Física IV. Difração. Sears capítulo 36. Prof. Nelson Luiz Reyes Marques. Capítulo 36 Difração

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1 Física IV Difração Sears capítulo 36 Prof. Nelson Luiz Reyes Marques

2 Difração e a Teoria Ondulatória da Luz

3 Difração e a Teoria Ondulatória da Luz A difração é um fenômeno essencialmente ondulatório, ou seja, acontece apenas porque a luz é uma onda e é observado também em outros tipos de onda. A difração pode ser definida, sem muito rigor, como o alargamento sofrido por um feixe luminoso ao passar por uma fenda estreita. Algo mais acontece, porém, já que a difração, além de alargar um feixe luminoso, produz uma série de franjas claras e escuras que constituem a chamada figura de difração.

4 Difração e a Teoria Ondulatória da Luz

5 Difração e a Teoria Ondulatória da Luz

6 Difração e a Teoria Ondulatória da Luz

7 Difração e a Teoria Ondulatória da Luz Todos os pontos de uma frente de onda se comportam como fontes pontuais para ondas secundárias.

8 Difração por uma Fenda

9 Difração por uma Fenda

10 Princípio de Huygens-Fresnel Huygens: (...) cada partícula do meio através do qual a onda evolui não só transmite o seu movimento à partícula seguinte, ao, longo da reta que parte do ponto luminoso, mas também a todas as partículas que a rodeiam e que se opõem ao movimento. O resultado é uma onda em torno de cada partícula e que a tem como centro. Fresnel: As componentes da onda em direções fora da direção de propagação sofrem interferência destrutiva, gerando outra frente de onda que segue o padrão anterior.

11 Princípio de Huygens-Fresnel A fonte e a tela estão relativamente próximas do obstáculo que produz a difração.

12 Princípio de Huygens-Fresnel

13 Difração Fraunhofer A distância entre a fonte, o obstáculo e a tela são suficientemente grandes para que todas as retas que ligam pontos do obstáculo com pontos da tela possam ser considerados paralelos. As ondas luminosas são desviadas ao passarem pela superfície de uma esfera, produzindo um ponto claro no centro da sombra da esfera, conhecido como Ponto Claro de Fresnel.

14 Difração Fraunhofer Raios paralelos provenientes de uma fonte de luz coerente (no plano focal obj. de uma lente convergente)

15 Difração Fraunhofer

16 Difração por uma Fenda: Posições dos Mínimos Em primeiro lugar, dividimos mentalmente a fenda em duas regiões de mesma largura a/2. Em seguida, estendemos até P 1 um raio luminoso r 1 proveniente da extremidade superior da região de cima e um raio luminoso r 2 proveniente da extremidade superior da região de baixo. Para que haja interferência destrutiva no ponto P 1, devemos ter

17 Difração por uma Fenda: Posições dos Mínimos

18 Difração por uma Fenda: Posições dos Mínimos Em primeiro lugar, dividimos mentalmente a fenda em duas regiões de mesma largura a/2. Em seguida, estendemos até P 1 um raio luminoso r 1 proveniente da extremidade superior da região de cima e um raio luminoso r 2 proveniente da extremidade superior da região de baixo. Para que haja interferência destrutiva no ponto P 1, devemos ter

19 Difração por uma Fenda: Posições dos Mínimos A posição da segunda franja escura pode ser determinada da mesma forma, exceto pelo fato de que, agora, dividimos a fenda em quatro regiões de mesma largura

20 Difração por uma Fenda: Posições dos Mínimos No caso geral,

21 Difração por uma Fenda: Posições dos Mínimos

22 Exemplo 36.1 Difração de fenda simples Você faz um feixe de luz laser de 633 nm incidir sobre uma fenda estrita e observa a figura de difração sobre uma tela situada a uma distância de 6,0 m. Você verifica que é de 32 mm a distância entre o centro do primeiro mínimo central e o centro do primeiro mínimo abaixo do máximo central. Qual a largura da fenda? Neste caso, a distância entre os pontos sobre a tela é muito menor do que a distância entre a tela e a fenda, de modo que o ângulo mostrado na FIGURA 36.5a é muito pequeno. Logo, podemos usar a relação aproximada fornecida pela equação encontrar a largura da fenda. y m = x m a para

23 Exemplo 36.1 Difração de fenda simples O primeiro mínimo corresponde a m=1. A distância y 1 entre o máximo central e o primeiro mínimo é igual à metade da distância entre os dois primeiros mínimos, logo, y 1 = (32 mm)/2. y m = x m a x a = = y 1 a= 2, m = 0,24 mm 6,

24 Exemplo: Figura de Difração de uma Fenda Iluminada com Luz Branca

25 Exemplo: Figura de Difração de uma Fenda Iluminada com Luz Branca

26 Exemplo: Figura de Difração de uma Fenda Iluminada com Luz Branca

27 Exemplo: Figura de Difração de uma Fenda Iluminada com Luz Branca

28 Exemplo: Figura de Difração de uma Fenda Iluminada com Luz Branca

29 Verificação Produzimos uma figura de difração em uma tela iluminando uma fenda longa e estreita com luz azul. A figura se dilata (os máximos e mínimos se afastam do centro) ou se contrai (os máximos e mínimos se aproximam do centro) quando (a) substituímos a luz azul por uma luz amarela ou (b) diminuímos a largura da fenda?

30 Verificação The Optics project: (a)

31 Verificação The Optics project: (a)

32 Verificação The Optics project: (b)

33 Verificação The Optics project: (b)

34 Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda: Método Quantitativo Intensidade relativa da figura de difração de uma fenda para três valores da razão a/λ. Quanto maior é a fenda, mais estreito é o máximo central.

35 Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda: Método Quantitativo

36 Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda: Método Quantitativo As intensidades são dadas por: I = I 0 sen (β/2) β/2 onde β 2 = πa senθ Os mínimos são dados por mπ = πa senθ β 2 para m = 1, 2, 3, = mπ para m = 1, 2, 3, 2 asenθ = m para m = 1,2, 3, (mínimos; franjas escuras)

37 Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda: Método Quantitativo Figura Diagrama de fasores para determinar a amplitude do campo resultante E na difração da fenda única. Cada fasor representa o campo E de uma única faixa no interior da fenda.

38 Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda: Método Quantitativo Figura Diagrama de fasores para determinar a amplitude do campo resultante E na difração da fenda única. Cada fasor representa o campo E de uma única faixa no interior da fenda.

39 Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda: Método Quantitativo sen 1 2 β = E P 2R β = E 0 R E P = E 0 1 sen 1 2 β 2 β I I 0 = E2 E 0 2 I = I 0 sen (β/2) β/2 2 Fenda única

40 Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda: Método Quantitativo Do capitulo anterior, a diferença de fase é dada por: = 2π (r 2 r 1 ) Da figura, a diferença de caminho entre o raio proveniente do topo da fenda e o raio que sai do meio da fenda é dada por: r 2 r 1 = a 2 senθ = 2π r 2 r 1 = π a senθ A diferença de caminho entre o raio proveniente do topo da fenda e o raio que sai da extremidade inferior da fenda é igual ao dobro desse valor β = 2π asenθ

41 Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda: Método Quantitativo Fenda única sen (β/2) I = I 0 β/2 β = 2π asenθ 2

42 Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda: Método Quantitativo As franjas escuras da figura de difração correspondem a I = 0. Esses pontos correspondem quando o numerador da equação I = I 0 sen (β/2) β/2 Pela equação 2 a senθ é zero, ou seja, é múltiplo de 2. β = 2π asenθ, essa condição corresponde a = m (m = ±1, ±2,...) senθ = m a (m = ±1, ±2,...)

43 Verificação Dois comprimentos de onda, 650 e 430 nm, são usados separadamente em um experimento de difração por uma fenda. A figura mostra os resultados na forma de gráficos da intensidade I em função do ângulo q para as duas figuras de difração. Se os dois comprimentos de onda forem usados simultaneamente, que cor será vista na figura de difração resultante (a) para o ângulo A e (b) para o ângulo B? I 0 A B

44 Verificação Lembrando: a senθ = m, m = 1, 2, 3, (min. franja ecuras) Portanto: I =650nm =430nm 0 só vermelho A B só azul

45 Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda: Método Quantitativo sen (β/2) I = I 0 β/2 β = 2π asenθ 2

46 Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda: Método Quantitativo

47 Exemplo 36.2 Intensidade I a) Em uma figura de difração da fenda única, qual é a intensidade em um ponto onde a diferença de fase total entre as ondas secundárias provenientes do topo da parte superior da fenda é igual a 66 rad? β = 66 rad, β 2 I = I 0 sen (β/2) β/2 = 33 rad 2 = I 0 sen(33rad) 33rad b) Se esse ponto está 7º afastado do máximo central, quantos comprimentos de ondas de largura tem a fenda? 2 = 9, I 0 β = 2π asenθ a = β 2πsemθ = (66 rad)λ 2π rad sen 7 = 86

48 Exemplo 36.3 Intensidade II Na experiência descrita no exemplo 36.1, qual é a intensidade em um ponto sobre a tela a uma distancia de 3 mm do centro da figura de difração? A intensidade no centro é igual a I 0. tgθ = y x = = , logo senθ = tagθ = θ = rad Do exemplo 36.1, a= 2, m = 0,24 mm e = 633 nm I = I 0 sen πa(senθ)/λ πa(senθ)/λ 2 I = I 0 sen π. 2, ( )/ π. 2, ( )/ I = I 0 sen 0,60 0,60 2 = 089I 0

49 Exemplo: Intensidades dos Máximos da Figura de Difração de uma Fenda

50 Exemplo: Intensidades dos Máximos da Figura de Difração de uma Fenda

51 Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda: Método Qualitativo

52 Difração por uma abertura circular d Importante: aberturas sistemas ópticos Primeiro mínimo: Disco de Airy (círculo central)

53 Difração por uma abertura circular Critério de resolução de Rayleigh A mínima separação angular possível de ser resolvida ou o limite angular de resolução é: máximo do disco de Airy de uma das fontes coincide com o primeiro mínimo do padrão de difração da outra fonte. Como ângulos são pequenos:

54 Difração por uma abertura circular Critério de resolução de Rayleigh Maior aproximação Difícil separação

55 Difração por uma abertura circular Critério de resolução de Rayleigh

56 Difração por uma abertura circular Verificação Suponha que você mal consiga resolver dois pontos vermelhos por causa da difração na pupila do olho. Se a iluminação ambiente aumentar, fazendo a pupila diminuir de diâmetro, será mais fácil ou mais difícil distinguir os pontos? Considere apenas o efeito da difração. Lembrando: Portanto diminuindo d ficaria mais difícil resolver as duas fontes.

57 Exercício 1. Pinturas Pontilhistas e a Difração da Pupila O pintor neoimpressionista Georges Seurat (final do século XIX) pertencia à escola do pontilhismo. Suas obras consistiam em um enorme número de pequenos pontos igualmente espaçados (aprox. 2,54 mm) de pigmento puro. A ilusão da mistura de cores é produzida somente nos olhos do observador. A que distância mínima de uma pintura como esta deveria o observador estar para observar a mistura desejada de cores? Le Pont de Courbevoie

58 Exercício 1. Pinturas Pontilhistas e a Difração da Pupila O diâmetro da pupila humana varia com certeza, mas tomando uma média para situação de claridade, como sendo de aproximadamente 2 mm, para um comprimento de onda de 550 nm: Onde l é 2,54mm, a distância entre os pigmentos, e d a distância do observador, portanto:

59 Exercício 2. Pinturas Pontilhistas e a Difração da Pupila

60 Exercício 2. Pinturas Pontilhistas e a Difração da Pupila

61 Exercício 2. Pinturas Pontilhistas e a Difração da Pupila

62 Exercício 2. Pinturas Pontilhistas e a Difração da Pupila

63 Exercício 2. Pinturas Pontilhistas e a Difração da Pupila

64 Exercício 2. Pinturas Pontilhistas e a Difração da Pupila

65 Exercício 2. Pinturas Pontilhistas e a Difração da Pupila

66 Exercício 3. O Critério de Rayleigh para Resolver Dois Objetos Distantes

67 Exercício 3. O Critério de Rayleigh para Resolver Dois Objetos Distantes

68 Exercício 3. O Critério de Rayleigh para Resolver Dois Objetos Distantes

69 Exercício 3. O Critério de Rayleigh para Resolver Dois Objetos Distantes

70 Difração por Duas Fendas onda incidente

71 Difração por Duas Fendas Distribuição de Intensidade: Difração Fenda Única + Interferência =

72 Difração por Duas Fendas Distribuição de Intensidade: Difração Fenda Única + Interferência i. ii. I = I 0 cos 2 2 I = I 0 sen (β/2) β/2 intesidade na interferência de duas fontes 2 intesidade da diofração de fenda única

73 Difração por Duas Fendas Distribuição de Intensidade: Difração Fenda Única + Interferência A intensidade é proporcional ao produto de i e ii em que: I = I 0 cos 2 2 sen (β/2) β/2 (duas fendas com larguras finitas) φ 2 = πd λ senθ e β 2 = πa λ senθ 2

74 Redes de Difração

75 Redes de Difração

76 Redes de Difração Diferença de caminho entre dois raios de fendas adjacentes (mesmo procedimento adotado para interf. em fenda dupla): d sen m ( m 0, 1, 2,...) m = 0 (máximo central): é o mesmo para todos os comprimentos de onda.

77 Redes de Difração

78 Difração de raios-x R-x 1 Å

79 Difração de raios-x R-x 1 Å Tubo de raios-x Colimador Cristal Raios-x Filme fotográfico

80 Difração de raios-x Fenômeno de espalhamento da radiação eletromagnética, provocada pela interação entre o feixe de raios-x incidente e os elétrons dos átomos componentes de um material. Raios X Feixe difratado Feixe atravessa o cristal

81 Difração de raios-x: lei de Bragg (1913) Feixe incidente Feixe refletido Plano superior Plano inferior (lei de Bragg)

82 Difração de raios-x: lei de Bragg λ θ d d d senθ θ d senθ Parâmetro experimental: - Comprimento de onda da radiação ( 1.54 A) m = 2 d sen( ) Diferença dos caminhos e/ raios Parâmetros da amostra: d - distância entre planos atômicos - orientação desses planos em relação ao feixe, ângulo de Bragg m - ordem de difração (numero inteiro 1,2,3)

83 Difração de raios-x: lei de Bragg Quem cumpre essas condições? Material Materiais cristalinos (rede cristalina) d = 5 15 Å Radiação Incidente Raios X λ 1 Å

84 Difração de raios-x: lei de Bragg (a) A estrutura cúbica do NaCl, mostrando os íons de sódio e cloro e uma célula unitária (sombreada). (b) Os raios X incidentes são difratados pelo cristal representado em (a). Os raios X são difratados como se fossem refletidos por uma família de planos paralelos, com o ângulo de reflexão igual ao ângulo de incidência, ambos medidos em relação aos planos (e não em relação à normal, como na ótica). (c) A diferença de percurso dos raios refletidos por planos vizinhos é 2d sen θ.

85 Exercício Raios-X de comprimento de onda de 0,12 nm sofrem reflexão de segunda ordem em um cristal de fluoreto de lítio para um ângulo de Bragg de 28 o. Qual é a distância interplanar dos planos cristalinos responsáveis pela reflexão?

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