Oscilador Harmônico Simples

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1 Motivação Oscilador Harmônico Simples a) espectroscopia molecular, b) cristais e outras estruturas no estado sólido, c) estrutura nuclear, d) teoria de campo, e) ótica, f) mecânica estatística, g) aproximante para qualquer poço quântico, h) etc. Além de ser simples e pedagógico. Autokets e autovalores de energia A Hamiltoniana é: H = p m + x com! = a p Definimos operadores a p (x ip r k m ip (x + )! de aniquilação )! de criação! k (lei de Hooke) Note que a e a não são Hermiteanos

2 Autokets e autovalores de energia Comecemos, calculando a comutação entre os operadores a e a r [a, a ]=[ r ip (x + ), (x ip )] = [x, ip ip ]+[,x] = i [x, p] = i i = ) [a, a ]= Definiremos o operador número, por: N = a a. Note que N = a a = (x ip =! p m + x {z } H ip )(x + )=x ) H =! N + + p m! + i [x, p] = Como [H, N] = 0! eles podem ser diagonalizados simultaneamente. Assim, basta resolver N ni = n ni que teremos H ni = E n ni. Comparação direta, fornece o espectro do oscilador em função de n E n =(n + )!

3 Operadores de criação e de aniquilação Para apreciar o significado físico de a, a, e N, considere as [N,a ]=[a a, a ]=a [a, a ] {z } +[a,a ] {z } a = a relações de comutação 0 [N,a] =[a a, a] =a [a, a] {z } +[a,a] {z } a = a 0 Na ni = [N,a ]+a N ni =(a + na ni =(n + )a ni Assim, temos Na ni = [N,a]+aN ni =( a + na ni =(n )a ni o que permite concluir a ni é autoket de N com autovalor n + a ni é autoket de N com autovalor n Ou seja, a ni = c n +i e a ni = c n i 3

4 Operadores de criação e de aniquilação Se n considerarmos que os kets ni são normalizados, temos a ni = c n i!hn {z} a a ni = c e ) c = n () n é positivo e real) N a ni = c n +i!hn {z} aa ni = c e ) c = n + N +, pois [a, a ]=! aa = a a +=N + a ni = p n n i O que nos leva a concluir a ni = p n + n +i Agora aplique o operador a diversas vezes e a ni = p n n i obtenha a n i = p (n ) n i a n i = p (n ) n 3i, etc. Se n é real positivo, precisa ser inteiro, pois só assim a série é interrompida, ao passar pela situação a 0i = p 0 i =0, o que evita gerar um ket com autovalor negativo de N. 4

5 Operadores de criação e de aniquilação Como a energia do oscilador harmônico é dada por E n =(n + )!, e o menor valor de n é zero, concluímos que o estado fundamental do oscilador harmônico simples tem energia E 0 =!. Supondo conhecido o estado fundamental 0i, uma boa forma de obter os outros estados é a partir da relação a ni = p n + n +i, que pode ser invertida : n +i = p a ni n + i = p a 0i i = p a i = (a ) p 0i e usada para obter 3i = p 3 a i = (a ) p 3 3! 0i,... ni = (a ) p n n! 0i, etc. onde ni = (a ) n p n! 0i é autoestado de H e N, com autovalores E n =(n + )! e n, respectivamente. 5

6 a p das definições Operadores de criação e de aniquilação (x + ip ) a p (x ip ) obtemos q x = (a + a ) q p = i m! ( a + a ) como temos hn 0 a ni = hn 0 p n n i = p n n0,n hn 0 a ni = hn 0 p n + n +i = p n + n 0,n+ q hn 0 x ni = (p n n 0,n + p n + n 0,n+) q hn 0 p ni = i m! ( p n n0,n + p n + n0,n+) Ou seja, nem x, nem p, nem a, e nem a são diagonais na representação N. Nenhum deles comuta com N ou H. 6

7 Autokets na representação das coordenadas Considere a equação a 0i = 0 na representação das coordenadas hx 0 a 0i =0, e r r reescrita por hx 0 ip (x + ) 0i =0! hx0 (x + ip ) 0i =0, ou ainda (x 0 + i r d i dx 0 )hx0 0i =0! (x 0 + x d 0 dx 0 )hx0 0i =0, com x 0 Reoganizando, temos: d dx 0 hx0 0i = x0 x 0 hx 0 0i, com solução hx 0 0i = A exp x 0 x 0 O estado fundamental do oscilador harmônico simples, na representação das coordenadas, é uma gaussiana. A densidade de probabilidade, dada por: hx 0 0i = A exp pois Z dx 0 hx 0 0i = Z x 0 x 0 tem largura x 0 e pode ser usada para calcular A, dx 0 A exp x 0 x 0 =! A = /4p x 0 hx 0 0i = /4p exp x 0 x 0 x 0 7

8 A partir de Autokets na representação das coordenadas )hx 0 0i = /4p x 0 exp ) ni = (a ) n p n! 0i x 0 x 0 3)a = p (x ip ) obtemos o restante dos estados. Por exemplo: r hx 0 i = hx 0 a 0i = hx 0 (x ip ) 0i = p (x 0 x0 = p r (x 0 x d 0 x0 dx 0 )hx0 0i = x 0 hx 0 0i = x 0 i i p /4 x 3/ x0 exp 0 d dx 0 )hx0 0i = x 0 x 0 De forma geral, é possível obter para o n-ésimo estado hx 0 ni = /4p (x 0 x d n 0 n! dx 0 )n exp x n+ 0 x 0 x 0

9 Relação de incerteza para o estado fundamental Para avaliar a relação de incerteza para o estado fundamental, precisamos calcular hxi, hpi, hx i, e hp i para o estado 0i. Para isso, usamos as seguintes q x = (a + a )! x = (a + a + aa + a a) relações: q p = i m! ( a + a )! p = m! (a + a aa a a) a ni = p n n i e a ni = p n + n +i hn 0 ni = n 0,n h0 x 0i =0eh0 x 0i = h0 (a + a + aa + a a) 0i = que fornecem h0 p 0i =0eh0 p 0i = m! h0 (a + a aa a a) 0i = m! Assim, calculamos h( x) i = hx i = e h( p) i = hp i = e, finalmente, temos h( x) ih( p) i = 4. Para n 6= 0 ela ficaria h( x) ih( p) i = n + mostre 9

10 Oscilador Harmônico Simples: T e V Valores esperados de T (energia cinética) e V (energia potencial) para o estado 0i h0 T = p m 0i = m h0 p 0i = m =! 4 = hhi Teorema do virial h0 V = x 0i = h0 x 0i = =! 4 = hhi Evolução temporal do oscilador Das equações de Heisenberg para x i e p i, dp i dt = i i,v(x)] i V (x) tínhamos dx i dt = i [x i, p m ]= p i m que para o oscilador V = x, ficam: dp dt = dx dt = p m x com auxílio de q x = (a + a ) q p = i m! ( a + a ) 0

11 temos ) d dt ) d dt Evolução temporal do oscilador r m! i ( a + a ) {z } p r (a + a ) {z } x = m r = (a + a ) {z } x r m! i ( a + a ) {z } p Uma combinação destas equações fornece equações desacopladas. Combine: r r [Eq. ( i m! )+Eq. ]! da dt = [i!(a + a )+i!( a + a )] r r [Eq. (+i m! )+Eq. da )]! dt = [ i!(a + a )+i!( a + a )] De forma equivalente às equações e, temos agora da dt = i!a e da dt = i!a

12 Evolução temporal do oscilador Transformamos as duas equações acopladas (em x e p), em equações desacopladas (em a e a ). As novas equações, da dt = i!a e têm soluções relativamente simples: da dt = i!a a (t) =a (0) exp (i!t) e a(t) =a(0) exp ( i!t) Note que De a = p temos: ( N = a (t)a(t) =a (0)a(0) (x + ip ) a = p e (x ip ) p H =!(N + ) a(t) = a(0) exp ( i!t) a (t) =a (0) exp (i!t) [x(t)+ i p(t)] = p [x(0) + i p [x(t) i p(t)] = p [x(0) i! são independentes do tempo p(0)] exp ( i!t) p(0)] exp (+i!t)

13 Evolução temporal do oscilador dividindo pelas constantes multiplicativas, [x(t)+ temos: [x(t) i i p(t)] = [x(0) + p(0)] exp ( i!t) i p(t)] = [x(0) i p(0)] exp (+i!t) e recombinando as equações, x(t) =x(0) cos!t + p(0) sin!t temos: p(t) = x(0) sin!t + p(0) cos!t A evolução temporal dos operadores de Heisenberg é exatamente igual a das coordenadas canônicas da mecânica clássica 3

14 Evolução temporal do oscilador Forma alternativa de obter x(t). Use: x(t) =exp iht iht x(0) exp, com auxílio de: exp ig A exp ig, que pode ser escrito na forma: A + i [G, A]+ i [G, [G, A]] in n [G, [G, [G... [G, A]...]]] e utilizado! n! [H, x(0)] = i p(0) m repetidas vezes com [H, p(0)] = i x(0) Olhando : Cuidados especiais com nossas interpretações x(t) =x(0) cos!t + p(0) sin!t p(t) = x(0) sin!t + p(0) cos!t ficamos tentados a acreditar que hxi e hpi oscilam no tempo com frequência!. Errado!, pois hn x ni = 0 e hn p ni = 0 n. Esperado? sim. O valor médio de uma observável com respeito a estados estacionários não muda com o tempo: hbi = ha 0 exp (+ i E i a0t)b exp ( E a 0t) a0 i = hbi = ha 0 B a 0 i 4

15 Cuidados especiais com nossas interpretações Oscilações clássicas? Só quando misturamos estados estacionários Exemplo: i = c 0 0i + c i h x(t) i = h x(0) i cos!t + {z } h p(0) i sin!t {z } Se um deles for diferente de zero, oscila Como construir um pacote que oscila como o clássico e não espalha (muito ) com o tempo? É um exercício da lista (problema.9) mostrar que: a i = resolve o problema, onde X i = f(n) ni, com f(n) = nn exp ( n), e n a parte inteira de um n! n=0 valor médio. Para resolver o problema.9 da lista, veja: Quantum Mechanics, Merzbacher, 3a. edição, página 0-3. Para dispersão, Quantum Collision Theory, Joachain, página i

16 Cuidados especiais com nossas interpretações 6

17 Equação de onda dependente do tempo de Schrödinger Queremos examinar o estado,t 0 ; ti na representação das coordenadas. Em outras palavras, analisar a função de onda: (x 0,t)=hx 0,t 0 ; ti, onde o,t 0 ; ti é um ket estado, dentro do enfoque de Schrödinger, no instante t e hx 0 é um autobra de x com autovalor x 0. A Hamiltoniana do problema será dada por: H = p + V (x) e para m facilitar, trataremos potenciais locais, que tem a definição: hx 00 V (x) x 0 i = V (x 0 ) 3 (x 0 x 00 ) Note que poderia ser dependente do tempo mais complicado hx 00 V (x) x 0 i = v (x 00 )v (x 0 ) (não local, mas separável) dependente do momento p.a + A.p, etc. Nestas condições, a equação de 0; ti = H,t 0 ; ti (x 0,t)= m r0 (x 0,t)+V (x 0 ) (x 0,t) 7

18 Equação de onda dependente do tempo de Schrödinger Uma das propriedades mais interessantes da equação de 0; ti = H,t 0 ; ti na sua forma geral acima ou na representação das coordenadas, abaixo: (x m r0 (x 0,t)+V (x 0 ) (x 0,t) é que elas são lineares: uma combinação de soluções é uma solução. Em outras palavras, se,t 0 ; ti é solução, e,t 0 ; ti é solução, a combinação c,t 0 ; ti + c,t 0 ; ti também é, c e c. O mesmo vale na representação das coordenadas. Se (x 0,t) é solução, e (x 0,t)é solução, a combinação c (x 0,t)+c (x 0,t) também é, c e c. Isso vale para um contínuo de soluções: Z (x 0,t)= de 0 g(e 0 ) E 0(x 0,t), também é solução, desde que cada uma das E 0(x 0,t) também seja uma solução. Éissoquepermitea construção dos pacotes que tenho apresentado nas animações.