INSTITUTO DE FÍSICA - UFRGS. Roteiro de Estudo I

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1 INSTITUTO DE FÍSICA - UFRGS Depto. de Física - FIS Introdução à Física Quântica Roteiro de Estudo I Este roteiro foi preparado para servir de guia de estudo e para chamar a atenção sobre os pontos considerados mais essenciais. Não se pretende que ele esgote a matéria. 1. Radiação Térmica: (a) Procure entender e saber definir o conceito de radiação térmica. (b) Como se relacionam as taxas de emissão e absorção em um corpo que tem temperatura superior à do meio em que está imerso? E como se relacionam estas taxas quando o equilíbrio térmico é atingido? (c) Procure entender o conceito de corpo negro. Esteja certo(a) de entender a diferença conceitual entre reflexão e emissão. (d) É importante entender bem porque uma cavidade que se comunica com o exterior fornece um bom modelo de corpo negro. (e) Fixe o conceito de radiância espectral. (f) Saiba caracterizar graficamente de forma qualitativa um espectro de corpo negro, ou seja, saiba fazer um gráfico rudimentar de um espectro de corpo negro (R T (ν) vs. ν), inclusive no que se refere à dependência com a temperatura. (g) Fixe o conceito de radiância, e saiba distingui-lo de radiância espectral. (h) Fixe a lei de Stefan, R T = σt 4, onde R T é a radiância. Não é necessário memorizar o valor da constante σ, mas é importante conhecer o enunciado da lei. (i) Fixe a lei de deslocamento de Wien, tanto na forma ν max T quanto na forma λ max T = cte. (não é necessário decorar o valor da constante). (j) Procure seguir e entender o procedimento que leva à expressão para o número de freqüências permitidas no intervalo entre ν e ν + dν, por unidade de volume da cavidade : N(ν)dν = (8π/c 3 )ν 2 dν (Ver, p. ex., Eisberg & Resnick, 1988). Este procedimento não será cobrado em provas nesta disciplina, mas é importante que seja compreendido para que o estudante possa acompanhar o raciocínio que leva à expressão obtida por Rayleigh e Jeans para a densidade de energia na cavidade, bem como seguir a modificação introduzida por Planck. (k) Uma vez obtida expressão para N(ν)dν, saiba explicar os passos seguidos por Rayleigh-Jeans para obtenção de ρ T (ν) (saiba explicar o que representa esta grandeza). Saiba também explicar em que aspectos o resultado obtido difere do resultado observado experimentalmente. (l) De forma análoga, saiba explicar a essência da modificação introduzida por Planck. Procure compreender em que medida a hipótese de Planck representava uma noção radicalmente nova, em termos de descrição da energia de sistemas oscilantes? (m) Saiba obter ρ T (λ) a partir de ρ T (ν). (n) Saiba explicar como, a partir de dados empíricos referentes à radiação térmica e conhecendo-se o valor da velocidade da luz, é possível usar a expressão para a densidade espectral de energia encontrada por Planck para determinar as constantes h e k (cte. de Planck e cte. de Boltzmann, respectivamente). (o) Acompanhe o Ex. 1-6, do Eisberg & Resnick, 1988 (em conexão com a discussão do início da seção 1-6), e procure entender porque a quantização da energia dos sistemas oscilantes proposta por Planck para explicar a radiação de corpo negro não é observável no convívio com objetos macroscópicos. (p) Leia a seção 1-7 do Eisberg & Resnick, 1988, com aspectos históricos a respeito da postura de Planck frente à hipótese inovadora que introduziu. Em particular, esta seção menciona que a proposta de Planck era originalmente menos abrangente do que a forma tratada em aula e no Cap. 1 de Eisberg & Resnick, (q) Questões: i. (Eisberg & Resnick, 1988, questão 1.1) ii. (Eisberg & Resnick, 1988, questão 1.15) iii. (Eisberg & Resnick, 1988, questão 1.17)

2 (r) Problemas: i. (Eisberg & Resnick, 1988, probl. 1.1) ii. (Eisberg & Resnick, 1988, probl. 1.4) iii. (Eisberg & Resnick, 1988, probl. 1.5) iv. (Eisberg & Resnick, 1988, probl. 1.7) v. (Eisberg & Resnick, 1988, probl. 1.12) vi. (Eisberg & Resnick, 1988, probl. 1.14) vii. (Eisberg & Resnick, 1988, probl. 1.16) viii. (Eisberg & Resnick, 1988, probl. 1.17) ix. (Eisberg & Resnick, 1988, probl. 1.18) 2. Propriedades Corpusculares da Radiação: (a) Procure compreender e saber descrever de forma breve, embora clara, os aspectos essenciais das experiências sobre efeito fotoelétrico. (b) Quais os três aspectos do fenômeno (efeito fotoelétrico) que se revelaram inexplicáveis em termos da teoria ondulatória clássica da luz? Você sabe explicar por que estes aspectos representam uma dificuldade do ponto de vista ondulatório? (c) Estude o Ex. 2-1 do Eisberg & Resnick, 1988, em conexão com um dos aspectos mencionados no item anterior. (d) Procure entender e incorporar à memória os aspectos principais da abordagem de Einstein para o efeito fotoelétrico. (e) Saiba expor e explicar de que forma a teoria formulada por Einstein podia explicar satisfatoriamente os aspectos do fenômeno de emissão fotoelétrica que permaneciam inexplicados pela teoria ondulatória da luz. (f) Procure compreender as semelhanças e diferenças entre a proposta de Planck para a radiação térmica e a proposta de Einstein para o efeito fotoelétrico. (g) Estude os exemplos 2-2 e 2-3 do Eisberg & Resnick, (h) Familiarize-se com os aspectos básicos do chamado efeito Compton. Saiba descrever de forma sucinta o experimento envolvido e formular qualitativamente a explicação do fenômeno, envolvendo o conceito de fótons. (i) Saiba formular matematicamente a descrição do fenômeno envolvido no efeito Compton, desenvolvendo as equações até chegar à chamada equação de Compton, λ = (h/m e c)(1 cos θ). Note que será usada uma mecânica envolvendo efeitos relativísticos. Estas aplicações vão permitindo que o estudante ganhe familiaridade com alguns aspectos da mecânica relativística (como a relação entre energia e momentum), mesmo que ainda não tenha sido exposto à dedução das relações utilizadas. (j) Você sabe explicar porque aparecem dois picos no espectro do espalhamento Compton, um correspondendo ao comprimento de onda original do fóton e o outro com o comprimento de onda modificado? (k) Em conexão com o efeito Compton, encontramos no Eisberg & Resnick, 1988 menção ao espalhamento Thomson, em que não há mudança no comprimento de onda nos fótons espalhados. Procure entender a natureza do processo, e saber explicar porque é dito que o espalhamento Thomson é um caso onde resultados clássicos e quânticos se confundem. (l) Existe região do espectro eletromagnético em que o espalhamento Thomson domina e o efeito Compton não é perceptível? E região em que o efeito Compton é dominante? Que regiões são essas? (m) Faça o Ex. 2-4 do Eisberg & Resnick, (n) É um bom momento para refletir sobre a natureza dual da radiação eletromagnética. Tenha em mente que é possível conciliar os aspectos ondulatórios com os corpusculares, com o uso da mecânica quântica, o que veremos mais adiante... (o) Que aspecto da emissão de raios X fica inexplicado com o uso da teoria eletromagnética clássica (tratamento ondulatório da radiação?). Como fica a explicação envolvendo o conceito de fótons? (p) Estude e procure compreender o processo de produção e aniquilação de pares (secão 2-7, Eisberg & Resnick, 1988); faça a parte (a) do Ex. 2-7 (mesmo livro). Este processo também põe em evidência o conceito de fóton, mas não será de momento abordado em aula, pois sua descoberta foi posterior à formulação da Mec. Quântica por Schrödinger. Estamos discutindo, na primeira fase da disciplina, fenômenos que levaram ao desenvolvimento da Mec. Quântica, como problemas na interpretação da radiação térmica, efeito fotoelétrico e efeito Compton.

3 (q) Questões: i. (Eisberg & Resnick, 1988, questão 2.3) ii. (Eisberg & Resnick, 1988, questão 2.8) iii. (Eisberg & Resnick, 1988, questão 2.10) (r) Problemas: i. (Eisberg & Resnick, 1988, probl. 2.1) ii. (Eisberg & Resnick, 1988, probl. 2.5) iii. (Eisberg & Resnick, 1988, probl. 2.9) iv. (Eisberg & Resnick, 1988, probl. 2.11) v. (Eisberg & Resnick, 1988, probl. 2.16) vi. (Eisberg & Resnick, 1988, probl. 2.19) vii. (Eisberg & Resnick, 1988, probl. 2.20) viii. (Eisberg & Resnick, 1988, probl. 2.25) ix. (Eisberg & Resnick, 1988, probl. 2.26) x. (French & Taylor, probl. 1-8) xi. (French & Taylor, probl. 1-10) xii. (French & Taylor, probl. 1-12) 3. Propriedades Ondulatórias das Partículas: (a) Qual é a essência da proposta de de Broglie, relativamente à descrição da matéria, e como se expressa esta proposta no que se refere à energia e ao momentum de uma partícula? (b) Procure familiarizar-se com as expressões ligando momentum e comprimento de onda e ligando energia e freqüência. Elas devem se tornar tão conhecidas quanto a expressão F = ma, por exemplo. (c) A partir das expressões mencionadas no item anterior, obtenha uma expressão que forneça o comprimento de onda associado a uma partícula com uma dada energia cinética K (tratamento não relativístico). Obtenha também λ como função de K para o caso relativístico, supondo uma partícula com massa de repouso m 0 (Ver French & Taylor, seção 2-3, por exemplo, para encontrar as expressões relativísticas relevantes). (d) Procure familiarizar-se com os experimentos que evidenciam a difração de elétrons por uma rede cristalina (experimento de Davisson e Germer; experimento de Thomson). Qual é a diferença principal entre estes dois experimentos? (e) Procure reconstituir a dedução da relação de Bragg, utilizando esta relação no cálculo do comprimento de onda associado ao elétron no experimento de Davisson-Germer, com posterior comparação com a previsão da proposta de de Broglie. (f) A natureza ondulatória das partículas seria perceptível se tentássemos realizar um experimento de difração usando equipamentos adequados para experiências de difração de ondas eletromagnéticas (fazendo elétrons passarem por fendas duplas com a dimensão utilizada para produzir franjas de interferência com luz visível, por exemplo)? (g) De maneira geral, é mais facilmente mensurável o comportamento ondulatório em partículas de pequena massa ou de grande massa? (h) Estamos estudando a chamada dualidade onda-partícula. Estes dois aspectos se manifestam simultâneamente para uma partícula, ou precisamos considerar um ou outro dependendo da circunstância? Procure pensar em exemplos. (i) Familiarize-se com o princípio da complementaridade (Niels Bohr). (j) Mais adiante, nesta disciplina, vamos desenvolver uma formulação ondulatória da Mec. Quântica, usando a Eq. de Schrödinger. Por enquanto, abordamos apenas alguns aspectos preliminares. Por exemplo, associamos propriedades ondulatórias às partículas. Supondo uma função ondulatória ψ associada a uma partícula, você sabe explicar qual a interpretação que estamos dando ao módulo quadrado desta função? Temos uma interpretação diretamente aplicável à função ψ propriamente dita? (Obs.: O tema não é absolutamente trivial. No momento nos contentaremos com uma interpretação que podemos chamar de convencional. Mais adiante, voltaremos a discutir a questão). (k) Familiarize-se com as relações de incerteza de Heisenberg. Procure compreender seu significado e implicações mais imediatas, no que se refere à possibilidade de conhecimento simultâneo de certas propriedades dos sistemas físicos (posição e momentum, por exemplo).

4 (l) É importante compreender claramente que relações de incerteza são propriedades inerentes a uma descrição ondulatória. Por exemplo, uma emissora de rádio emitindo um sinal com freqüência pura (única) estaria emitindo apenas um som uniforme. Para transmitir uma mensagem com conteúdo (um sinal), é necessário combinar várias freqüências, formando um pacote de ondas cuja amplitude é modulada. Ou seja temos uma emissora AM (existem também as FM, freqüência modulada, mas não vamos nos dispersar nestes detalhes). O importante é constatar que um sinal com uma dada duração temporal t é obtido por meio de uma largura de banda no espaço de freqüências ( ν E), e que uma diminuição de t requer um aumento de ν. (m) Estude e compreenda o conceito de pacotes de ondas (já mencionado no item anterior). Acompanhe o exemplo encontrado no Eisberg & Resnick, 1988, onde está feita a superposição de duas ondas, levando à obtenção das velocidades de fase e de grupo, e mostrando que esta última corresponde à velocidade da partícula à qual a onda está associada. (n) Igualmente, acompanhe e saiba reproduzir a discussão associada a um pacote mais complexo (introduzido em aula), onde supusemos uma ψ(x) tal que ψ(x) = dk e ikx A(k), onde A(k) = 1, para k 0 k/2 < k < k 0 + k/2, e A(k) = 0 fora deste intervalo. Obtenha ψ(x) explicitamente, bem como seu quadrado. Discuta a relação de incerteza encontrada entre posição e momentum. Ela está de acordo com o princípio de incerteza de Heisenberg? (o) Em conexão com o tema, procure ler as seções 3-2, 3-3, 3-4 e 3-7 do livro de A. Beiser, Concepts of Modern Physics, McGraw-Hill, New York, 1987, 4a. ed. Este livro, que será referido no futuro como Beiser, 1988, não está na lista da bibliografia de consulta mas pode prestar bons serviços ao estudante, em certos pontos. (p) É conveniente estudar com atenção as seções 1-2 até 1-6 do Feynman et al., 1965, o volume 3 da coleção The Feynman Lectures on Physics, indicado como bibliografia de consulta, ou as seções 37-2 a 37-6 do volume 1 da mesma coleção (as seções indicadas do vol. 3 são idênticas a estas do Vol. 1). Nestas seções discute-se um gedanken experiment, ligado à difração de elétrons, onde Feynman tenta evidenciar o que ele chama de um mistério que está no coração da Mecânica Quântica. (q) Estude o exemplo 3-5 do Eisberg & Resnick, 1988, onde é introduzido o conceito de largura de linha para linhas espectrais de emissão, largura esta conectada à incerteza E na energia do estado excitado. (r) Estude os exemplos 3-6 e 3-7 do Eisberg & Resnick, 1988, ambos ligados ao princípio de incerteza. (s) As seções 3-5 e 3-6 do Eisberg & Resnick, 1988 trazem uma discussão sucinta sobre consequências do princípio de incerteza, e sobre aspectos filosóficos da Mec. Quântica. A leitura destas seções antecipa alguns dos tópicos com os quais continuaremos nos defrontando mais adiante. (t) Um item para dar o toque final antes de passar para questões e problemas: antes que você comece a achar tudo isto um tanto exótico e distante da realidade prática, lembre-se que um microscópio eletrônico funciona exatamente usando as propriedades ondulatórias dos elétrons em lugar de luz. (u) Questões: i. (Eisberg & Resnick, 1988, questão 3-13) ii. (Eisberg & Resnick, 1988, questão 3-14) (v) Problemas: i. (Eisberg & Resnick, 1988, probl. 3-3) ii. (Eisberg & Resnick, 1988, probl. 3-5) iii. (Eisberg & Resnick, 1988, probl. 3-11) iv. (Eisberg & Resnick, 1988, probl. 3-24) v. (French & Taylor, probl. 2-5) vi. (French & Taylor, probl. 2-8) vii. (French & Taylor, probl. 2-10) 4. Modelos Atômicos: (a) Procure compreender a descrição qualitativa do átomo, segundo o modelo de Thomson. Estude o exemplo 4.1 (Eisberg & Resnick, 1988), onde é feito o cálculo da freqüência de oscilação característica de um elétron no átomo, segundo este modelo. Em que sentido o resultado obtido conflitava com o espectro observado do hidrogênio? (b) Não vamos nos aprofundar no estudo dos modelos atômicos mais antigos. Entretanto, o estudante deve conhecer e saber descrever o experimento de espalhamento de partículas α realizado por Rutherford e seu grupo.

5 (c) Segundo o experimento de Rutherford e seu grupo, a fração de partículas α sofrendo espalhamento em ângulos maiores do que 90 era Compare com o resultado previsto pelo modelo de Thomson, mencionado no exemplo 4-2 (Eisberg & Resnick, 1988). (d) Você sabe descrever qualitativamente os aspectos essenciais do modelo de Rutherford? De que ordem de grandeza seria o raio do núcleo, comparado com o raio do átomo? (e) Leia a seção 4-3 (Eisberg & Resnick, 1988), onde está discutido o problema da estabilidade do átomo. Esteja certo(a) de compreender porque a existência de átomos estáveis era de difícil compreensão, em face do modelo de Rutherford. (f) Familiarize-se com a noção de espectros atômicos. (g) Familiarize-se com as séries de emissão do átomo de hidrogênio. Procure fixar a expressão que resulta nas séries conhecidas e batizadas (Lyman, Balmer, Paschen, Brackett e Pfund). Olhando para a expressão, como se diferenciam estas séries? (h) Saiba a diferença entre espectro de emissão e espectro de absorção. Existe correspondência bi-unívoca entre as linhas destes dois espectros? (i) Procure saber de memória os postulados de Bohr. (j) Observe a natureza híbrida do modelo de Bohr, que mistura noções clássicas com noções quânticas. Como o modelo de Bohr lidou com o problema da estabilidade do átomo? (k) Atente para o fato de que o modelo de Bohr incorporou o conceito de pacote de energia para a radiação eletromagnética (utilizado no caso do efeito fotoelétrico), ao propor que a freqüência da radiação emitida seria proporcional à diferença de energias entre os estados inicial e final de uma transição. (l) Saiba aplicar o modelo de Bohr para o caso de um elétron em órbita circular em torno do núcleo, obtendo o raio da órbita e os níveis de energia, supondo o núcleo com massa infinita. Estude o exemplo 4-6 do Eisberg & Resnick, (m) Saiba aplicar o modelo de Bohr para obter a expressão que fornece as linhas espectrais do hidrogênio (considerando infinita a massa do núcleo). Obtenha a constante de proporcionalidade R, em termos de outras grandezas (e, h,...). Utilize os valores numéricos destas quantidades para obter o valor de R, comparando-o com o valor experimental da constante de Rydberg. (n) Como o modelo de Bohr, aliado com resultados básicos da estatística de sistemas em equilíbrio, explica as propriedades do espectro de absorção dos átomos de um elétron? (o) Procure aplicar o modelo de Bohr, considerando finita a massa do núcleo (M), e obtenha a expressão para as linhas de emissão onde aparece a constante R M em lugar de R. (p) Estude os exemplos 4-8, 4-9 e 4-10 do Eisberg & Resnick, São aplicações imediatas do modelo de Bohr. (q) Familiarize-se com a experiência de Franck-Hertz, que demonstrou de maneira direta a existência de níveis de energia no átomo, fora do contexto da espectroscopia. Saiba descrever de forma resumida a experiência propriamente dita e os resultados obtidos (Sugere-se que o estudante procure colocar esta descrição por escrito, para poder avaliar melhor seu conhecimento do assunto e sua capacidade de expressar este conhecimento). (r) Saiba enunciar as regras de quantização de Wilson-Sommerfeld. Conscientize-se de que as mesmas são aplicáveis a quaisquer sistemas físicos cujas coordenadas são periódicas no tempo, o que inclui como casos especiais a quantização do modelo de Bohr e a quantização proposta por Planck. (s) Saiba aplicar as regras de Wilson-Sommerfeld para sistemas simples: o oscilador harmônico simples, levando à condição de quantização de Planck, e o caso do elétron se movendo em órbita circular, levando à quantização introduzida no modelo de Bohr. (t) Qual foi o aspecto novo introduzido pelo modelo atômico de Sommerfeld (na formulação não relativística), em relação ao modelo de Bohr? (u) Quantos e como são chamados os números quânticos que aparecem na teoria de Sommerfeld para o átomo? (v) Por que é dito que a teoria de Sommerfeld fornece estados degenerados para o átomo? Como Sommerfeld conseguiu resolver este problema e explicar a estrutura fina do espectro de hidrogênio? Por falar nisto, você sabe explicar o que é a estrutura fina? (w) Estude e saiba enunciar as regras de seleção. O modelo de Sommerfeld explica as regras de seleção? (x) Estude a seção 4-12 do Eisberg & Resnick, 1988 e procure compreender e saber explicar os aspectos ali mencionados que tornavam insatisfatória a chamada antiga Teoria Quântica, apesar dos seus muitos sucessos.

6 (y) Questões: i. (Eisberg & Resnick, 1988, questão 4-8) ii. (Eisberg & Resnick, 1988, questão 4-23) (z) Problemas: i. (Eisberg & Resnick, 1988, probl. 4-16) ii. (Eisberg & Resnick, 1988, probl. 4-19) iii. (Eisberg & Resnick, 1988, probl. 4-25) iv. (Eisberg & Resnick, 1988, probl. 4-27) v. (Eisberg & Resnick, 1988, probl. 4-29) vi. (Eisberg & Resnick, 1988, probl. 4-32) vii. (Eisberg & Resnick, 1988, probl. 4-34) viii. (French & Taylor, probl. 2-15) ix. (French & Taylor, probl. 1-16) x. (French & Taylor, probl. 1-25) xi. (French & Taylor, probl. 1-26)