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1 SIMULADO 01-1ª Prova de Seleção para as OIF s A prova é composta por CINCO questões. Cada questão tem o valor indicado nos eu início. A prova tem valor total de 100 pontos. 2. Não é permitido o uso de calculadoras. 3. A prova tem duração de QUATRO HORAS. A tabela a seguir contém algumas integrais que podem ser úteis durante a prova. As soluções desse simulado encontram-se no grupo Escola Olímpica (https://www.facebook.com/groups/ /). No caso de alguma dúvida entre em contato comigo através do

2 Questão 1: Considere n = 2 mols de um gás Hélio ideal a pressão P0, volume V0 e temperatura T0 = 300K dentro de um recipiente cilíndrico vertical (veja a figura 1.1). Um pistão móvel horizontal sem atrito de massa m = 10kg (assuma g = 9,8 m/s²) e área A = 500cm² comprime o gás. Existe uma mola vertical com uma extremidade presa no pistão e a outra na parte superior do cilindro. O pistão é vedado, ou seja, nenhum gás passa por ele. Desconsidere o calor específico do recipiente, pistão e mola. Inicialmente o sistema está em equilíbrio e a mola relaxada. A mola é ideal. a) Calcule a frequência f de pequenas oscilações do pistão, quando o sistema é perturbado da posição de equilíbrio. b) O pistão é puxado até que o volume do gás se reduz a metade e é solto a partir do repouso. Calcule o volume do gás quando a velocidade do pistão é: A constante elástica da mola é k = mga/v0. Todos os processos no gás são adiabáticos. Constante ideal dos gases R = JK -1 mol -1. Para um gás monoatômico γ = 5/3 Questão 2: Uma molécula diatômica é formada por dois átomos que estão quimicamente ligados. As ligações químicas só se podem estudar corretamente utilizando Mecânica Quântica. No entanto, para várias aplicações, é possível recorrer a aproximações baseadas na Mecânica Clássica. Um destes modelos clássicos para a molécula diatômica considera que a molécula é formada por duas massas que se encontram a uma certa distância de equilíbrio, r0, ligadas por uma mola de constante elástica k. Este modelo é muito utilizado para estudar as vibrações moleculares de

3 baixa energia, não sendo adequado para situações onde há quebra de ligações ou vibrações de alta energia. A energia potencial neste modelo, que não é mais do que um oscilador harmônico, pode-se escrever como: onde r é a separação instantânea entre os dois átomos. Partindo da expressão anterior é possível obter a força entre os dois átomos: Quando se quer modelar vibrações de alta energia (ou de grande amplitude), pode-se recorrer ao potencial de Morse: onde De e a são constante. Notar que, para este potencial, quando a distância interatômica tende para infinito, a energia potencial tende para De. a) Considere uma molécula diatômica com átomos de massas m1 e m2 e distância de equilíbrio r0. Determinar a localização do centro de massa da molécula em relação a m1. b) Supor que a molécula é rígida e que roda, com velocidade angular ω, em torno de um eixo perpendicular à linha que une os dois átomos e que passa pelo centro de massa da molécula. Obter uma expressão para a energia cinética rotacional em função de m1, m2, ω e r0 c) Supor agora que os átomos vibram mas que a molécula não roda. Determinar a frequência angular de vibração ω0 para baixas energias. d) Um efeito muito estudado na espetroscopia é o aumento da distância entre os átomos devido ao movimento rotacional da molécula. Este fenômeno é designado por distorção centrífuga. Determinar a nova distância inter-atômica r0 em função de ω0, ω e r0, supondo que a molécula não vibra.

4 e) Para oscilações pequenas, o potencial de Morse é praticamente harmônico, isto é, o oscilador de Morse é praticamente indistinguível de um oscilador harmônico. Para este caso (pequenas oscilações), determinar a constante elástica k do oscilador harmônico equivalente em função de De e a. Ajuda: para x muito pequeno. Questão 3: Num barco de massa M, inicialmente em repouso, está instalada uma metralhadora. A arma dispara horizontalmente N balas por segundo durante T segundos. Cada bala, de massa m, é disparada com velocidade V0. Considere que a velocidade de cada bala é sempre muito maior do que a velocidade do barco. Considere também que T é pequeno e que M >> T.N.m. Além disso despreze a resistência da água sobre o barco. Tendo em conta essas aproximações, calcule, decorrido o tempo T: a) A velocidade do barco. b) O espaço percorrido pelo barco. Questão 4: Um planeta de massa M e raio R está rodeado por uma atmosfera de densidade constante que consiste de um gás de massa molar µ. A altura h da atmosfera é muito menor que o raio do planeta (h << R) e o planeta encontra-se nos confins do seu sistema, muito longe de qualquer estrela. Qual é a temperatura da atmosfera à superfície do planeta? Questão 5: Uma partícula pontual de massa m é colocada no topo de uma semi-esfera de raio R e massa M que está assente numa superfície sem atrito. Num certo instante, a partícula começa a deslizar sobre a semi-esfera. Obter uma equação para o ângulo θ no ponto em que a partícula perde o contato com a semi-esfera.

5 Boa sorte! Organizada por: Pedro Alves

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