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1 Propriedades Corpusculares da Radiação First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

2 Vamos examinar dois processos importantes nos quais a radiação interage com a matéria: Efeito fotoelétrico Efeito Compton Em cada caso observaremos evidências experimentais de que a radiação se comporta como uma partícula em sua interação com a matéria.

3 Heinrich Hertz, no final do século 19, descobriu que uma descarga elétrica entre dois eletrodos ocorre mais facilmente quando se incidir sobre um deles luz ultravioleta. Hertz não levou adiante sua investigação, mas muito outros o fizeram. P. Lenard, em 1900, desviou esses raios por intermédio de um campo magnético e verificou que eles possuíam uma razão entre a carga e a massa, da mesma grandeza da medida por Thomson para raios catódicos (e/m).

4 a) O Efeito Fotoelétrico A figura abaixo mostra um diagrama esquemático de um aparelho de efeito fotoelétrico

5 O fenômeno que Lenard observou: 1. A luz de freqüência ν ilimina a placa de metal P. 2. A corrente i produzida pelos elétrons arrancados pode aumentar ou diminuir, dependendo do valor de V = V ext + V CP. (V CP é a ddp induzido pelo fato da placa e coletor serem, usalmente, de materiais diferentes). 3. Quando V for suficientemente negativo os elétrons serão repelidos do coletor e a corrente será zero. 4. Como vemos na figura abaixo haverá um potencial de corte V 0 onde a corrente será zero.

6 1. O potencial V 0 está relacionado com a energia cinética dos elétrons emitidos. ( ) 1 K max = 2 mv2 = ev 0. max Este resultado é mostra que V 0 é independente da intesidade da luz incidente! Este resultado era surpreendente. 2. Na figura abaixo vemos que há uma freqüência de corte ν 0

7 Assim vemos que há três aspectos do efeito fotoelétrico que não poden ser explicados pela teoria ondulatória clássica da luz (TOCL): 1. A teoria ondulatória requer que a amplitude do campo elétrico oscilante E da onda luminosa cresça se a intensidade da luz for aumentada. I E 2 A força aplicada ao elétron é F e = ee, isto sugere que a K deveria crescer se I aumentar. Como vemos K max independe da intensidade I. 2. De acordo com a TOCL, o efeito fotoelétrico deveria ocorrer para qualquer freqüência, desde que a intensidade da luz fosse suficientemente intensa. Isto não occore como vemos há uma freqüência de corte. 3. De acordo com a TOCL a medida que a luz incide sobre o metal o elétron leveria um tempo absorvendo energia até ser emitido, entretanto nenhum retardo na emissão foi observado.

8 A explicação de Einstein para o efeito fotoelétrico: 1. Einstein considerou a quantização da energia usada por Planck no problema do corpo negro era uma característica universal da luz. Ao invés de se distribuir uniformemente pelo espaço no qual ela se propaga, a energia luminosa é composta de quanta discretos de energia hν chamados de fótons. 2. Quando um fóton incide na placa, toda energia deste fóton é transferida para o elétron. 3. Se w (chamada de função trabalho) é a energia necessária para remover. Assim a energia de um fóton para arrancar um elétron é hν = ev 0 + w Esta é conhecida como a equação de Einstein.

9 Exercício: Obter a função trabalho para o sódio da figura anterior. Solução: A interseção da linha reta na figura com o eixo horizontal é o limiar de freqüência ν 0 = 4, s 1. Substituindo esta freqüência na expressão w 0 = hν 0 temos w 0 = (6, J s) (4, s 1 ) = 2, J = (2, eV J) = 1, 82 ev 1, J O mesmo valor é obtido prolongando a curva até o eixo vertical. Para a maioria dos metais o valor da função trabalho para a emissão termoiônica é da ordem de poucos elétrons-volt.

10 Exercício: O comprimento de onda limite para o potássio é 558 nm. Qual é a função trabalho para o potássio? Qual é o potencial de freamento quando é usada a luz de comprimento de onda de 400 nm? Considere que esta luz tenha uma potência igual a 10 2 W/m 2. Estime o intervalo de tempo, para a emissão de elétrons, esperado classicamente (considere o raio típico de um átomo como r = m).

11 Solução: A função trabalho w 0 é w 0 = hν 0 = hc = (6, J s)( m/s) λ m = ( eV J) = 2, 22eV 1, J A energia de um fóton de comprimento de onda 400 nm é = 3, J E = hc λ = (6, J s)( m/s) = 4, J m = (4, eV J) = 3, 10eV 1, J

12 Portanto, o potencial de freamento é a energia cinética máxima dos elétrons emitidos (mv ) 2 = E w 0 = 3, 10eV 2, 22eV = 0, 88eV. 2 máx A energia total que atinge um átomo no tempo t será E = ( 10 2 W/m 2) (πr 2 ) t = (3, J/s) t = (3, eV J/s) 1, J t = (1, ev/s) t Igualando esta energia a w 0 temos o valor para t t = 2, 22eV 1, ev/s = 1131, 21 s = 18, 85min De acordo com a previsão clássica, nenhum átomo poderia emitir um elétron antes de 18,85 min a partir do instante da iluminação. De acordo com o modelo de fótons da luz cada fóton tem energia suficiente permitindo a emissão imediata de um elétron. Devido à baixa intensidade há poucos fótons incidentes por segundo, portanto é muito baixa a probabilidade de um certo átomo absorver um fóton e emitir um elétron.

13 b) O Efeito Compton A natureza da corpuscular da radiação foi confirmada em 1923 pelas experiências de Arthur Holly Compton na universidade de Washington em St. Louis. Ele incidiu raios X de comprimento de onda λ sobre um alvo de grafite, como é visto na figura abaixo

14 Mediu-se a intensidade dos raios X como função de seu comprimento de onda λ para vários ângulos de espalhamento. O resultado que Compton obteve é visto na figura abaixo First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

15 Vemos que, embora o feixe incidente seja composto por apenas um único comprimento de onda λ, o feixe de radiação espalhado tem máximos em dois comprimentos de onda: Um deles é o mesmo que o comprimento de onda λ. O outro λ é maior por uma quantidade λ. Este deslocamento λ = λ λ é chamado de deslocamento de Compton e varia com o ângulo segundo o qual os raios X espalhados são observados. No modelo clássico: a presença de λ não pode ser compreendida se os raios X são considerados como sendo uma onda eletromagnética. O campo elétrico oscilante com freqüência ν (da onda incidente) faz oscilar os elétrons com a mesma freqüência. Estes elétrons, por sua vez, ao oscilar emite radiação com freqüência igual a ν.

16 Compton interpretou os resultados experimentais considerando que o feixe incidente de raios X não era uma onda eletromagnética, mas sim um conjunto de fótons com energia E = hν. O momento de um fóton pode ser calculado da relação geral entre a energia relativística total e o momento p E = c 2 p 2 + (m 0 c 2 ) 2. Para um fóton a massa de repouso é zero: m 0 = 0, daí temos mas λ = c/ν, assim p = E/c = hν/c, p = h λ.

17 Compton ainda supôs que: O espalhamento era devido a colisões entre fótons e elétrons do alvo, pois foi observado que a freqüência ν era independente do material que constituía o alvo. Isto implicava que o espalhamento nao envolvia átomos inteiros. Os elétrons que participavam do processo de espalhamento estavam livres e inicialmente em repouso. Esta hipótese se justifica se considerarmos que a energia de um fóton de raio X é várias ordens de grandeza maior do que a energia de um fóton de ultravioleta. Este fóton de ultravioleta tem energia comparável à energia mínima com que um elétron está ligado em um metal.

18 Vamos considerar agora a colisão de um fóton com um elétron livre e estacionário como na figura abaixo First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

19 O fóton incide da esquerda com uma energia total relativística E 0 e um momento p 0 que incide sobre um elétron estacionário de energia de repouso m 0 c 2. O fóton é espalhado por um ângulo θ e o elétron por um ângulo φ. O fóton se afasta com energia relativística E 1 e momento p 1 enquanto o elétron recua com energia cinética T e momento p.

20 Por conservação de momento temos p 0 = p 1 cos θ + p cos φ p 1 sin θ = p sin φ Elevando ao quadrado essas equações obtemos Expandindo a primeira equação (p 0 p 1 cos θ) 2 = p 2 cos 2 φ p 2 1 sin 2 θ = p 2 sin 2 φ. p p 2 1 cos 2 θ 2p 0 p 1 cos θ = p 2 cos 2 φ Somando esta última equação com a penúltima obtemos ( p p 2 1 cos 2 θ + sin 2 θ ) 2p 0 p 1 cos θ = p ( 2 cos 2 φ + sin 2 φ )

21 ou seja p p 2 1 2p 0 p 1 cos θ = p 2. Agora pela conservação da energia total relativística temos portanto mas de acordo com p = E/c, temos E 0 + m 0 c 2 = E 1 + T + m 0 c 2 T = E 0 E 1 T = c(p 0 p 1 ). Na equação E = c 2 p 2 + (m 0 c 2 ) 2 fazendo E = T + m 0 c 2 temos ( T + m0 c 2)2 = c 2 p 2 + (m 0 c 2 ) 2 ou ainda T 2 + (m 0 c 2 ) 2 + 2T m 0 c 2 = c 2 p 2 + (m 0 c 2 ) 2

22 que simplifica para T 2 + 2T m 0 c 2 = c 2 p 2 ou T 2 /c 2 + 2T m 0 = p 2. Subtituindo p 2 = p p 2 1 2p 0 p 1 cos θ T = c(p 0 p 1 ) deduzidos antes na última equação temos (p 0 p 1 ) 2 + 2m 0 c(p 0 p 1 ) = p p 2 1 2p 0 p 1 cos θ que se reduz a p p 2 1 2p 0 p 1 + 2m 0 c(p 0 p 1 ) = p p 2 1 2p 0 p 1 cos θ ou 2p 0 p 1 + 2m 0 c(p 0 p 1 ) = 2p 0 p 1 cos θ

23 ou ainda m 0 c(p 0 p 1 ) = p 0 p 1 (1 cos θ) dividindo por m 0 c p 0 p 1 última equação temos 1 1 = 1 (1 cos θ). p 1 p 0 m 0 c Multiplicamos esta equação por h, equação de Compton lembrando que p = h/λ, obtemos a onde λ c = λ = λ 1 λ 0 = λ c (1 cos θ) h m 0 c = 2, m = 0, 0243 o A que chamado de comprimento de onda Compton do elétron.

24 Exercício: Considere um feixe de raios X com λ = 1 A o e também um feixe de raios γ vindo de uma fonte de Cs 137 com λ = 1, Å. Se a radiação espalhada pelos elétrons livres é observada a 90 o do feixe incidente: (a) Qual é o deslocamento Compton em cada caso? (b) Que energia cinética é cedida ao elétron em cada caso? (c) Que percentagem da energia do fóton incidente é perdida na colisão em cada caso? Solução: (a) O deslocamento Compton para o ângulo θ = 90 o é λ = h 6, (1 cos θ) = m 0 c = 2, m = 0, 0243 o A Js 9, kg m/s Este resultado é independente do comprimento de onda incidente e vale tanto para os raios X quanto para os raios γ.

25 (b) A enegia cinética cedida para o elétron pode ser obtido por conservação de energia então como λ = λ + λ temos de forma que hc λ = hc λ = hc λ + T T = hc λ + λ + T hc λ λ(λ + λ)

26 Para o feixe de raios X temos (com λ = 1 o A ) T = 6, Js m/s 2, m m (1 + 0, 024) m = 4, eV J = 0, 295 KeV 1, J = 4, J Para um feixe de raios γ, com λ = 1, Å. T = 6, Js m/s 2, m 1, m (0, , 0243) m = 5, J = 5, eV J = 378 KeV 1, J

27 (c) A energia do fóton do raios X incidente é E = hc λ = 6, Js m/s = 1, J m = 1, eV J = 12, 4 KeV 1, J A energia perdida pelo fóton é igual à ganha pelo elétron 0,295 KeV de forma que a perda percentual de energia é 0, 295 KeV 12, 4 KeV 100% = 2, 4%

28 A energia do fóton de raios γ, com λ = 1, o A incidente E = hc λ = 6, Js m/s = 1, J 1, m = 1, eV J 1, J = 660KeV A energia perdida pelo fóton é igual à ganha pelo elétron 378 KeV de forma que a perda percentual de energia é 378 KeV 660 KeV 100% = 57% Portanto os fótons mais energéticos são aqueles que sofrem maior perda percentual de energia.

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