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1 17/Abr/2015 Aula 14 Introdução à Física Quântica Radiação do corpo negro; níveis discretos de energia. Efeito foto-eléctrico: - descrições clássica e quântica - experimental. Efeito de Compton. 22/Abr/2015 Aula 15 Ondas de matéria; comprimento de onda de de Broglie. Quantificação do momento angular no modelo de Bohr. Difracção e interferência. Função de onda; representação matemática do pacote de ondas. 1

2 Aula anterior Introdução à Física Quântica A incapacidade da Física clássica em explicar certos fenómenos levou ao desenvolvimento de duas teorias que revolucionaram a Física no início do século XX: A Teoria da Relatividade de Einstein A Física Quântica Em particular, foi a impossibilidade de se conseguir explicar classicamente as 3 experiências seguintes radiação do corpo negro efeito foto-eléctrico efeito de Compton que levou ao desenvolvimento da Física Quântica. 2

3 Intensidade Aula anterior Radiação do corpo negro (cont.) Em 1900, Max Planck propôs a seguinte relação para a intensidade da radiação do corpo negro:, hc hc kt e -1 em que c é a velocidade da luz, k a constante de Boltzmann e h é a constante de Planck ( h = 6, Js ). Comprimento de onda Esta expressão já está de acordo com os resultados experimentais para toda a gama de comprimentos de onda. 3

4 Aula anterior Radiação do corpo negro (cont.) Considerações acerca das moléculas à superfície do corpo negro (Planck): As moléculas só podem radiar (emitir radiação) em níveis discretos de energia E n, com Fotão com energia h E n = n h sendo n um inteiro positivo (número quântico) e a frequência de vibração das moléculas. As moléculas emitem (e absorvem) energia em pacotes discretos chamados fotões, cuja energia é igual a h. Representação pictórica dos fotões ( pacotes de luz). Cada fotão possui uma energia discreta dada por h. 4

5 Aula anterior Efeito foto-eléctrico e descrição quântica Explicação do efeito foto-eléctrico (por Einstein) a partir do conceito de quantização (de Planck): A luz incidente propaga-se sob a forma de fotões. Cada fotão, ao incidir no metal, transmite toda a sua energia ( E = h ) a um electrão do metal. No entanto, o electrão necessita de ter uma energia superior a um dado valor (a função de trabalho) para escapar da superfície do metal. A energia cinética máxima ( E cin máx ) dos electrões libertados será então igual a E h - cin máx Fotão com energia h é da ordem de alguns electrões Volt e é característica de cada metal. 5

6 Aula anterior Efeito foto-eléctrico - experimental Observações experimentais : Ecin máx h - Graficamente, o declive da E cin máx em função da frequência da luz incidente é igual à constante de Planck, h, e a intersepção da curva com o eixo horizontal é igual à frequência mínima, a partir da qual se verifica o efeito foto-eléctrico: Experimentalmente, a E cinmáx varia linearmente com a frequência da luz incidente c h Fotões com frequência inferior a c não têm energia suficiente para arrancar electrões ao metal. c c c hc Comprimentos de onda maiores do que c incidindo num metal com função de trabalho não conseguem arrancar electrões ao metal. 6

7 Aula anterior Efeito de Compton A difracção de raios X por electrões (efeito de Compton) não é explicável classicamente. Raios X ( 0 = 0,071nm) incidem num alvo de grafite. Os raios X são difractados pela grafite e são detectados por um espectrómetro de comprimento de onda que pode rodar em torno do alvo ( os vários dos raios X difractados podem ser medidos para vários ângulos de difracção). O cristal mostrado na figura vai separar angularmente os raios X difractados, proporcionalmente ao seu comprimento de onda. A câmara de ionização permite medir a intensidade dos raios X em função do ângulo. Diagrama de um dispositivo para estudar o efeito de Compton. 7

8 Aula anterior Explicação do efeito de Compton a partir do conceito de quantização: Cada fotão é tratado como uma partícula livre, de energia E = h = h c/, e massa nula, que colide com um electrão inicialmente em repouso. Aplicando a conservação da energia tem-se: em que E e é a energia do electrão difractado. h c h c E 0 ' e Usando a conservação do momento (para ambas as componentes x e y ), notando que a velocidade do electrão << c ( sem correcções relativistas) e sabendo que p = E /c = h / para os fotões e p = m v para os electrões, tem-se: componente segundo x : componente segundo y : h / 0 = h / cos + m v cos 0 = h/ sen - m v sen 8

9 Aula anterior Efeito de Compton (cont.) Eliminando v e das (3) equações anteriores, obtém-se uma expressão que relaciona as 3 variáveis restantes (, 0 e ) : ' - h 0 1- cos mc e em que m e é a massa do electrão e h/ m e c é o chamado comprimento de onda de Compton do electrão. Esta equação (eq. de difracção de Compton) já prevê a variação no comprimento de onda dos raios X difractados por electrões livres observado experimentalmente. 9

10 Ondas de matéria Radiação do corpo negro Efeito foto-eléctrico Efeito de Compton Explicações não-clássicas baseadas no carácter corpuscular da luz. Fotões (sem massa em repouso) com energia E = h e momento P = E / c = h /c = h /. Luz : onda ou partícula? Postulado de Louis de Broglie: Como os fotões têm características de onda, talvez todas as formas de matéria tenham também propriedades de onda e partícula. 10

11 Ondas de matéria (cont.) Se um fotão, cuja massa em repouso é nula, tem um momento linear p = h/, então para qualquer partícula com momento p também se verifica p = h /, ou seja, tem associada uma onda com comprimento de onda igual a h / p. O comprimento de onda de de Broglie para uma partícula é então: h p h mv Sendo E = h, a frequência das ondas de matéria é dada por: E h Ondas de matéria 11

12 Determine o comprimento de onda de de Broglie para: a) um electrão que se move com velocidade ms -1 ; b) um protão à mesma velocidade. e 31 m 9,11.10 kg p 27 m 1,67.10 kg h p h mv a) e 34 h 6,63.10 J s 11 7,28.10 m m v 9,11.10 kg 1.10 m s Este comprimento de onda corresponde ao dos raios-x b) p 34 h 6,63.10 J s m v 1,67.10 kg 1.10 m s ,97.10 m 12

13 Uma rocha de 50 g é atirada com uma velocidade de 40 ms -1. Determine o seu comprimento de onda de de Broglie. h p h mv 34 h 6,63.10 J s mv kg 40 m s ,32.10 m As propriedades ondulatórias dos objectos macroscópicos não podem ser observadas. 13

14 Quantificação do momento angular no modelo de Bohr Modelo de Bohr Electrões com órbitas específicas. Podem ser vistos como ondas estacionárias nessas órbitas. 14

15 Quantização do momento angular no modelo de Bohr (cont.) Ondas estacionárias a) comprimentos de onda associados a um electrão numa órbita atómica estável b) comprimentos de onda numa corda esticada. 15

16 Quantização do momento angular no modelo de Bohr (cont.) Uma corda de guitarra (em regime estacionário) só vibra sob a forma de ondas estacionárias com nodos em cada extremidade. Pode-se aplicar o mesmo raciocínio às ondas de matéria electrónicas formando uma circunferência em torno do núcleo: os electrões só podem existir em órbitas que correspondam a um número inteiro de comprimentos de onda em torno do núcleo. Então, deve-se verificar a condição n = 2 r, em que r é o raio da órbita, é o comp. de onda de de Broglie do electrão e n = 1, 2, 3 Substituindo = h / m v na equação acima, teremos n h/ m v = 2 r. mv r nh 2 Postulado de Bohr para a quantização do momento angular. 16

17 Difracção e interferência de ondas Se as ondas se comportam como partículas e as partículas como ondas, o que acontecerá se um feixe de electrões passar por duas fendas paralelas? a) Difracção da luz (experiência de Young) b) Padrão de riscas obtido a) Interferência construtiva em P (em fase) b) Interferência construtiva (em fase) c) Interferência destrutiva (diferença de fase = 180º) 17

18 Difracção e interferência de ondas (cont.) Interferência construtiva (as duas ondas em fase). Interferência destrutiva (diferença de fase = 180º). 18

19 Difracção e interferência de partículas Padrões de interferência obtidos com electrões: Electrões Detector de electrões Número de electrões detectados por minuto A intensidade máxima obtém-se quando a diferença de caminhos é igual a zero ou múltiplos de um comprimento de onda: D sin = n Os mínimos de intensidade ocorrem quando a diferença de caminhos é igual a múltiplos de metade de um comprimento de onda: D sin = /2, 3/2, 5/2 19

20 Difracção e interferência de partículas (cont.) (a), (b) e (c) são simulações por computador de padrões de interferência para electrões. (d) é uma fotografia dum padrão de interferência obtido para uma fenda dupla. Os electrões são detectados como partículas num ponto localizado num determinado instante. Mas a probabilidade de um electrão chegar a esse ponto é determinada pela intensidade (da interferência) das duas ondas de matéria. 20

21 Difracção e interferência de partículas (cont.) Padrão de interferência com cada uma das fendas (1) e (2) tapadas alternadamente: Se se fechar a fenda 1, permitindo que os electrões passem apenas pela fenda 2, obtém-se a curva de cima no alvo. Se se fechar a fenda 2, obtém-se a curva de baixo. Contagem por minuto 21

22 Difracção e interferência de ondas 22

23 Difracção e interferência de partículas 23

24 Difracção e interferência de partículas (cont.) Padrão de interferência com ambas as fendas abertas : Com ambas as fendas abertas, obtém-se o padrão de interferências anterior: A curva azul no lado direito representa o nº acumulado de contagens por unidade de tempo quando cada uma das fendas está fechada metade do tempo. Contagem por minuto Contagem acumulada por minuto A curva vermelha representa o padrão de interferência com ambas as fendas abertas simultaneamente. 24

25 Função de onda Se o número de electrões for suficientemente pequeno, obtém-se também um padrão de interferências. Esta descrição obriga a recorrer a uma interpretação ondulatória do electrão. Assim, admitamos que a partícula pode ser representada por uma função de onda (que pode ser complexa). Admitamos também que o perfil de intensidade do padrão de interferências (o número de electrões detectados por unidade de tempo) pode ser representado pelo quadrado do módulo desta função de onda 2. 25

26 Função de onda (cont.) Se a fenda 1 estiver aberta (e 2 fechada), então a função de onda dos electrões que passam por 1 será 1 e, portanto, o seu perfil de intensidade será 1 2. Se a fenda 2 estiver aberta (com 1 fechada), 2 representa a função de onda dos electrões que passam por 2 e 2 2 representa o seu perfil de intensidade. Contagem por minuto Se a fenda 1 estiver aberta metade do tempo (com 2 fechada) e a fenda 2 estiver aberta também metade do tempo (com 1 fechada), então o perfil de intensidade será dado por:

27 Se ambas as fendas estiverem abertas simultaneamente, as funções de onda dos electrões sobrepõem-se. A função de onda combinada será igual a O perfil de intensidade é dado por Função de onda (cont.) = ( 1. 2 ) Isto é diferente da situação em que cada fenda está aberta metade do tempo ( ). O termo 2 ( 1. 2 ) é o termo de interferência. Se as funções de onda forem complexas, então 1 2 = 1 1 *, em que 1 * é o complexo conjugado de 1. Contagem por minuto Contagem acumulada por minuto 27

28 Função de onda (cont.) A função de onda de uma partícula não representa uma quantidade física, com significado físico. Estas funções de onda são interpretações matemáticas de fenómenos que se verificam até experimentalmente. No entanto, o quadrado da função de onda já tem significado físico: representa a probabilidade de uma partícula ser detectada num dado ponto particular (por ex, a distribuição de intensidades num alvo). 28

29 Representação matemática do pacote de ondas As partículas comportam-se como ondas e as ondas como partículas. Fotão com energia h Para representar uma onda/partícula é necessário uma representação matemática. A função de onda de uma partícula tem de ter propriedades de onda e, simultaneamente, ser localizada no espaço. Representação pacote de ondas de uma partícula. 29

30 Representação matemática do pacote de ondas (cont.) A soma de duas ondas com frequências ligeiramente diferentes pode produzir uma estrutura repetida em pacotes de onda. Pacotes de ondas (simulação) A soma de muitas destas ondas pode produzir um pacote de ondas isolado. 30

31 Representação matemática do pacote de ondas (cont.) Um grupo de ondas isolado é o resultado da sobreposição de um número infinito de ondas com comprimentos de onda diferentes. Por exemplo, para um dado tempo fixo (ou seja, com o factor tempo retirado), o grupo de ondas como função do espaço (x) pode ser representado por 2 x 2 x 2 x a0 sen a1 sen a2 sen

32 Representação matemática do pacote de ondas (cont.) ou a sen k x a sen k x a sen k x em que k = 2 / é o número de onda e a i são constantes. Em geral, o grupo de ondas pode ser expresso em termos do integral de Fourier: x a k sen k x dk 0 Pacote de ondas 32

33 Representação matemática do pacote de ondas (cont.) A representação matemática de uma partícula é dada por uma função de onda. Por exemplo, (x) = 0 a(k) sen kx dk representa um pacote de ondas. A função de onda não tem um significado físico directo mas o módulo do quadrado da função de onda sim. A probabilidade de, experimentalmente, encontrar uma partícula descrita pela função no ponto de coordenadas (x, y, z) é igual a 2. Por exemplo, se 2 for igual a zero para um certo valor de (x, y, z), então a probabilidade de encontar a partícula nesse ponto é nula. 2 é a densidade de probabilidade. 33

34 Representação matemática do pacote de ondas (cont.) Condição de normalização Consideremos um sistema uni-dimensional que não varia com o tempo (a partícula está localizada algures no eixo x ); a probabilidade total (a soma das probabilidades) de encontrar a partícula no eixo x vai ser, obviamente, igual a dx 1 Condição de normalização Pacote de ondas 34

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