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1 Ondas II F-228 UNICAMP

2 Superposição de ondas Resumo de ondas mecânicas Superposição de ondas Exemplos Representação matemática Interferência Batimento Ondas estacionárias.

3 Resumo: onda progressiva A formula y x, t Acos kx t descreve uma onda harmônica de amplitude A se movendo na direção +x. y l A x Cada ponto na onda oscila na direção y com movimento harmônico simples de frequência angular. O comprimento de onda é: A velocidade da onda é: v l k 2 k A quantidade k é chamada número de onda.

4 A equação de onda A equação de onda em 1D 1 v t y x y 0 1 v 2 k 2 2 De fato ela é válida para qualquer tipo de onda

5 Princípio da superposição Suponhamos que duas ondas caminham em uma corda Se y x, t e y x, t 1 2 são as ondas que a corda poderia experimentar se cada uma estivesse só, quando as duas ondas atuam simultaneamente, a onda resultante é x t y x, t y x t y,, 1 2 Este é o princípio da superposição de ondas, consequência direta do fato que a Eq. de onda é uma equação diferencial linear

6 Interferência construtiva Ondas que se somam sem diferença de fase

7 Interferência Construtiva

8 Interferência construtiva Quando duas ondas iguais chegam ao mesmo ponto, elas se somam!

9 Interferência destrutiva Ondas combinantes com uma diferença de ½ comprimento de onda.

10 Subtração de ondas

11 Duas ondas Quando os máximos chegam ao mesmo ponto, se cancelam!

12 Duas ondas y A interferência de duas ondas x, t Asinkx t e y x, t Asin kx t 1 2 y A x, t y x, t y x, t 1 2 sinkx t Asinkx t Onde é a diferença de fase entre as ondas. usando sina sinb 2cos a b 2 sin a b 2

13 Duas ondas amplitude fase y x, t 2Acos sin kx t 2 2 Se = 0, cos 0 = 1 e a amplitude é 2A. Interferência construtiva Se =, cos /2 = 0 e a amplitude é 0. Interferência destrutiva

14 Interferência... Duas ondas Interferência construtiva Interferência destrutiva Exemplo

15 Em mais de uma dimensão... Explorem tudo: uma fonte, duas fontes, uma fenda, duas fendas...

16 Interferência de duas fendas Construtiva: diferença no caminho = múltiplos de l

17 Interferência de duas fendas Destrutiva: diferença no caminho = múltiplos de l/2

18 Interferência: 2 fontes pontuais L L L 2 1 L L 2 2 l l Diferença de fase S 2 L 1 P m 2, para m0,1,2,... Interferência totalmente construtiva S 1 L 2 2m1, para m 0,1,2,... Interferência totalmente destrutiva

19 Batimento Batimentos variação periódica da intensidade de dois sons tocados juntos. A frequência de batimento é igual à diferença na frequência dos dois sons. y 1 = A sin(2f 1 t) y 2 = A sin(2f 2 t)

20 Batimento y y 1 y 2 2Acos2 f 1 2 f 2 t sin 2 f 1 2 f 2 t A onda resultante é uma onda de freqüencia f med = (f 1 + f 2 )/2, com um envelope com freqüência f b = f 1 - f 2. A freqüência do envelope é chamada freqüência de batimento (nome óbvio ao ouvir os sons). 330 Hz senoidal (E na escala cromática igualmente temperada). 330 Hz Hz. (resulta em uma freqüencia de batimento de 1 Hz.) 330 Hz Hz. (resulta em uma freqüencia de batimento de 10 Hz.) Batimentos são geralmente usados para afinar instrumentos. A freqüência desejada é comparada com a freqüência do instrumento.

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22 Reflexão de ondas Cordas com uma extremidade fixa: Pulso refletido retorna invertido com relação ao incidente Cordas com uma extremidade solta Pulso refletido retorna igual ao incidente.

23 Reflexão de ondas Reflexão das ondas depende da diferença entre a impedância característica do meio em ambos lados de uma interface. Quanto maiores forem as diferenças na impedância, maior será a fração de energia refletida, e portanto menor a fração de energia transmitida Reflexão em uma interface suave-dura Reflexão em uma interface dura-suave

24 Ondas estacionárias y duas ondas idênticas se propagando em sentidos contrários x, t Asinkx t y x, t Asinkx t 1 e 2 A superposição y A x, t y x, t y x, t 1 2 sinkx t Asinkx t Usando de novo a relação sina sinb 2cos a b 2 sin a b 2

25 Ondas estacionárias Amplitude depende de x y x, t 2Asinkxcos t Variação temporal da amplitude Esta não é uma onda progressiva, não tem o termo (kx-t). Isto é uma onda estacionária. Existem pontos que são sempre nulos, onde kx 0,, 2,...

26 Formação de Ondas Estacionárias Uma onda incidente em uma corda com extremidade fixa (A) encontra uma onda refletida (B) com a mesma amplitude e frequência, gerando uma onda estacionária (C). Note que a onda estacionária de um comprimento de onda tem três nós e dois anti-nós.

27 Formação de ondas estacionárias

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29 Cordas Vibrantes Ondas Estacionárias: Quando ondas refletidas se somam com ondas incidentes. Criam uma forma de nós e anti-nós. Nós: Lugares de amplitude nula (ondas se cancelam mutuamente). Anti-Nós: Lugares onde as cristas e vales produzem distúrbios que rapidamente se alternam, para cima e para baixo. Frequência Fundamental: O onda mais longa que pode formar uma onda estacionária em uma corda tem um comprimento de onda que é duas vezes maior que o comprimento da corda. Esse comprimento de onda maior tem a menor frequência, e é chamado de frequência fundamental. A frequencia fundamental determina a altura (pitch) do som, e é chamado também primeiro harmônico.

30 Freqüência Fundamental Uma corda esticada de um dado comprimento tem um número possível de frequências ressonantes. A frequência mais baixa é chamada fundamental, f 1 ; As demais frequências, ou sobretons, são conhecidas como frequências superiores (a fig. mostra f 2 e f 3 ).

31 Ondas estacionárias

32 Harmônicos em cordas Nós nas extremidades! No caso de instrumentos, o som é Amplificado pelas caixas acústicas desses instrumentos (violão, piano, etc...) f v l v 2L

33 Ondas estacionárias: tubos (antecipando ondas sonoras)

34 me=wavessound_introsound.xml

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37 Descrição em termos de deslocamento do ar

38 Ondas estacionárias: tubos abertos l1 L 2 v f1 2L L l f 2 v 2 f L L l3 2 3v f 3 f 2L 2 1 (esta descrição está sendo feita em termos dos deslocamentos de ar. A pressão tem o comportamento oposto)

39 Ondas estacionárias em tubos com uma extremidade fechada L v f L l L v f f L l L v f f L l (esta descrição está sendo feita em termos dos deslocamentos de ar. A pressão tem o comportamento oposto)

40 l1 L 2 v f1 2L L f 1 l1 4 v 4L

41 Ondas estacionárias: som Ondas estacionárias nesses tubos abertos têm anti-nós de deslocamento na extremidade aberta, onde o ar é livre para vibrar.

42 Ondas estacionárias em 2D: membranas Membrana retangular Modo (1,1) Modo (1,2) Modo (2,1) Modo (2,2)

43 Ondas estacionárias em 2D: membranas Membranas quadradas

44 Membranas circulares Membrana circular - tambores Modo (0,1) Modo (1,1) Modo (2,1)

45 Ondas bi e tridimensionais Para ondas bi e tridimensionais estaremos preocupados com frentes de onda, ou seja, a largura completa da crista da onda. O raio é uma linha desenhada na direção do movimento, perpendicular à frente de onda. k Ondas planas k e esféricas Cristas de ondas

46 Ondas bi e tridimensionais k k r r ). cos( ), ( t r k A t r ) cos( ), ( ), ( t k r r A t r t r

47 Princípio de Huygens Cada ponto do espaço age como uma nova fonte pontual de emissão quando atingida por uma frente de onda. A envoltória das novas frentes ( frentes secundárias) são as frentes de onda ulteriores.

48 Reflexão de ondas Lei da reflexão: o ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência

49 Reflexão de ondas Parede lisa Parede rugosa

50 Refração de ondas Causada pela variação da velocidade da onda quando cruza dois meios com características diferentes. Lei de Snell: sin v sin 1 2 v 1 2

51 Difração de ondas Objetos interagem com a onda sonora das seguintes maneiras: Objetos que são menores que 1/6 do comprimento de onda são transparentes ao som. Objetos com tamanhos comparáveis ao comprimento de onda espalham ou difratam a onda sonora Objetos com tamanhos de mais de 5-10 comprimentos de onda refletem a onda sonora

52 Difração de ondas Como conseguimos às vezes escutar atrás de um muro?

53 Podemos rever tudo no PhET Mas tem um outro exemplo fascinante...

54 Um GPS etnográfico...

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57 Identificação de padrões de ondas refletidas e refratadas para localização de ilhas no Pacífico.

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