória, mas apenas da posição inicial e final do corpo. De onde se conclui que o peso é uma força conservativa. Nestas condições, é possível afirmar que a energia mecânica de um pêndulo simples se mantém constante: te E M = EC + EP = c (.3) tente-se no facto de a energia cinética de um corpo se poder escrever sob a forma: 1 mv E C = (.4) onde v é a velocidade linear do corpo (neste caso, será a velocidade do pêndulo). E considere-se que a energia potencial é dada por: E = mgh P (.5) onde h é a altura do pêndulo. Substituindo (.4) e (.5) em (.3), obtém-se: 1 te mv + mgh = c (.6) 1 Às forças cujo trabalho não depende da trajectória do corpo ao qual estão aplicadas, dá-se o nome de forças conservativas. PS - 5

6 lgarve Departamento de Física Universidade do plique-se, então, o resultado (.6) às alturas máxima (à qual corresponde o índice ) e mínima (à qual corresponde o índice B) (ver fig..1): 1 1 mv + mgh = mvb + mghb (.7) B ds r T r F r g Fig..1 À direita da equação, em virtude da velocidade na altura máxima ser nula, desaparece o termo respeitante à energia cinética. À esquerda da equação, se a origem de eixos for colocada na posição mais baixa do pêndulo, desaparece o termo respeitante à energia potencial. ssim, é possível escrever: Ou seja: que é a expressão () do protocolo. 1 1 mgh = mvb gh = vb (.8) v = gh (.9) B PS - 6