EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO

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1 FÍSICA PARA ENGENHARIA ELÉTRICA José Fernando Fragalli Departamento de Física Udesc/Joinville EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO Near the end of this decade, when they begin enumerating the names of the people who had the greatest impact on the 0th century, the name of John Bardeen, who died last week, has to be near, or perhaps even arguably at, the top of the list... Mr. [sic] Bardeen shared two Nobel Prizes and won numerous other honors. But what greater honor can there be when each of us can look all around us and everywhere see the reminders of a man whose genius has made our lives longer, healthier and better. Editorial do Chicago Tribune em 0/0/1991.

2 1. Introdução. Conceitos de Relatividade. Radiação de Corpo Negro 4. Propriedades Corpusculares da Radiação 5. Propriedades Ondulatórias da Matéria 6. Conceitos de Mecânica Quântica 7. Modelos Atômicos 8. Átomos de Muitos Elétrons e Moléculas 9. Introdução à Física do Estado Sólido

3 1. Introdução. Conceitos de Relatividade. Radiação de Corpo Negro 4. Propriedades Corpusculares da Radiação 5. Propriedades Ondulatórias da Matéria 6. Conceitos de Mecânica Quântica 7. Modelos Atômicos 8. Átomos de Muitos Elétrons e Moléculas 9. Introdução à Física do Estado Sólido

4 Exercícios da Lista 1. CONCEITOS DE RELATIVIDADE 1. Uma barra de 1,00 m é projetada ao espaço com velocidade tão grande que seu comprimento aos olhos de um observador na Terra parece contraído para apenas 0,500 m. Determine a velocidade de percurso desta barra. Trata-se de analisar o comportamento cinemático da barra que se move com uma velocidade elevada. Para todos os efeitos, um observador solidário à barra está em repouso em relação à ela. Por sua vez, um observador na Terra desloca-se com a velocidade que queremos determinar em relação à barra lançada ao espaço.

5 Exercícios da Lista 1. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Para resolver este problema, usamos a fórmula que relaciona os comprimentos medidos em dois referenciais que estão a velocidades diferentes. Como visto em sala de aula, a relação entre os comprimentos medidos por um referencial S que se move com velocidade V em relação a um referencial S em repouso é V L L 1 S ' S c L γ S

6 Exercícios da Lista 1. CONCEITOS DE RELATIVIDADE É importante ter clareza aqui que neste problema S é o observador na Terra e S o observado solidário à barra. Assim, temos que L 0, 500 S ' m L 1, 00 S m Assim, temos que V 0,500 1,00 1 c 1,00 γ γ,00

7 Exercícios da Lista 1. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Com o valor de γ determinado, é possível calcular a velocidade com que se move a barra. γ 1 V 1 c Assim, temos que LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS,00 Assim, temos que V 0, 50 c 1 V 0, 867c V c 0,750

8 Exercícios da Lista 1. CONCEITOS DE RELATIVIDADE. Um foguete possui na Terra um comprimento de 100 m. Quando está voando o seu comprimento é de 99,0 m para um observador situado na Terra. Determine o valor de sua velocidade. Trata-se, como no problema anterior, de analisar o comportamento cinemático do avião que se move com uma velocidade elevada. Para todos os efeitos, um observador solidário ao avião está em repouso em relação à ele. Por sua vez, um observador na Terra desloca-se com a velocidade que queremos determinar em relação ao avião.

9 Exercícios da Lista 1. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Para resolver este problema, usamos a fórmula que relaciona os comprimentos medidos em dois referenciais que estão a velocidades diferentes. Como visto em sala de aula, a relação entre os comprimentos medidos por um referencial S que se move com velocidade V em relação a um referencial S em repouso é V L L 1 S ' S c L γ S

10 Exercícios da Lista 1. CONCEITOS DE RELATIVIDADE É importante ter clareza aqui que neste problema S é o observador na Terra e S o observado solidário ao avião. Assim, temos que L 99, 0 S ' m L 100 S m Assim, temos que V 99, c 100 γ γ 1,01

11 Exercícios da Lista 1. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Com o valor de γ determinado, é possível calcular a velocidade com que se move a barra. γ 1 V 1 c Assim, temos que LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1,01 Assim, temos que V 0, 980 c 1 V 0, 141c V c 0,0199

12 Exercícios da Lista 1. CONCEITOS DE RELATIVIDADE. Um foguete deixa a Terra com uma velocidade de 0,980c. Um observador situado na Terra mede o tempo que o ponteiro dos minutos de um relógio da nave leva para efetuar uma revolução completa. Determine o valor deste tempo. Trata-se, como no problema anterior, de analisar o comportamento cinemático do avião que se move com uma velocidade elevada. Para todos os efeitos, um observador solidário ao foguete está em repouso em relação à ele. Por sua vez, um observador na Terra desloca-se com a velocidade de 0,980c.

13 Exercícios da Lista 1. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Neste caso, queremos determinar o tempo medido por um observador na Terra após o observador no foguete ter observado que o relógio marcou a passagem de 1 hora (uma revolução completa no ponteiro dos minutos). Como visto em sala de aula, a relação entre os tempos medidos por um referencial S que se move com velocidade V em relação a um referencial S em repouso é t S ' γ t S 1 1 V c t S

14 Exercícios da Lista 1. CONCEITOS DE RELATIVIDADE É importante ter clareza aqui que neste problema S é o observador na Terra e S o observado solidário ao avião. Assim, temos que t 1, 00 S hora V 0, 980c Assim, temos que γ 1 V 1 c 1 1 0,980 c c γ 5,0

15 Exercícios da Lista 1. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Com o valor de γ determinado, é possível calcular o tempo que o observador em S (na Terra) mede no relógio do foguete. Assim, temos que t S ' γ t S 5,01,00 t 5, 0 S ' horas

16 Exercícios da Lista 1. CONCEITOS DE RELATIVIDADE 4. Um avião faz a volta em torno da Terra com uma velocidade de 00 m/s. Determine o número de anos antes que um relógio no avião e outro na Terra difiram de 1,00 s. Neste caso trata-se de analisar o comportamento cinemático de um relógio dentro de um avião viajando a 00 m/s com outro na Terra. Fazemos a suposição que antes do avião decolar o relógio na Terra e aquele no avião foram sincronizados. Também neste caso um observador solidário ao avião está em repouso em relação a ele.

17 Exercícios da Lista 1. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Também aqui um observador na Terra desloca-se com a velocidade de 00 m/s em relação ao avião. Para resolver este problema, usamos a fórmula que relaciona os tempos medidos em dois referenciais que estão a velocidades diferentes. Como visto em sala de aula, a relação entre os tempos medidos por um referencial S que se move com velocidade V em relação a um referencial S em repouso é t LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS S ' γ t S 1 V 1 c t S

18 Exercícios da Lista 1. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Como o relógio na Terra viaja a 00 m/s em relação ao relógio no avião, então o tempo se dilatará para o observador na Terra, tal que t 1 T t A 00 1, t T t A t T t A Em 1 ANO (1 ANO, s), os dois relógios vão diferir de Assim, para que a diferença entre eles seja de 1,00 s, o número de anos deve ser igual a

19 Exercícios da Lista 1. CONCEITOS DE RELATIVIDADE 5. Um homem deixa a Terra em um foguete que faz uma viagem de ida e volta à estrela mais próxima distante 4,00 anosluz com uma velocidade de 0,900c. No seu retorno determine o tempo que ele é mais jovem do que seu irmão gêmeo que permaneceu na Terra. Neste caso trata-se de analisar o comportamento cinemático do irmão gêmeo que viaja ao espaço com velocidade 0,900c comparando sua idade com a do irmão gêmeo que fica na Terra. Fazemos a suposição que antes do foguete decolar os dois irmãos gêmeos tenham a mesma idade.

20 Exercícios da Lista 1. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Neste caso o irmão gêmeo solidário ao foguete está em repouso em relação a ele. Por outro lado, o irmão gêmeo que ficou na Terra desloca-se com a velocidade de 0,900c em relação ao seu irmão que viaja no foguete. Para resolver este problema, usamos a fórmula que relaciona os tempos medidos em dois referenciais que estão a velocidades diferentes. Como visto em sala de aula, a relação entre os tempos medidos por um referencial S que se move com velocidade V em relação a um referencial S em repouso é

21 Exercícios da Lista 1. CONCEITOS DE RELATIVIDADE t S ' γ t S 1 V 1 c t S Como o irmão gêmeo que fica na Terra viaja a 0,900c em relação ao irmão que está no foguete, então o tempo se dilatará para o irmão gêmeo na Terra, tal que t 1 GT t GF 0,900 c 1 c t, 9 GT t GF

22 . CONCEITOS DE RELATIVIDADE Exercícios da Lista 1 Precisamos calcular agora quanto tempo durou a viagem do irmão gêmeo que está no foguete. Como a estrela para a qual o irmão gêmeo do foguete se destinou está a 4,00 anosluz da Terra e como ele se desloca a 0,900c, então o tempo de viagem deste gêmeo (ida e volta até a estrela) é t GF 4,00 0,900 c anos c t anos GF 8, 89 Por sua vez, para o gêmeo que ficou na Terra, o tempo que seu irmão demorou para ir e vir da estrela a 4,00 anosluz é dado por

23 Exercícios da Lista 1. CONCEITOS DE RELATIVIDADE t, 9 t t anos GT GF 0, 4 GT Assim, o diferença entre estes dois tempos é o quanto o irmão gêmeo que ficou no foguete é mais jovem do que aquele que ficou na Terra. t 0,4 8,89 t 11, 5 anos

24 Exercícios da Lista 1. CONCEITOS DE RELATIVIDADE 6. Certa partícula possui vida média igual a 1, s quando medida em repouso. Determine o valor desta vida média caso a sua velocidade no instante de sua criação for igual a 0,990c. Neste caso trata-se de analisar o comportamento cinemático dos dois relógios naturais, um no referencial da partícula em repouso e outro no referencial da partícula em movimento com velocidade V 0,990c. Tanto o tempo medido em repouso quanto aquele medido em movimento dizem respeito à medidas feitas no referencial do laboratório.

25 Exercícios da Lista 1. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Como visto em sala de aula, a relação entre os tempos medidos por um referencial S que se move com velocidade V em relação a um referencial S em repouso é t S ' γ t S 1 V 1 c t S O tempo de vida médio obtido com a partícula em repouso corresponde ao tempo medido no referencial S, já que este referencial está solidário à partícula.

26 Exercícios da Lista 1. CONCEITOS DE RELATIVIDADE É importante ter clareza aqui que neste problema S é o observador no laboratório e S o observado solidário à partícula. LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Assim, temos que t 1, S s V 0, 990c Assim, temos que γ 1 V 1 c 1 1 0,990 c c γ 7,09

27 Exercícios da Lista 1. CONCEITOS DE RELATIVIDADE Com o valor de γ determinado, é possível calcular o tempo que o observador em S (na Terra) mede no relógio do foguete. Assim, temos que t S ' γ t 7,091,00 10 S 7 t 7, S ' s

28 1. Introdução. Conceitos de Relatividade. Radiação de Corpo Negro 4. Propriedades Corpusculares da Radiação 5. Propriedades Ondulatórias da Matéria 6. Conceitos de Mecânica Quântica 7. Modelos Atômicos 8. Átomos de Muitos Elétrons e Moléculas 9. Introdução à Física do Estado Sólido

29 Exercícios da Lista. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO 1. Em que comprimento de onda um irradiador de cavidade a 6000 K irradia mais energia por comprimento de onda? Justifique a sua resposta. Um irradiador de cavidade é uma outra forma de se referir a um corpo negro. Por outro lado, a energia por comprimento de onda é proporcional à radiância espectral R λ. Desta forma o problema nada mais pede do que o comprimento de onda na qual a radiância espectral emitida por um corpo negro é máxima.

30 Exercícios da Lista. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Abaixo mostramos espectros de R λ (λ) I λ (λ) de um corpo negro para várias temperaturas. λ T MAX b b,89 10 m K

31 Exercícios da Lista. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Para determinar este comprimento de onda onde a radiação emitida seja máxima usamos a Lei de Deslocamento de Wien. λ T MAX b b,89 10 m K No problema em questão temos que T 6000 K, o que nos conduz ao seguinte resultado para o comprimento de onda onde a radiação emitida pelo irradiador é máxima λ 481 MAX nm azul 455 nm λazul 49 nm

32 Exercícios da Lista. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO. Um irradiador de cavidade a 6000 K tem um orifício de 0,10 mm de diâmetro feito em sua parede. Determine a potência irradiada através do orifício a) no intervalo de comprimentos de onda entre 550 e 55 nm. Queremos determinar a potência irradiada por um orifício, que neste caso representa o corpo negro. A radiância é definida como sendo a energia irradiada por unidade de área, por unidade de tempo. Assim, a radiância nada mais é do que a potência irradiada por unidade de área.

33 Exercícios da Lista. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Assim, como a área do orifício é A πd /4, onde D é o seu diâmetro, temos que P R A R π 4 Por sua vez, a radiância é determinada através da integração da radiância espectral no intervalo de comprimentos de onda solicitado, isto é R λ λ 1 R λ ( λ) D dλ Vamos usar nesta equação a fórmula de R λ (λ) obtida por Planck para a radiação de corpo negro.

34 Exercícios da Lista Desta forma, usamos Substituímos então a fórmula de Planck e calculamos a radiância no intervalo de comprimentos de onda solicitado. ( ) 1 exp 1 5 T k c h c h R B λ λ π λ λ 1 1 exp 1 5 λ λ λ λ λ π d T k c h c h R B. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

35 Exercícios da Lista. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Aqui nós observamos que o intervalo de comprimentos de onda solicitado é de apenas nm (de 550 a 55 nm) Para intervalos de comprimentos de onda suficientemente pequenos (como é o caso neste problema), podemos aproximar o resultado da integral por λ π h c 1 R dλ R λ 5 1 λ h c exp λ 1 kb T λ ( λ) λ Nesta equação λ 551 nm é a média do intervalo de comprimentos de onda considerado e λ nm.

36 Exercícios da Lista. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Assim, obtemos então o seguinte resultado para a potência irradiada pelo orifício P π hc λ 5 1 hc exp λ kb T 1 π D 4 λ Usamos h 6, Js, c, m/s, λ 551 nm, k B 1, J/K, T 6000 K, D 0,10 mm, λ nm, e obtemos P 1, 50 mw

37 Exercícios da Lista. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO. Um irradiador de cavidade a 6000 K tem um orifício de 0,10 mm de diâmetro feito em sua parede. Determine a potência irradiada através do orifício b) no intervalo de comprimentos de onda entre 00 e 800 nm. Neste caso, não podemos simplificar o cálculo da integral. Para tanto devemos resolver a integral nos limites solicitados pelo problema. R λ λ 1 π hc 5 λ 1 h c exp λ kb T dλ 1

38 Exercícios da Lista Esta integral não tem solução analítica e para o seu cálculo devemos fazê-lo através de métodos numéricos. Para resolver esta integral, fazemos a seguinte mudança de variável x ( λ) LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Assim, nos limites entre 00 nm e 800 nm, obtemos hc λ k π D P π hc 4 B. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO T λ ( x) 800nm 1 λ 00nm 5 hc x k T B 1 hc exp λ kb T dλ 1 hc k T dλ 1 x B dx

39 Exercícios da Lista Substituímos a expressão para λ e dλ na integral e obtemos a seguinte expressão para a potência x ( λ) x min P π 4 D kb T h c 4 1,0,00 x dx x e 1 Para determinar os limites de integração, usamos hc λ k λ LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS mai B T hc k B. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO T λmen 00 x h c k nm λmai 800 nm max x 0 λ men B T x 1, min,00 max

40 Exercícios da Lista. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Calculamos a integral numericamente e obtemos 1, 0,00 x dx x [ e 1] Usamos h 6, Js, c, m/s, D 0,10 mm, k B 1, J/K, T 6000 K e obtemos a P π 4 D kb T h c 4 1,0,00 x dx x e 1 P 8,84 10 a

41 Exercícios da Lista. Admita que o Sol comporte-se como um corpo negro. a) Supondo que a temperatura da superfície do Sol é 5700 K, use a Lei de Stefan-Boltzmann para determinar a massa de repouso perdida por unidade de tempo pelo Sol na forma de radiação eletromagnética. Para este cálculo, considere que o diâmetro do Sol seja 1, m. A Lei de Stefan-Boltzmann relaciona a intensidade da radiação eletromagnética irradiada pelo corpo negro com a temperatura. R σ T. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO 4 σ 8 4 5,67 10 W / m K

42 Exercícios da Lista. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Calculamos então a intensidade de radiação irradiada pelo Sol, considerando que sua temperatura seja de 5700 K. R 5,99 10 W / m Como já visto antes, podemos calcular a potência irradiada pelo Sol multiplicando a radiância pela área do Sol. Em termos do seu diâmetro, a área do Sol é dada por 7 d r P R A π r A 4 SOL Logo, temos que P R π d

43 . RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Exercícios da Lista Como d 1, m, temos que a potência irradiada é igual a P, W A hipótese é que a energia irradiada associada a esta potência seja transformada em perda de massa do Sol. E m c E t E m c P m t Igualamos esta potência relativística com a potência irradiada pelo corpo negro e determinamos então a taxa de perda de massa m/ t. c

44 Exercícios da Lista. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO m t c 9, 10 5 Usamos c, m/s, e obtemos m t 4, kg / s b) Que fração da massa de repouso do Sol é perdida cada ano sob forma de radiação eletromagnética? Para este cálculo considere a massa do Sol como sendo, kg. Com o valor da taxa de perda de massa calculada acima, podemos determinar a massa do Sol perdida em um ano.

45 . RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO a Exercícios da Lista Para isto, basta fazer t 1 ano, s. Assim, temos que em um ano a massa perdida é igual m 1, kg A fração de massa perdida pelo Sol em forma de radiação é então f m/m SOL. Considerando M SOL, kg temos que f 6,

46 1. Introdução. Conceitos de Relatividade. Radiação de Corpo Negro 4. Propriedades Corpusculares da Radiação 5. Propriedades Ondulatórias da Matéria 6. Conceitos de Mecânica Quântica 7. Modelos Atômicos 8. Átomos de Muitos Elétrons e Moléculas 9. Introdução à Física do Estado Sólido

47 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 1. A energia necessária para que um elétron seja removido do sódio é,0 ev. O sódio apresenta Efeito Fotoelétrico para a luz amarela com comprimento de onda λ 589 nm? Queremos saber se ao incidir luz de comprimento de onda λ 589 nm (amarela 565 nm λ amarela 590 nm) estes fótons terão energia suficiente para retirar elétrons de uma placa de sódio. Para isto usamos o balanço de energia para o Efeito Fotoelétrico e calculamos o valor do potencial de corte V 0. Se V 0 > 0, então ocorre Efeito Fotoelétrico e se V 0 < 0, então tal efeito não se manifesta.

48 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista Abaixo mostramos o gráfico de V 0 em função da frequência da luz ν que incide sobre um dado metal. e ν V h E 0 0 ν c λ

49 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista O balanço de energia imposto ao Efeito Fotoelétrico conduz à seguinte relação entre o potencial de corte V 0 e o comprimento de onda da luz incidente λ e V h c 0 E 0 λ Nesta equação E 0 é a chamada função trabalho, que significa a menor energia que prende um elétron ao metal, ou a menor energia necessária para liberar o elétron do metal.

50 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista Deduzimos então que para o problema proposto temos que E 0,0 ev, J. Usamos e 1, C, h 6, Js, c, m/s e neste caso temos que λ 589 nm. Obtemos então o seguinte valor para V 0 0 V 0, 19 0 V V 0 < Desta forma concluímos que quando incidimos luz de comprimento de onda 589 nm sobre uma placa de sódio, NÃO ocorre Efeito Fotoelétrico.

51 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista. Luz de comprimento de onda 00 nm incide sobre uma superfície de alumínio. Para o alumínio, são necessários 4, ev para remover um elétron. a) Qual a energia cinética do elétron mais rápido emitido? Como vimos, elétrons fotoejetados com maior velocidade (mais rápidos) são aqueles associados ao potencial de corte V 0. K MAX ev h ν E 0 0

52 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista Assim, para determinar a energia cinética do elétrons mais rápido, precisamos conhecer o valor do potencial de corte V 0. ev h ν 0 E 0 ν c λ e V h c 0 E 0 λ O problema informa que são necessários 4, ev para retirar um elétron do alumínio. Isto significa que a função trabalho do alumínio é igual a este valor, ou seja, E 0 4,0 ev 6, J.

53 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista Assim, usamos os valores das constantes do problema e 1, C, h 6, Js, c, m/s e neste caso temos que λ 00 nm. Obtemos então o seguinte valor para ev 0 e V K, 10 0 MAX 19 J K, 0 MAX ev

54 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista. Luz de comprimento de onda 00 nm incide sobre uma superfície de alumínio. Para o alumínio, são necessários 4,0 ev para remover um elétron. b) Qual a energia cinética do elétron mais lento emitido? Elétrons são fotoejetados com uma distribuição de velocidades que vai desde a mais baixa (v 0) até a mais alta, calculada a partir da energia cinética máxima. Desta forma, o elétron mais lento (não) sai do alumínio com velocidade nula, e portanto sua energia cinética também é zero. K MIN 0

55 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista. Luz de comprimento de onda 00 nm incide sobre uma superfície de alumínio. Para o alumínio, são necessários 4, ev para remover um elétron. c) Qual o valor do potencial de corte? Como vimos, existe uma relação direta entre a energia cinética máxima dos elétrons fotoejetados e o potencial de corte V o. Já determinamos o valor de K MAX e obtemos o valor, J K ev ou,0 ev. MAX 0

56 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista Assim, usamos os valores das constantes do problema e 1, C e determinamos facilmente o valor de V 0. Obtemos então o seguinte valor para V 0 e V K, 10 0 MAX 19 J V, 0 0 V

57 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista. Luz de comprimento de onda 00 nm incide sobre uma superfície de alumínio. Para o alumínio, são necessários 4, ev para remover um elétron. d) Qual o comprimento de onda limite para o alumínio? Para determinar o comprimento de onda de corte do alumínio, usamos a equação do balanço de energia do efeito fotoelétrico. e V h c 0 E 0 Para o caso limite, fazemos V 0 0 e obtemos então h c λ λ C E0

58 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista Assim, usamos os valores das constantes do problema e 1, C, h 6, Js, c, m/s e neste caso para o alumínio temos que E 0 4,0 ev 6, J. Obtemos então o seguinte valor para V 0 λ 94 C nm ultravioleta

59 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista. O potencial de corte para elétrons emitidos por uma superfície atingida por luz de comprimento de onda 491 nm é 0,71 V. Quando se muda o comprimento de onda da radiação incidente encontra-se para este potencial um valor de 1,4 V. Qual é o valor do comprimento de onda da luz? Neste problema não conhecemos o metal sobre o qual incidimos luz, mas por outro lado conhecemos tanto o valor do potencial de corte V 0 0,71 V, bem como o comprimento de onda utilizado λ 491 nm. Usamos então o balanço de energia para o Efeito Fotoelétrico para determinar o valor da função trabalho E 0.

60 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista Abaixo mostramos o gráfico de V 0 em função da frequência da luz ν que incide sobre um dado metal. ev h ν 0 E 0 ν c λ e V h c 0 E 0 λ

61 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista Usamos e 1, C, h 6, Js, c, m/s e neste caso temos que V 0 0,71 V e λ 491 nm. Obtemos então o seguinte valor para E 0 E, J E 1, 8 0 ev Conhecido o valor da função trabalho E 0, voltamos ao balanço de energia e podemos calcular o valor do comprimento de onda λ quando V 0 1,4 V. ev h c λ 0 E 0

62 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista Usamos e 1, C, h 6, Js, c, m/s e neste caso temos que V 0 1,4 V e E, J 1,8 ev. Obtemos então o seguinte valor para λ λ 84 nm ultravioleta λ 90 UV nm

63 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 1. Fótons com comprimento de onda, m incidem sobre elétrons livres. a) Determine o comprimento de onda de um fóton que é espalhado de um ângulo de 0 em relação à direção de incidência, e a energia cinética transmitida ao elétron. Para resolver este problema começamos usando a fórmula obtida por Compton para comprovar o efeito que leva o seu nome. λ λ C ( 1 cosθ ) h m c C 0,4 10 λ C comprimento de onda de Compton λ 1 m

64 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista Na equação acima, θ é o ângulo entre a radiação espalhada (de comprimento de onda λ )e a radiação incidente (de comprimento de onda λ), como mostra a figura abaixo, a qual ilustra o Efeito Compton. λ Para θ 0, temos então que, m λ', Sabemos que λ λ λ, logo, temos que m Raios-X

65 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 1. Fótons com comprimento de onda, m incidem sobre elétrons livres. b) Faça o mesmo para um ângulo de espalhamento de 150. Repetimos o mesmo procedimento usado na primeira parte deste problema e encontramos λ 4, m λ' 6, Raios-X m

66 1. Introdução. Conceitos de Relatividade. Radiação de Corpo Negro 4. Propriedades Corpusculares da Radiação 5. Propriedades Ondulatórias da Matéria 6. Conceitos de Mecânica Quântica 7. Modelos Atômicos 8. Átomos de Muitos Elétrons e Moléculas 9. Introdução à Física do Estado Sólido

67 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista 4. O comprimento de onda da emissão espectral amarela de sódio é 589 nm. Com que energia cinética um elétron livre tem o mesmo comprimento de onda de De Broglie? O comprimento de onda de De Broglie é dado por h Nesta equação h 6, Js é a λ DB constante de Planck e p é o momento linear p da partícula (neste caso, o elétron). Neste caso, temos que λ DB 589 nm, e com isto obtemos 7 p 1,1 10 kg m / s

68 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista Desejamos determinar a energia cinética de um elétron livre que tem o momento linear determinado acima. Sabemos que para um elétron livre a sua energia cinética é dada por K p Consideramos m e 9, kg, e com isto obtemos 5 m e K 6,96 10 J K 4,5 µev

69 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista 4 6. O espaçamento planar principal em um cristal de KCl é 0,14 nm. Compare o ângulo de reflexão de Bragg de primeira ordem por esses planos, de elétrons livres com energia cinética de 40 kev com o de fótons de energia 40 kev. por Como vimos, a condição de reflexão de Bragg é dada n λ d cos θ

70 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista 4 Nesta equação n é a ordem de reflexão, λ é o comprimento de onda do objeto a ser refletido, d é o espaçamento entre os planos do cristal usado e θ é o ângulo de reflexão. nλ d cos θ Precisamos então determinar o comprimento de onda tanto do feixe de fótons, quanto do feixe de elétrons, e a partir disto, determinar o ângulo de reflexão para cada caso. E F hν hc λ F Para os fótons a relação entre energia e comprimentos de onda é dada por

71 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 4 Para o cálculo de λ F, usamos os valores das constantes h 6, Js e c, m/s, além de neste caso termos que E F 40,0 kev 6, J, e obtemos λ F, Substituímos este valor de na condição de reflexão de Bragg com n 1 e d 0,14 nm e obtemos θ cos F 0,0990 θ F m o 169

72 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 4 Para o cálculo de λ e, usamos o fato que toda energia do elétron é cinética, e assim podemos determinar o seu momento linear através da equação K p λ DB m e h p Usamos m e 9, kg e para a energia cinética K e 40 kev 6, J obtemos p 1,08 10 kg m / Usamos então a fórmula de De Broglie para determinar o comprimento de onda do elétron. s

73 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 4 Usamos h 6, Js e obtemos então λ e 6, m Substituímos este valor de na condição de reflexão de Bragg com n 1 e d 0,14 nm e obtemos θ cos e 0,196 θ e o 157

74 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista 4 1. Determine a incerteza na medida da velocidade de uma partícula quando a incerteza na medida de sua posição é aproximadamente igual ao seu comprimento de onda de De Broglie. Usamos aqui o Princípio da Incerteza de Heisenberg no limite de sua igualdade, isto é p x h O texto do problema afirma que x λ DB h p

75 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista 4 p p h p Desta forma, temos que h mv h π p p p 1 π m v Sabemos também que a relação entre o momento linear de uma partícula de massa m e sua velocidade é dada por Assim, temos que p p m v mv v v 1 π v v π

76 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista A energia de uma partícula em um movimento harmônico linear é p 1 E + mω x m Nesta equação p é o momento linear da partícula, m a sua massa e ω a sua frequência angular. a) Determine o valor da distância a que minimiza a energia da partícula. a) Admitimos que a partícula em movimento harmônico oscila em um intervalo definido.

77 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista 4 Este intervalo está associado à curva de energia potencial associada ao movimento desta partícula. U 1 ω ( x) m x Do gráfico e do tipo de movimento executado pela partícula, temos que se soltarmos a partícula de uma posição x a, ela oscilará em posições no intervalo a x +a.

78 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 4 Assim, a incerteza na medida da posição desta partícula admite o valor do próprio intervalo, isto é x a Por sua vez, dada a característica do movimento, também podemos afirmar que a incerteza da medida de seu momento linear é igual à medida do próprio momento linear, isto é p p Para provar este resultado, veja o Exercício 1 desta lista.

79 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 4 Usamos então o Princípio da Incerteza de Heisenberg para procurar uma relação entre o momento linear da partícula e a amplitude de sua oscilação. p x h x a p p Lembremos os resultados encontrados para a incerteza na medida da posição e do momento linear da partícula. p h a Obtemos então a relação entre p e a, dada ao lado.

80 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 4 Substituímos este resultado na equação da energia total da partícula em oscilação, e encontramos uma expressão desta energia em termos do parâmetro a. E h 8ma ( a) + m ω a Para saber qual o valor da distancia a que minimiza esta energia, basta derivar E(a) em relação ao parâmetro a e igualar este resultado a zero. Encontramos então a relação de da ( a) h + 4mω a 4ma 0

81 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 4 Obtemos então o seguinte resultado para o parâmetro a que minimiza a energia do oscilador h a MIN 4mω É possível mostrar que este resultado implica que a segunda derivada Encontramos então a relação Para saber qual o valor da distancia a que minimiza esta energia, basta derivar E(a) em relação ao parâmetro a e igualar este resultado a zero.

82 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista A energia de uma partícula em um movimento harmônico linear é p 1 E + mω x m Nesta equação p é o momento linear da partícula, m a sua massa e ω a sua frequência angular. b) Determine este valor de mínima energia. a) Admitimos que a partícula em movimento harmônico oscila em um intervalo definido.

83 1. Introdução. Conceitos de Relatividade. Radiação de Corpo Negro 4. Propriedades Corpusculares da Radiação 5. Propriedades Ondulatórias da Matéria 6. Conceitos de Mecânica Quântica 7. Modelos Atômicos Clássicos e Semiclássicos 8. Átomos de Muitos Elétrons e Moléculas 9. Introdução à Física do Estado Sólido

84 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista 6. Calcule a frequência de revolução de um elétron no Modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio em termos da energia total do elétron. No Modelo de Bohr consideramos que o movimento do elétron ao redor do núcleo seja uma circunferência. Para este elétron a velocidade escalar é a razão entre o comprimento da circunferência e o período do movimento circular uniforme. v π r π r T f f n vn π r n

85 Exercícios da Lista 6 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS As expressões para v n e r n foram deduzidas em sala de aula. ( ) n e m f n π ε π h h 0 4 n e m r n h ε π n e v n h ε π Substituímos então os resultados mostrados acima na equação anterior. n n n r v f π

86 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista 6 Após alguma manipulação obtemos o resultado abaixo. f n ε 0 e E m n

87 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista 6. Mostre que no estado fundamental do átomo de hidrogênio a velocidade do elétron pode ser escrita como v αc, onde α é a constante de estrutura fina. Calcule o valor de α e comente este resultado.. Para obter a constante de estrutura fina partimos da expressão da velocidade do elétron no Modelo de Bohr. e 1 v n π ε h n 4 0 Multiplicamos o numerador e o denominador da equação ao lado pela velocidade da luz c e fazemos n 1 (estado fundamental) para obtermos o resultado esperado.

88 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista 6 v e 4π ε 0 h c c α e 4π ε 0 h c Com os valores das constantes fundamentais, calculamos o valor da constante de estrutura fina. α c v α 7, 10 << 1 1 α << 1 17 Este resultado mostra que o movimento do elétron no Modelo de Bohr é não relativístico.

89 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista 6 4. Determine a energia, o momento linear e o comprimento de onda de um fóton emitido por um átomo de hidrogênio ao fazer uma transição direta de um estado excitado com n 10 para o estado fundamental. Usando a Lei da Conservação do Momento Linear, obtenha a velocidade de recuo do átomo de hidrogênio neste processo. Os níveis de energia de um elétron no átomo de hidrogênio são determinados a partir da seguinte fórmula E n 4 me 1 n ( ) 4π ε h 0 1,6 E n n ev

90 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista 6 A partir desta equação, temos que a diferença de energia entre dois estados, o inicial com índice n i e o final com índice n f é dada por E 1,6 1 n 1 n f i No problema em questão temos que n i 10 e n f 1 (estado fundamental); assim, obtemos ev E 1, 5 ev

91 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 6 Ao mudar do nível de energia correspondente a n i 10 para o estado fundamental (n f 1), o elétron perde energia na forma de um fóton com a mesma energia correspondente a esta diferença de níveis de energia. Assim, temos que E 1, 5 F ev O momento linear do fóton com energia E F é dada por p E c F

92 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 6 Neste caso usamos c, m/s e obtemos 7 p 7,0 10 J s / F m Para determinar o comprimento de onda do fóton emitido usamos a equação λ F h p F Neste caso usamos h 6, Js, e obtemos λ 9, 1 F nm ultravioleta

93 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 6 Para calcular a velocidade de recuo do átomo ao emitir o fóton impomos a Lei de Conservação do Momento Linear. Supomos que inicialmente o átomo esteja em repouso, isto é, o momento linear do sistema átomo + fóton é zero. Após perder o fóton com momento linear p F o átomo deve recuar com uma dada velocidade tal que, em módulo, seu momento linear seja igual ao momento linear do fóton emitido. p átomo p F

94 4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Exercícios da Lista 6 Mas, para o átomo de hidrogênio, temos que p H ( ) m + m v e p recuo Sabemos que m p 1.88,6m e 1, kg. Assim, obtemos v 4,0 m / recuo s

95 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista 6 8. Calcule a energia é necessária para remover um elétron de um átomo de hidrogênio que está em um estado correspondente a n 8.. Os níveis de energia de um elétron no átomo de hidrogênio são determinados a partir da seguinte fórmula E n 4 me 1 n ( ) 4π ε h 0 1,6 E n n Remover o elétron do átomo significa, no mínimo, que sua energia final seja igual a zero (n ). ev

96 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista 6 Novamente, temos que a diferença de energia entre dois estados, o inicial com índice n i e o final com índice n f é dada por E 1,6 1 n 1 n f i No problema em questão temos que n i 8 e n f (elétron fora do átomo); assim, obtemos ev E 0, 1 ev

97 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista Supondo que seja possível colocar uma quantidade de trítio (hidrogênio com número de massa três) suficiente para exames espectroscópicos em um tubo contendo hidrogênio comum, determine a separação entre a primeira linha da série de Balmer (m e n ) para o átomo de hidrogênio normal e a da mistura. Levando em conta que o núcleo tenha uma massa finita, os níveis de energia de um elétron no átomo de hidrogênio são dados por E n 4 µ e 1 n ( 4π ε ) h 0 Nesta equação µ é a massa reduzida do sistema núcleo + elétron.

98 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista 6 Lembremos da Mecânica o conceito de massa reduzida, o qual tem origem no movimento do centro de massa de sistemas de duas ou mais partículas. No caso de duas partículas de massa m 1 massa reduzida é dada por µ m m 1 1 m + m e m, a Para o hidrogênio normal m 1 m e 9, kg e além disso m m p 1, kg. Já para o trítio temos que m 1 m e 9, kg e além disso m m p 5, kg.

99 Exercícios da Lista 6 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Desta forma, para cada caso temos que os níveis de energia de cada sistema são dados agora por Para a transição n i n f, temos que ( ) ( ) 0 4 1, n n e m m m m E p e p e nh + h ε π ( ) ( ) 0 4 1, n n e m m m m E p e p e nt + h ε π ev n n E f i H 1 1,55 1 ev n n E f i T 1 1 1,56

100 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista 6 Assim, para a transição n i para n f, temos que 1 1 E H 1,55 ev 1, ev 1 1 E T 1,56 ev 1, Esta transição se dá através da emissão de um fóton, cujo comprimento de onda é calculado igualando estas energias à energia do fóton. E h c λ Calculamos então o comprimento de onda correspondente a cada elemento na mistura. Para este cálculo usamos as constantes h 6, Js e c, m/s. ev

101 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista 6 Obtemos então λ 660, 5 H λ 660, T nm nm vermelho

102 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista Determine a probabilidade do elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio ser encontrado entre a/ e a/. A probabilidade de se encontrar uma partícula quântica é dada por P Ψ V dv Nesta equação Ψ é a função de onda que descreve a partícula. No problema em questão o elétron é descrito pela função de onda Ψ 100, correspondente a n 1, l 0 e m 0.

103 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Exercícios da Lista 6 Por sua vez, a função de onda Ψ 100 é dada por Ψ 100 ( r) π r 1 a ( a ) 0 e 0 Também, sabemos que o elemento de volume dv no sistema de coordenadas esféricas é dado por dv r dr sinθ dθ dφ Substituímos então estes resultados na fórmula da probabilidade.

104 Exercícios da Lista 6 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Por sua vez, a função de onda Ψ 100 é dada por Observamos que o integrando depende apenas da variável r, o que simplifica bastante o processo de integração. ( ) V a r d d dr r a e P φ θ θ π sin 0 0 ( ) π π φ θ θ π sin d d dr r e a P a a a r sin 0 π θ θ d π π φ 0 d

105 Exercícios da Lista 6 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Substituímos o resultado destas integrais na fórmula da probabilidade. Para fazer a integral desta última expressão, fazemos a seguinte troca de variável ( ) a a a r dr r e a P π π 0 a r u ( ) a a a r dr r e a P u a r du dr a a du a dr 0

106 Exercícios da Lista 6 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Substituímos também esta troca de variável com as consequências sobre os limites de integração na fórmula da probabilidade. Consultamos uma tabela de integrais e obtemos o seguinte resultado para a integral desta última expressão ( ) du a a u e a P u + a a x x a e dx x e x a x a 4 1 du u e P u 1 a ( ) + + u u e du u e u u

107 Exercícios da Lista 6 5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Impomos os limites de integração e obtemos e e du u e u e e du u e u e e du u e u e e du u e u e e du u e u ( ) 1, du u e u 0,41 4 du u e u 4 1 du u e P u 10 0, P % P 1,0

108 1. Introdução. Conceitos de Relatividade. Radiação de Corpo Negro 4. Propriedades Corpusculares da Radiação 5. Propriedades Ondulatórias da Matéria 6. Conceitos de Mecânica Quântica 7. Modelos Atômicos 8. Átomos de Muitos Elétrons e Moléculas 9. Introdução à Física do Estado Sólido

109 8. INTRODUÇÃO À FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO Exercícios da Lista 8 1. Faça uma estimativa da largura da banda de condução de um metal cujo espaçamento interatômico vale, m. Para um metal os níveis de energia dos elétrons são dados através de E π n n n x y z x y + m h ( N a) ( n + n n ) Nesta equação m é a massa do elétron, N é o número de elétrons do metal, a é o espaçamento interatômico e a trinca n x,n y,n z são os contadores que definem os estados do elétron. z

110 8. INTRODUÇÃO À FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO Exercícios da Lista 8 O nível de energia mais baixo corresponde aos valores n x n y n z 1, logo temos que E min π m ( N a) Já os níveis de energia mais elevados correspondem a n x n y n z N, logo temos que h E max π h m a

111 Exercícios da Lista 8 LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Por sua vez, a largura da banda de condução é dada pela diferença entre estes dois níveis, isto é Assim, usando os resultados calculados anteriormente, obtemos E max E min E 8. INTRODUÇÃO À FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO ( ) 1 1 N a m a N m a m E h h h π π π Para todos os efeitos, consideramos que N >> 1, logo chegamos a

112 8. INTRODUÇÃO À FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO Exercícios da Lista 8 E π h m a Para os resultados numéricos, usamos h 6, Js, m 9, kg e a, m, e obtemos E 1, J E 9, ev

113 8. INTRODUÇÃO À FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO Exercícios da Lista 8. O cobre é um metal formado a partir de átomos de Cu monovalentes, cuja densidade vale 8,0 g/cm. A massa atômica dos átomos de Cu vale 64,0 g/mol. a) Determine o Nível de Fermi para este metal. b) Faça uma estimativa da largura da banda de condução para este metal. a) Para determinar o Nível de Fermi do Cu é necessário conhecer a densidade de elétrons livres, já que n ( ) / m / π h E F E F ( π h n) m /

114 8. INTRODUÇÃO À FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO Exercícios da Lista 8 Por sua vez, o número de elétrons livres é calculado pela fórmula. n N Z d MOL AV Nesta equação N AV 6,0 10 é o Número de Avogadro, Z 1 é a valência do Cu, d m 8,00 g/cm é a densidade do Cu e MOL 64,0 g é a massa molecular do Cu. Com os valores acima, obtemos n 8 7,5 10 elétrons / m m

115 8. INTRODUÇÃO À FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO Exercícios da Lista 8 Substituímos este resultado na fórmula de E F e com os valores de h 6, Js, m 9, kg, obtemos E F ( π h n) m / 19 E F 4,86 10 J E, 04 F ev

116 FÍSICA PARA ENGENHARIA ELÉTRICA José Fernando Fragalli Departamento de Física Udesc/Joinville APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA Near the end of this decade, when they begin enumerating the names of the people who had the greatest impact on the 0th century, the name of John Bardeen, who died last week, has to be near, or perhaps even arguably at, the top of the list... Mr. [sic] Bardeen shared two Nobel Prizes and won numerous other honors. But what greater honor can there be when each of us can look all around us and everywhere see the reminders of a man whose genius has made our lives longer, healthier and better. Editorial do Chicago Tribune em 0/0/1991. Física para Engenharia Elétrica Exercícios