Primeira Série de Física de Partículas

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1 Primeira Série de Física de Partículas João Pela, n o ; Manuel Nascimento n o ) Uma partícula A com energia A colide com partículas B em repouso produzindo-se n partículas C 1, C 2,..., C n. Pretende-se determinar, em função das massas das várias partículas, a energia mínima que A tem que ter para que esta reacção seja possível. squematicamente temos, no referencial do laboratório (em que B se encontra em repouso) e no referencial do Centro de Massa (CM): Figure 1: squemático da colisão a considerar no referencial do laboratório e no referencial do centro de massa. Note-se que: No ref. do CM p i = 0 e p f = 0 Qual é, então, a condição limite? No referencial do CM vê-se claramente que a energia mínima A corresponde à situação em que todas as partículas finais C i se encontram em repouso. Assim, toda a energia A será utilizada apenas na criação das partículas e não desperdiçada sob a forma de energia cinética. Por conveniência de cálculo, utilizaremos o quadrivector momento, definido por: p k = mu k, em que u k = (γ u, iγc), de onde p k = ( p, i c ), sendo p as 3 componentes do momento linear. Utilizamos ainda a invariância (valor constante para todos os referenciais de inércia) da pseudonorma de p k, definida por p k = k pk p k = p 2 x+p 2 y+p 2 z ( c )2 Sem perda de generalidade, assumimos a = T a + m a c 2 e que, no referencial do laboratório, p a e x. Assim, antes da colisão, no referencial do laboratório temos: p k total = (p, 0, 0, i( a + m b c 2 )) (1) c Após a colisão, no referencial do CM temos (lembrando que a condição limite é p Ci = 0): 1

2 n p k total = (0, 0, 0, i( m C i c 2 )) = (0, 0, 0, i( c m Ci c)) (2) A invariância da pseudonorma de p k implica: p k total = pk total ou seja: p 2 ( a c + m C i c) 2 = ( m Ci c) 2 (3) Utilizando a relação energia-momento usual 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4, substitui-se p 2 na expressão anterior. No referencial do laboratório tem-se: 2 a = p 2 c 2 + m 2 ac 4 p 2 = 2 a c 2 m2 ac 2 (4) Assim, desenvolvendo o quadrado (do 2 o termo do membro esquerdo da eq. 3), vem: 2 a c 2 m2 ac 2 2 a c 2 2 am b m b c 2 = ( a (2m b ) = ( m Ci c) 2 m Ci c) 2 (m 2 a + m 2 b)c 2 a = ( n m C i c) 2 (m 2 a + m 2 b )c2 2m b (5) 14) A variação do índice de refracção de um gás ideal com a pressão é dada por: (n 1) = (n 0 1) P P 0 (6) Para H 2 tem-se que (n 0 1) P =P0=1atm = 1, Pretende-se utilizar dois detectores de Cherenkov, C 0 e C 1, constituídos por gás de H 2 às pressões de 1 atm de 0.8 atm, respectivamente. Assim, os índices de refracção vêm, respectivamente: C 0 : (n 0 1) = (n 0 1) 1 1 = 1, n 0 = 1 + 1, n 0 = C 1 : (n 1 1) = (n 0 1) n 1 = , n 1 = a) A radiação de Cherenkov é a radiação emitida quando uma partícula carregada atravessa um dieléctrico com uma velocidade superior à velocidade da luz no meio. A passagem de partículas carregadas perturba o campo electromagnético do meio, deslocando e polarizando os átomos. Quando estes regressam ao equilíbrio dá-se emissão de fotões, que constituem a radiação de Cherenkov. É um fenómeno análogo ao sonic boom, como observado na fig 2. 2

3 Figure 2: Radiação de Cherenkov: Frentes de onda esféricas criadas por uma partícula com velocidade menor (à esquerda) e maior (à direita) do que a luz nesse meio. Para v > c n surge uma onda de choque electromagnética, que se move numa direcção dada pelo ângulo de Cherenkov θ c As frentes de onda geradas fazem um ângulo θ c com a direcção de propagação da partícula tal que cosθ c = 1 βn, em que β = v c e n é o índice de refracção do meio. A velocidade da luz no meio é dada por: v = c n. Assim a condição de Cherenkov vem: v > c n β > 1 n Para analisar a separação de e, µ e π numa cadeia de dois Cherenkov C 0 e C 1 pretende-se determinar os momentos p mínimos a partir dos quais se observa radiação de Cherenkov num e noutro detector. Sabemos que: = γmc 2, p = γmv Assim verifica-se que: cp = γmc2 cγmv = 1 β β = pc Utilizando o quadrado da última equação e substituindo 2 através da conhecida relação 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 vem: β 2 = p 2 c 2 p 2 c 2 + m 2 c 4 p 2 c 2 + m 2 c 4 = p 2 c 2 β 2 p 2 [c 2 (1 β 2 )] = m 2 c 4 p 2 = m2 c 2 1 β 2 m p = 2 c 2 β 2 1 Da condição de Cherenkov β > 1 n, tem-se que, no caso limite (velocidade mínima necessária): (7) (8) 3

4 β = 1 n β2 = 1 n 2 β 2 = n 2 (9) Substituindo β 2 na expressão para o momento e utilizando como unidades para a massa ev/c 2 e para o momento ev/c, vem: p = m n2 1 Utilizando as massas das partículas: m e = 0.511MeV/c 2, m µ = MeV/c 2 e m π = MeV/c 2 obtêm-se como momentos mínimos: Detector C 0 Detector C 1 p e = GeV/c p e = GeV/c p µ = 6.360GeV/c p µ = 7.110GeV/c p π = 8.401GeV/c p π = 9.393GeV/c (10) Assim, utilizando um feixe de partículas de momento conhecido, é possível discutir de que partícula se trata por observação ou não de radiação de Cherenkov. 14b) Pretende-se calcular o número de fotões e a energia radiada na banda do visível ( nm) por um electrão de p=6 GeV/c no Cherenkov C 0, de 6m de comprimento. O número de fotões emitidos por unidade comprimento na radiação de Cherenkov é dado por: d 2 N ddx 370Z2 sin 2 θ c ()[ev 1 cm 1 ] (11) de onde, considerando a interacção ao longo do gás constante ( dx = 1), N γ 370Z 2 L 2 1 (1 1 β 2 )d (12) n2 m que Z = 2 (H 2 ) e L é o comprimento do detector, 600cm, e n = n 0. Mudando a variável de integração para o comprimento de onda: [ev ] = [SI]/e = hc λe (13) d = hc λ 2 (14) e Atendendo a que varia inversamente com λ, os limites de integração alternam e vem: N γ Z2 370Lhc (1 1 λ1 e β 2 n 2 ) 0 λ 2 λ 2 = Z2 370Lhc e em que λ 1 = m e λ 2 = m (1 1 λ2 β 2 n 2 ) 0 λ 1 λ 2 (15) 4

5 É necessário substituir β 2 no integral. Sabendo que = γmc 2 e p = γmv, tem-se que: cp = γmc2 cγmv = 1 β β = pc β2 = p2 c 2 2 (16) Utilizando a conhecida relação 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 fica: β 2 = p 2 c 2 p 2 c 2 + m 2 c 4 p 2 β2 = p 2 + m 2 c 2 (17) Substituindo β 2 no integral e avaliando-o obtém-se então: N γ = 325, fotões emitidos em C 0 na banda do visível. Para a energia, basta ver que se calculou anteriormente: e, assim, para virá: N = λ2 λ 1 (18) = λ2 λ 1 d (19) em que d = hc λ é a energia de cada fotão emitido por radiação de Cherenkov. Assim obtém-se: = 370Z2 Lh 2 c 2 (1 1 λ2 e β 2 n 2 ) 0 λ 1 λ 3 = J = 792, 723eV (20) energia radiada na banda do visível. 5