Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 21

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1 Aula 1 Ondas sonoras harmônicas Na aula passada deduzimos a equação de onda para ondas sonoras propagando-se em uma dimensão. Vimos que ela pode ser escrita em termos de três variáveis medidas em relação ao equilíbrio: deslocamento, variação da pressão e variação da densidade. As equações de onda unidimensionais para essas três variáveis são (lembre-se que elas são válidas para a mesma onda sonora): Deslocamento : Pressão : Densidade : x u ( δp) x ( δρ ) t 1 v 1 v v t u ( δρ ) t ( δρ) x, (1), (). (3) Note que elas são idênticas à equação de onda unidimensional que obtivemos antes para a corda vibrante. Portanto, todos os fenômenos vistos quando estudamos ondas na corda vibrante também ocorrerão para ondas sonoras propagando-se em uma dimensão. Por causa disso, nesta aula vamos estudar apenas alguns aspectos ondulatórios peculiares ao som. 1

2 Aula 1 Vamos considerar inicialmente a equação (1), em que a onda sonora é descrita como uma onda de deslocamento. Para facilitar a descrição matemática, vamos tomar a solução de (1) dada por uma onda sonora harmônica propagando-se para a direita 1 ( kx ω + ϕ ) u ( x, t ) U cos t. (4) Nesta equação, U é a máxima amplitude que o deslocamento u de uma partícula do meio pode atingir. O comprimento de onda é dado por π λ (5) k e a frequência é dada por ω f π 1, (6) T onde T é o período. A frequência e o comprimento de onda estão relacionados por f λ v, (7) onde v é a velocidade de propagação do som no meio, dada por v P ρ. (8) 1 Como a equação (1) é uma equação de onda, sabemos que a onda harmônica da equação (4) é uma solução de (1). Da mesma forma, uma onda harmônica propagando-se para a esquerda também é solução.

3 Aula 1 Vamos agora considerar a onda sonora em termos das suas representações como onda de pressão e como onda de densidade. Comecemos com a representação como onda de pressão. A questão de interesse aqui é: se a onda de deslocamento é a onda harmônica dada por (4), qual será a expressão para a onda de pressão correspondente? Sabemos que ela também será uma onda harmônica, pois fisicamente não faz sentido o comportamento ser harmônico em termos do deslocamento e não ser harmônico em termos da pressão. Porém, será que a onda harmônica de pressão terá a mesma fase que a onda harmônica de deslocamento? E a amplitude, qual será o seu valor? Estas são as perguntas que queremos responder a seguir. Para responder às perguntas acima, vamos obter uma expressão para a onda sonora harmônica de pressão diretamente da equação (4) para a onda harmônica de deslocamento. Para tal, lembremos que na aula passada, deduzimos as seguintes expressões (equações 5 e 1 da aula ): e δp dp δρ dρ (9) 3

4 Aula 1 Substituindo (1) em (9): u δρ ρ ( x, t) x. (1) dp u δp ρ ( x, t) dρ x. (11) Lembrando que a velocidade de propagação da onda é (equação 8) v P ρ, podemos escrever u P ρv ( x, t) x Derivando a equação (4) em relação a x: u x δ. (1) ku sen ( kx ω t + ϕ ) e substituindo em (1) obtemos a expressão desejada: onde ( kx ωt + ϕ) δp sen( kx ω ϕ) δ P ρ v kusen t + max, (13) δ P v ku (14) max ρ é a amplitude da onda harmônica de pressão (o valor máximo que a variação da pressão em relação ao equilíbrio pode atingir). 4

5 Aula 1 Portanto, a onda harmônica de pressão está defasada de π/ em relação à onda harmônica de deslocamento (dizemos que elas estão em quadratura). Podemos entender fisicamente a origem da defasagem de 9 o entre as ondas de pressão e de deslocamento analisando a figura abaixo. No gráfico de cima, temos como o deslocamento u varia com a distância x no instante t (equação 4). No gráfico de baixo, temos a variação da pressão δp em função da distância x também para o instante t (equação 13). 5

6 Aula 1 Note que a variação da pressão está defasada em relação ao deslocamento por 9 o. No desenho entre os dois gráficos, temos, na parte de cima, as posições de algumas partículas do meio no equilíbrio, antes da ocorrência da onda (bolinhas brancas). Na parte de baixo do desenho, as mesmas partículas da parte de cima são mostradas deslocadas conforme o deslocamento determinado pelo gráfico de u (bolinhas negras). Setas foram desenhadas para ilustrar por quanto cada partícula foi deslocada. Observe que as partículas nas posições em que u não sofrem qualquer deslocamento e que as partículas nas posições em que u é máximo ou mínimo sofrem os maiores deslocamentos. Correspondentemente, vemos pelo gráfico da variação da pressão que os casos em que u podem ser: o de máxima pressão (quando as partículas se deslocam em direção à partícula parada) ou o de mínima pressão (quando as partículas se afastam da partícula parada). Já os casos em que u é máximo ou mínimo correspondem às situações em que a pressão está no valor de equilíbrio, pois o afastamento das partículas para um lado é compensado pela aproximação das partículas pelo outro. 6

7 Aula 1 Poderíamos também descrever a onda harmônica em termos da onda de densidade. Isto, no entanto, é desnecessário, pois pela equação (9) vemos que as variações de pressão e de densidade são diretamente proporcionais, δp δ P v δρ δρ v, de maneira que o comportamento da onda de densidade é igual ao da onda de pressão, diferindo apenas na amplitude: ( kx ωt + ϕ) δρ sen( kx ω ϕ) δρ ρ kusen t + max. (15) Portanto, basta usar as representações da onda sonora como onda de deslocamento ou como onda de pressão para estudá-la. Vamos agora usar as expressões para as ondas de deslocamento e de pressão obtidas acima para calcular a intensidade da onda sonora harmônica. A intensidade de uma onda é definida como a energia média transportada pela onda por unidade de área perpendicular à sua direção de propagação e por unidade de tempo. Como estamos considerando o caso de uma onda sonora harmônica unidimensional, o cálculo da intensidade da onda é muito parecido 7

8 Aula 1 com o feito na aula 17 para obter a intensidade de uma onda harmônica propagando-se pela corda. Consideremos novamente a situação da aula (página 8) em que a onda sonora está passando por um tubo cilíndrico imaginário de área de seção reta A. Consideremos uma região desse tubo imaginário que, no equilíbrio, ocupa um volume igual a A x, de maneira que a massa de fluido nele contida é M ρ A x. Certifique-se de que você entende porque usamos ρ e não ρ para calcular esta massa. Supondo que a onda sonora é harmônica, a energia cinética média da quantidade de fluido de massa M é igual à sua energia potencial média. Portanto, a energia total média da quantidade de fluido é igual à sua energia cinética máxima: E 1 u M t Da equação (4) temos que de maneira que u t 1 max u ρa x t ( kx ωt ϕ ) ω Usen +, u t max max. (16) ωu. (17) 8

9 Então, Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 1 E 1 ρ ω A x U. (18) A taxa com que essa energia é transferida é a potência média da onda sonora harmônica: P E 1 x ρ ω t 1 ρ A U Av U (19) t e a intensidade é a potência dividida pela área da seção reta do tubo imaginário I P 1 ρ ω v U. () A Compare esta expressão com a da intensidade de uma onda harmônica numa corda vibrante (equação 37 da aula 17). Observe que nos dois casos a intensidade é proporcional à densidade do meio, à velocidade de propagação da onda, ao quadrado da frequência e ao quadrado da amplitude (no caso aqui, da onda de deslocamento). ω Usando a equação (14), podemos também expressar a intensidade em termos da amplitude da onda de pressão. A equação (14) implica que 9

10 Aula 1 U δp max k ρ v δp ρ vω max, (1) onde se usou a relação ω vk. Substituindo (1) em () temos I 1 ( δp ) max ρ v. () Note que a intensidade da onda sonora harmônica, expressa em termos da amplitude da onda de pressão, continua a ser proporcional ao quadrado da amplitude da onda, mas não depende da frequência. Este resultado sugere que para medir I é mais conveniente usar detectores de variação de pressão do que de deslocamento. Exemplo: O som mais baixo que o ouvido humano pode detectar a uma frequência de 1 Hz corresponde a uma intensidade de aproximadamente 1, 1-1 W/m (o chamado limiar de audibilidade). O som mais alto que o ouvido humano pode tolerar corresponde a uma intensidade de aproximadamente 1, W/m (o chamado limiar de dor). Vamos calcular as amplitudes das ondas de pressão e de deslocamento associadas a esses dois limites. 1

11 Aula 1 Primeiramente, consideremos o caso do limiar de audibilidade. Usando a equação () e tomando v 343 m/s para a velocidade do som no ar e ρ 1,9 kg/m 3 como a densidade do ar, obtemos 5 δ Pmax ρvi,97 1 N/m. (3) Como a pressão atmosférica vale aproximadamente P 1 5 N/m, este resultado nos diz que o ouvido humano pode discernir flutuações relativas de pressão tão pequenas quanto P max P P δp P max (,3%) O deslocamento máximo associado ao limiar de audibilidade pode ser calculado da equação (1) δpmax U ρ vω 5,97 1 N/m 11 1, ( 1,9 kg/m )( π 1 s )( 343 m/s). m. (4) Este é um número verdadeiramente muito pequeno! Ele é menor que o diâmetro típico de um átomo (1-1 m)! Portanto, o ouvido humano é um detector de ondas sonoras extremamente sensível. Passando agora para o limiar de dor, fica como exercício para casa determinar que as amplitudes de pressão e de deslocamento correspondentes são, respectivamente e P 3 N/m ~ 3 1 atm 4 δ max (5) 11

12 Aula U 1,1 1 m ~ 1 1 mm. (6) Este exemplo ilustra bem o fato de que a intensidade depende da frequência, pois o ouvido humano consegue suportar uma variação de pressão bem maior que atm sem sentir dor. Por exemplo, quando estamos submersos alguns metros dentro d água chegamos a tolerar aumentos de pressão de até,5 atm. Isto porque nesse caso a frequência é zero, ou seja, a pressão é estática. O exemplo acima nos mostra quão ampla é a faixa de intensidades que o ouvido humano pode detectar: de 1-1 W/m a 1 W/m. Como essa faixa de intensidades é muito larga, é conveniente usar uma escala logarítmica para expressar as intensidades sonoras. Define-se o nível de intensidade sonora β como I β 1log I, (7) onde a constante I é a intensidade de referência, tomada como a intensidade do limiar de audibilidade, 1 I 1, 1 W/m, (8) e I é a intensidade em W/m correspondente ao nível de intensidade sonora β. 1

13 Aula 1 A unidade de nível de intensidade é o decibel (db), nome dado em homenagem ao inventor escocês, naturalizado norte-americano, Alexander Graham Bell ( ). Nesta escala, o nível de intensidade do limiar de audibilidade é I β 1log I e o nível de intensidade do limiar de dor é db 1 β 1log 1 db 1 1 (9). (3) A exposição prolongada a altos níveis de intensidade sonora pode causar sérios danos ao ouvido. Por exemplo, recomenda-se o uso de protetores auriculares (ou protetores de ouvido) quando se fica muito tempo exposto a níveis de intensidade sonora acima de 9 db. A tabela abaixo dá valores típicos de intensidade sonora para algumas fontes sonoras. Antigamente Graham Bell era tido como o inventor do telefone. Atualmente, sabe-se que o verdadeiro inventor (até prova em contrário) foi o italiano Antonio Meucci ( ), que vendeu a patente de sua invenção para Graham Bell em

14 Aula 1 Fonte do som β (db) Avião a jato próximo 15 Britadeira; metralhadora 13 Sirene; Show de rock 1 Trem de metrô; cortador de grama 1 Tráfico pesado 8 Aspirador de pó 7 Conversa normal 5 Zunido de um mosquito 4 Sussurro 3 Farfalhar de folhas 1 Um fenômeno ondulatório comum tanto a ondas na corda vibrante como a ondas sonoras em uma coluna de ar é o de ondas estacionárias. O mecanismo físico pelo qual ondas estacionárias são geradas em uma coluna de ar é o mesmo pelo qual elas são geradas na corda vibrante. Ondas sonoras harmônicas propagando-se em sentidos opostos no interior da coluna de ar interferem e produzem ondas estacionárias. 14

15 Aula 1 No caso da corda as ondas são transversais e no caso da coluna de ar as ondas são longitudinais, mas como nos dois casos a equação de onda é unidimensional a matemática usada na análise é a mesma. Quando ocorre uma onda estacionária em uma coluna de ar, os deslocamentos de todas as partículas do ar oscilam com a mesma frequência. Portanto, cada onda estacionária corresponde a um modo normal de oscilação do sistema. Assim como no caso das ondas estacionárias na corda, os diferentes modos normais das ondas estacionárias na coluna de ar podem ser arranjados em ordem crescente de frequência. O modo normal de menor frequência é chamado de fundamental (ou primeiro harmônico) e os modos subsequentes são chamados de segundo harmônico, terceiro harmônico, etc. Vamos considerar colunas de ar que podem ter uma de suas extremidades fechada ou aberta. A outra extremidade é sempre aberta para que a onda sonora, supostamente gerada fora da coluna, possa entrar na coluna. O que acontece com as variáveis que estamos usando para caracterizar a onda sonora (deslocamento de partículas e variação da pressão) na extremidade aberta ou fechada de uma coluna de ar? 15

16 Aula 1 A extremidade fechada da coluna de ar é um nodo de deslocamento, pois a parede da coluna impede que moléculas de ar se movam através dela. Uma consequência disso é que na extremidade fechada de uma coluna de ar a onda sonora refletida está defasada de 18 o em relação à onda incidente (a situação é análoga à da reflexão de uma onda na extremidade fixa de uma corda). Vimos anteriormente nesta aula que, no caso de ondas harmônicas, a onda de pressão está defasada de 9 o em relação à onda de deslocamento. Portanto, a extremidade fechada de uma coluna de ar é um ventre (ou antinodo) de pressão. Isto significa que na extremidade fechada de uma coluna de ar a variação da pressão é máxima. A extremidade aberta de uma coluna de ar é um nó de pressão, pois ela está aberta para a atmosfera e o ar na fronteira entre a coluna e a atmosfera tem que estar à mesma pressão da atmosfera. Usando novamente o fato de que as ondas de pressão e de deslocamento estão em quadratura, o resultado acima implica que a extremidade aberta de uma coluna de ar é um ventre de deslocamento. Isto implica que uma onda sonora refletida na extremidade aberta não muda de fase em relação à onda incidente. 16

17 Aula 1 Os dois últimos resultados enunciados acima para extremidades abertas de colunas de ar não são exatos. A extremidade aberta de uma coluna de ar não é exatamente um ventre de deslocamento ou um nodo de pressão. Quando uma região de condensação de ar chega à extremidade aberta de uma coluna de ar, ela passa um pouco para fora da coluna antes de ser refletida. Para uma coluna de ar de seção reta circular e paredes finas, a extremidade aberta só pode ser considerada um ventre de deslocamento se ao comprimento L da coluna for adicionada uma correção terminal de aproximadamente,6r, onde R é o raio da coluna. Isto faz com que o comprimento efetivo da coluna de ar seja um pouco maior que o seu comprimento real. No que se segue, porém, vamos desprezar esta correção e continuar considerando que a extremidade aberta da coluna é um ventre de deslocamento e um nodo de pressão. Vamos agora aplicar os resultados vistos acima para obter as ondas estacionárias possíveis para dois tipos de colunas de ar: (1) com as duas extremidades abertas; e () com uma das extremidades fechada e a outra aberta. Por razões históricas, vamos chamar esses dois casos de (1) tubo de órgão aberto; e () tubo de órgão fechado. Nos dois casos, o comprimento do tubo será L. 17

18 Aula 1 Vejamos primeiro o caso do tubo de órgão aberto. Vamos fazer nossa análise usando a representação em termos de ondas de deslocamento. Como as duas extremidades do tubo de órgão neste caso estão abertas, a análise feita acima nos diz que as extremidades são ventres de deslocamento. Portanto, não importa o modo normal considerado, olhando para as extremidades do tubo teremos algo como o mostrado esquematicamente na figura abaixo. Observe que nas duas extremidades há ventres de deslocamento. No interior do tubo, por outro lado, ainda não sabemos como esses deslocamentos se comportam. Sabemos, porém, que eles devem variar como ondas harmônicas estacionárias, ou seja, seu perfil espacial deve ser como no desenho abaixo. O problema a ser resolvido, portanto, pode ser visto como um problema geométrico: de quantas maneiras possíveis pode-se construir ondas harmônicas estacionárias como a acima (com 18

19 Aula 1 comprimentos de onda maiores ou menores) que caibam dentro do comprimento L tubo e tenham ventres nas duas extremidades? Tente resolver este exercício em casa. Mostramos abaixo as três primeiras maneiras possíveis de se resolver o problema (as três primeiras ondas estacionárias). O pedaço de cor vermelha na figura de cima tem apenas finalidade didática: Ele mostra o resto do comprimento de onda, que não existe porque a onda termina na extremidade do tubo. A partir das figuras acima, podemos generalizar e dizer que num tubo de órgão aberto os comprimentos de onda possíveis são dados por λ n L ( n 1,,3, K) n (31) 19

20 Aula 1 e as frequências correspondentes (as freqüências dos modos normais) são onde nv f n nf1 ( n 1,,3, K) L, (3) v f 1 L. (33) Vejamos agora o caso do tubo de órgão fechado. Vamos obter os modos normais para este caso de uma maneira diferente da feita acima para o tubo de órgão aberto. Ao invés de usar um método geométrico e fazer uma indução, vamos usar o mesmo método analítico usado na aula 16 quando determinamos os modos normais da corda vibrante. Vamos considerar que o tubo de órgão fechado é como o mostrado na figura abaixo, ou seja, a sua extremidade fechada está em x e a sua extremidade aberta está em x L.

21 Aula 1 Como estamos interessados em ondas estacionárias, sabemos que a onda de deslocamento deve ser da forma (lembre-se da aula 16) com u x, t) U ( x) cos t ( ω + ϕ) ( (34) U ( x) a cos + ( kx) bsen( kx). (35) As condições de contorno para este problema são U () U ( L) U max, (36) pois a extremidade fechada é um nodo de deslocamento e a extremidade aberta é um ventre de deslocamento. A condição de contorno para x implica que a constante a em (35) é zero. Logo, ( kx) U ( x) bsen. (37) A única maneira de esta equação satisfazer a condição de contorno para x L é que b U max e A condição (38) implica que kl sen ( kl ) 1. (38) n π ( ímpar) n. (39) Como k π/λ, esta condição pode ser reescrita como 1

22 Aula 1 λ 4L n ( n ímpar) n. (4) Estes são os comprimentos de onda possíveis das ondas estacionárias em um tubo de órgão fechado. As frequências possíveis são, portanto nv f n ( n ímpar) 4L, (41) com a frequência fundamental sendo dada por f v 1. (4) 4L Note que apenas os harmônicos ímpares da série harmônica estão presentes neste caso: f n nf ( n 1,3,5, ). (43) 1 K Os três primeiros harmônicos desta série estão mostrados na figura abaixo.

23 Aula 1 3

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