Movimento Harmônico Simples: Exemplos (continuação)

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1 Movimento Harmônico Simples: Exemplos (continuação) O Pêndulo Físico O chamado pêndulo físico é qualquer pêndulo real. Ele consiste de um corpo rígido (com qualquer forma) suspenso por um ponto O e que pode girar livremente (sem atrito) em torno desse ponto. A figura abaixo ilustra um pêndulo físico. O centro de gravidade (CG) do corpo está situado a uma distância s de O. Na posição de equilíbrio, quando o pêndulo está na vertical, o ponto CG está localizado abaixo de O ao longo da linha vertical. Quando o corpo oscila, seu deslocamento em relação à vertical é descrito pelo ângulo θ como indicado no desenho. 1

2 Vamos supor que a massa total do corpo é m e que o seu momento de inércia em relação a O é I. Quando o corpo está na posição indicada pelo desenho, o seu peso provoca um torque restaurador em relação a O dado por τ = s( mg sen θ ). (1) O sinal negativo decorre do fato de que a direção positiva é a que se afasta da vertical. A equação de movimento para o corpo é ou seja, que rearranjando nos dá I d θ τ = Iα = I, dt d θ = mgs sen θ, dt d θ mgs + sen θ = dt I 0. () Notem que esta equação é idêntica à equação de movimento para um pêndulo simples (equação (10) da aula passada) se fizermos o comprimento do pêndulo simples ser igual a I l =. (3) ms

3 Na realidade, o pêndulo simples é um caso particular do pêndulo físico em que toda a massa m está concentrada a uma distância l de O. Neste caso, a distância s entre o CG deste sistema e o ponto de suspensão O é igual a l e o momento de inércia do sistema em relação a O é I = ml. Substituindo estes valores em (3) obtemos uma identidade. O ponto do corpo que está a uma distância l de O está indicado por C na figura. Como visto acima, se toda a massa do corpo estivesse concentrada em C e ele estivesse ligado a O por um fio sem massa teríamos um pêndulo simples equivalente, do ponto de vista dinâmico, ao pêndulo físico. O ponto C é denominado de centro de oscilação do pêndulo físico. A observação de que um pêndulo físico com toda a sua massa m concentrada no seu centro de oscilação é equivalente a um pêndulo simples foi feita por Huygens em seu tratado sobre o relógio de pêndulo (ver aula passada). No caso de pequenas oscilações, a equação de movimento para o pêndulo físico torna-se d θ mgs + θ = dt I 0. (4) 3

4 Esta é a equação de um MHS com A frequência das oscilações é mgs ω =. (5) I e o período é f T 1 mgs = (6) π I I = π mgs. (7) A equação (7) nos sugere um método para determinar o momento de inércia de um corpo de forma complicada. Vamos supor que seja possível determinar o centro de gravidade do corpo, por exemplo, por testes de equilíbrio. Conhecendo-se o CG do corpo, este é colocado para fazer pequenas oscilações em torno de um eixo passando por um ponto O. Mede-se então o período T das oscilações de pequenas amplitudes e a distância s entre o ponto O e o CG do corpo. Como também temos a massa m do corpo, a única variável desconhecida em (7) é o momento de inércia I em relação a O. O valor de I, portanto, pode ser determinado por substituição direta dos valores das demais variáveis em (7). 4

5 Líquido em Um Tubo em Forma de U Um sistema físico com comportamento oscilatório similar ao de um pêndulo é um líquido no interior de um tubo em forma de U. Seja um líquido de densidade ρ no interior de um tubo em forma de U como na figura abaixo. A seção reta do tubo é A e o comprimento total da coluna de líquido é l. Portanto, a massa total de líquido é m = ρal. No equilíbrio, o nível do líquido é o mesmo nos dois lados do tubo, que tomado como a altura de referência y = 0 (veja a figura acima). Vamos considerar que a energia potencial do sistema é nula no equilíbrio: U = 0 quando o nível do líquido é y = 0. 5

6 Vamos supor que a coluna de líquido é posta para oscilar no interior do tubo. Vamos assumir que cada pedaço do líquido se move com a mesma velocidade v = dy/dt. Uma situação como a da figura, em que a altura do nível de líquido baixa de y no lado esquerdo e aumenta de y no lado direito, corresponde a uma situação imaginária em que um bloco de líquido de massa ρay é levantado por uma altura y do lado esquerdo e transportado rigidamente para o lado direito, sendo colocado sobre a coluna neste lado. Como isto resulta na elevação de um bloco de líquido de massa ρay por uma altura y, a energia potencial do sistema aumenta para U ( y ) Agy = ρ Ay. gy = ρ. Tomando a situação da figura como a do instante inicial, a coluna líquida passa, a partir daí, a oscilar em torno da posição de equilíbrio com velocidade v = dy/dt. A energia cinética da coluna é então 1 dy K = ρ Al dt. Desprezando forças dissipativas, a energia mecânica total do líquido se conserva. Ela é, 6

7 E 1 dy = ρ Al + ρagy. (8) dt Comparando esta expressão com a da energia do pêndulo simples na aproximação de pequenas oscilações, 1 ld θ 1 = m mω ( lθ ), E + dt vemos que elas são idênticas fazendo-se e 1 ρag = mω ρ Al = m. Combinando estas duas equações, temos que g ω =. (9) l As oscilações de um líquido em um tubo em forma de U equivalem às oscilações harmônicas de um pêndulo simples de comprimento l/. Este resultado foi deduzido pela primeira vez por Newton ( ) nos Principia. 7

8 Corpo Flutuando Quando um corpo flutuando em um líquido é ligeiramente abaixado ou levantado em relação à sua posição de equilíbrio, aparece uma força restauradora igual ao aumento ou à diminuição do peso do líquido deslocado pelo corpo (lei do empuxo de Arquimedes, que será vista mais adiante neste curso). Por causa disso, o corpo passa a oscilar em relação ao nível original. No caso em que a parte do corpo que oscila tem seção reta constante, como na figura abaixo, as oscilações constituem um MHS. A figura mostra um densímetro afundado por uma altura y em relação à sua posição de equilíbrio. 8

9 Vamos supor que a massa do densímetro é m, que a densidade do líquido no qual ele está imerso é ρ e que a seção reta da parte do densímetro que oscila é A. Desta forma, quando o densímetro está afundado por y, o volume de líquido deslocado é Ay e o seu peso é ρgay. O densímetro sofre uma força para cima (contrária ao seu deslocamento) dada por ρgay. Uma situação análoga ocorre quando o densímetro está acima do líquido por uma altura y em relação à linha de flutuação de equilíbrio. A equação de movimento para o densímetro de massa m é então m d y dt = ρgay ou d y dt ρga + y m = 0. (10) A solução desta equação é um MHS com ρga ω =, (11) m f 1 ρga = (1) π m 9

10 e T m = π ρga. (13) 10

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