Sistema de Partículas e Conservação da Quantidade de Movimento Linear

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1 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Sstea de Partículas e Conseração da Quantdade de oento Lnear ota Alguns sldes, fguras e eercícos pertence às seguntes referêncas: HALLIDAY, D., RESICK, R., WALKER, J. Fundaentos da Físca. V. 4a.Edção. Ed. Lro Técnco Centífco S.A. 00; TIPLER, P. A.; OSCA, G. Físca. Volue, 5a Ed, Ro de Janero: LTC - Lros Técncos e Centífcos, 006; da Sla, E. Z, et al., Curso de Físca Geral F-8 ;

2 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Segunda Le de ewton para ssteas: centro de assa: ponto do sstea que se oe coo se toda a assa do sstea e todas as forças eternas atuantes sobre o sstea estesse concentradas nele. Teorea do pulso-quantdade de oento: conseração da quantdade de oento lnear - le unersal da físca! Fonte:

3 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Centro de assa Consdere duas partículas de assas e e ua densão: Eeplos: (a) Defnos o centro de assa, c, por C onde = + é a assa total do sstea. C C (b) C C Generalzando, para ssteas co duas partículas, o centro de assa é u ponto nteredáro entre e : C 3

4 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Eeplo Consdere que duas partículas, cujas assas são e, esteja a ua dstânca d ua da outra, confore fgura abao. Calcule o centro de assa do sstea forado pelas duas partículas. Consdere que a partícula de assa esteja localzada na orge dos eos cartesanos. C C C d d C (0) C d C C d d C d 0 d d 4

5 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Centro de assa O centro de assa é u ponto no espaço que oenta-se coo se fosse ua únca partícula co assa gual à soa das assas das partículas do sstea e que estesse sob a força eterna resultante que atua sobre o sstea (soa das forças eternas que atua sobre todas as partículas do sstea). 5

6 Generalzação para partículas: C C C z z z z z y y y y y C r r Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear 6 C Generalzação para 3 densões: k j ˆ ˆ ˆ C C C C z y r

7 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Eeplo Seja u sstea coposto de corpos contínuos unfore, co assas A = kg e B = 3kg. Suponha que a posção do centro de assa de cada corpo seja conhecdo, sendo Encontre o centro de assa do sstea. Podeos substtur o corpo A pela sua assa concentrada no seu C, e o corpo B pela sua assa concentrada no seu C e então calcular o centro de assa dessas duas partículas equalentes. Ou seja, r c r ca A r ˆ 8j ˆ; r 9ˆ 7ˆ. j c A A B B r c B cb r c 3 r c ˆ 8 ˆj 6, ˆ 3 9ˆ 7, 4j ˆ 7 ˆj 7

8 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Energa Potencal Grataconal de u Sstea A energa potencal grataconal de u sstea de partícula é gual à energa potencal grataconal do centro de assa consderando que toda a assa do sstea esteja concentrada neste ponto. Consderando que a -ésa partícula esteja posconada a ua altura h e relação a u níel qualquer de referênca, a altura do centro de assa do sstea, por defnção, será h C h A energa potencal grataconal do sstea será U gh g h U gh c 8

9 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Energa Potencal Grataconal de u Sstea U gh c Este resultado pode ser utlzado para se encontrar a posção do centro de assa de u corpo sóldo eperentalente: a não ser que apoeos o corpo eataente no centro de assa, este corpo rá grar para atngr a enor energa potencal possíel. Isto ocorre quando o centro de assa ester na posção as baa possíel daquela confguração. 9

10 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear r c Centro de assa de corpos contínuos unfores Se u corpo consste de ua dstrbução contínua de assa, podeos dd-lo e porções nfntesas de assa d e a soa transfora-se nua ntegral: C y C ˆ r c r c yd d c ˆ y ˆ j (ˆ z C c ˆj y yd yj ˆ c d kˆ kˆ zk)d ˆ zd zd r C rd 0

11 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Centro de assa de corpos contínuos unfores OTA r C rd d dl e D da e D dv e 3D Para corpos cujas assas são dstrbuídas unforeente: L A V constante constante constante

12 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Obtenção do centro de assa por ntegração Barra Esbelta Unfore r C rd ( î)( d) î 0 0 r C ( L î ) L L d constante Coo, neste caso, λ é constante, tereos λ = /L, ass r C L î( ) Lî c L

13 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Obtenção do centro de assa por ntegração Aro secrcular = R cos θ y = R sen θ r C rd ( ˆ yj ˆ) d r C R(cos ˆ sen ˆ) j Rd 0 constantes R 0 (cos ˆ sen ˆ) j d Coo λ é constante, tereos λ = /πr. Ass r C R ( sen ˆ cos ˆ) j R 0 R ˆj 3

14 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Eercíco 4

15 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Eercíco r C 4R 3 ˆ 4R 3 ˆj 4R 3 ˆ ˆj 5

16 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear oento do centro de assa O oento dos ssteas aca é uto coplcado, as o centro de assa descree ua parábola coo ua partícula. O c segue a esa trajetóra parabólca que sera seguda por ua partícula que tesse a assa total do sstea. Ass, aos tratar o c coo sendo ua partícula de assa (assa total do sstea ou do corpo sóldo). 6

17 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear oento do centro de assa Cálculo da aceleração do centro de assa: d r dt C d r dt d r dt d r dt d r dt a C a as, sabeos da ª Le de ewton que F, res onde F,res é a soatóra de todas as forças atuantes sobre a partícula (eternas e nternas ao sstea). Ass, a a C F, res F,nt F, et 7

18 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear oento do centro de assa as, F,nt 0 pos, para cada força nterna que atua sobre ua partícula, haerá u par açãoreação atuando e outra partícula do sstea, de fora que a soa de todas as forças nternas será nula. Desta fora, F, et a C ou F res, et a C O centro de assa de u sstea se oe coo ua partícula de assa (soa das assas das partículas do sstea), sob a nfluênca da força eterna resultante atuando sobre o sstea. 8

19 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Eeplos h hb hb j ˆ B onde hs é a elocdade do hoen e relação ao solo e BS é a elocdade do balão e relação ao solo. 9

20 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Eeplos Coo o conjunto hoe + balão estaa ncalente e repouso e a resultante das forças eternas é nula, então: c 0 0 ( h B) c h h B B ) 0 h( hb B B B B h h B hb B h h B ˆj E h? de (a) 0

21 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Eeplos depos antes

22 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Eeplos

23 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Conseração da Quantdade de oento Lnear A quantdade de oento lnear, p, de ua partícula é ua quantdade etoral defnda coo: p A a le de ewton pode ser escrta coo: F res d dt d p dt Para objetos co assas dferentes, sabeos que, dentro de u dado nteralo de tepo, é as fácl odfcar o oento do objeto co enor assa. Da esa fora, para objetos co esa assa, as co elocdades dferentes, para u certo nteralo de tepo, será as fácl odfcar o oento do objeto co enor elocdade. Ass, a quantdade de oento lnear é ua grandeza relaconada co o esforço necessáro para se odfcar o oento de ua partícula. 3

24 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Conseração da Quantdade de oento Lnear A quantdade de oento lnear de u sstea de partículas é a soa etoral dos quantdades de oentos lneares ndduas: P sst p p p P sst C Dferencando e relação ao tepo, tereos dp dt sst d dt Coo fo sto anterorente, F res, et C a a C C F res, et d P dt sst 4

25 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Conseração da Quantdade de oento Lnear F res, et d P dt sst Quando a resultante das forças eternas que atua sobre u sstea for nula, não haerá aração da quantdade de oento lnear total do sstea ao longo do tepo, ou P sst c constante se F res,et 0 Esta é a Le da Conseração da Quantdade de oento. A aplcação desta le a alé da aplcação da le da conseração da energa ecânca, ua ez que esta segunda depende das forças nternas sere conseratas. Obsere que a relação aca é etoral, ass, dee-se tratar o problea leando-se e conta as coponentes dos etores enoldos. 5

26 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Eeplos 6

27 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Eeplos 7

28 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Eeplos Eercíco 39 Cap. 9, Hallday, et al., 6ª. edção Ua caldera eplode, partndo-se e três pedaços. Dos pedaços, de assas guas, são arreessados e trajetóras perpendculares entre s, co a esa elocdade de 30 /s. O tercero pedaço te ua assa três ezes a de u dos outros pedaços. Qual o ódulo, dreção e sentdo de sua elocdade logo após a eplosão? y p = ote que Se não há força eterna atuando, a quantdade de oento lnear do sstea de três pedaços rá se conserar; Os etores elocdade dos três pedaços estão todos nu eso plano. Pegareos o º pedaço coo referênca para o cálculo da dreção e sentdo da elocdade do 3º pedaço (ou seja, deereos encontrar o alor de θ 3 ). 3 p 3 = 3V θ 3 θ θ θ + θ = 90 o p = 8

29 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Eeplos antes: p caldera 0 caldera caldera (caldera e repouso) depos: p p p3 pcaldera 0 (conseração da quant. de oento) E y: sen sen o 90 o o 45 o 3 35 o E : cos cos 3V V 3 cos45 o 4 / s 9

30 Energa Cnétca de u Sstea ) ( sst K K Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear 30 A elocdade de cada partícula pode ser representada na fora c u onde c é elocdade do centro de assa e u é a elocdade da partícula e relação ao centro de assa. Ass, ) ( ) ( ) ( c c u u K c c u u ) ( c c u u K

31 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Energa Cnétca de u Sstea K ( ) c c u u as, da defnção de centro de assa, tereos u c u Pos u c representa a elocdade do centro de assa e relação ao própro centro de assa, ou seja, u c = 0. Ass, K c K rel onde K rel = ½ u é a energa cnétca das partículas e relação ao centro de assa. E u sstea solado, F res,et = 0, de fora que c não ara. esta caso, apenas K rel pode arar. 0 3

32 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Colsões O que é ua colsão? Processo e que duas partículas são lançadas ua contra a outra e há troca de oentu lnear e energa. Quereos estudar as possíes stuações fnas depos que as partículas se afasta da regão de nteração. Partículas carregadas aceleradas pelas lnhas de capo agnétco terrestre cra a Aurora (Boreal ou Austral). A essão é causada pela desectação de oléculas da atosfera (tpcaente ogêno erde e erelho - e ntrogêno - erelho) que fora onzadas por colsões co as partículas aceleradas que se orgna no ento solar. 3

33 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Colsões Pode-se estudar os produtos das colsões e suas confgurações fnas co o ntuto de nestgar a natureza das forças. Entretanto, este característcas geras que rege todas as colsões, que são consequêncas das les de conseração de energa e quantdade de oento lnear. Vaos nos concentrar nessas característcas geras. Tpos de colsões: elástcas (K = K f ); nelástca (K K f ); perfetaente nelástca ( f = c ) as partículas peranece undas após a colsão. Se F res,et = 0, então, ndependente do tpo de colsão, deerá haer conseração da quantdade de oento lnear. 33

34 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Ipulso e Força éda Eeplo das colsões de bolas de blhar: as forças de contato são uto grandes e age por curtíssos nteralos de tepo. O pulso I da força é u etor defndo coo t t f I Fdt Ipulso = área debao da cura as, para a resultante de forças sobre ua partícula, tereos, t t f F res dt t t f dp dt dt p p f dp p f p p 34

35 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Ass, I res p Ipulso Teorea do Ipulso Quantdade de oento para ua Partícula Para u sstea de partículas, a resultante das forças eternas é gual à derada teporal da quantdade de oento total do sstea e ass, I t res, et Fres, et t f dt P ss Teorea do Ipulso Quantdade de oento para u Sstea 35

36 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Força éda A força éda é defnda coo F éd t t t f Fdt I t F éd, ou seja, I F éd t Ipulso = área do retângulo t O pulso fornecdo pela força F é equalente ao pulso fornecdo pela força éda no nteralo t. utas ezes, o cálculo de F é coplcado, as é fácl se estar o alor de F ed atraés da aração teporal da quantdade de oento lnear quando se conhece o nteralo de tepo da colsão. 36

37 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Eeplo 37

38 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Eeplo 38

39 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Colsões e D Colsões, quando enole apenas forças nternas, consera o oentu lnear. E a energa? Ebora a energa TOTAL seja sepre conserada, pode haer transforação da energa cnétca ncal (consderareos que ncalente só há energa cnétca) e outras foras de energa (potencal, nterna na fora de brações, calor, perdas por geração de ondas sonoras, etc.). Se a energa cnétca ncal é totalente recuperada após a colsão, a colsão é chaada de COLISÃO ELÁSTICA. Se não, a colsão é chaada de COLISÃO IELÁSTICA. 39

40 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Colsões Perfetaente Inelástcas e D Antes Depos A partícula ncdente gruda na partícula-alo. Pode-se proar que essa stuação representa a perda áa de energa cnétca nua colsão nelástca e ua densão. Da conseração do oentu lnear, tereos: f f C Coo o centro de assa concde co as duas partículas grudadas, elas te que se oer co a elocdade do centro de assa. A energa cnétca fnal é a energa cnétca assocada ao oento do C. 40

41 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Eeplo: Pêndulo Balístco Eeplo 8-4 Cap. 8 - Tpler, 5ª. Edção E ua copetção públca de tro ao alo, ocê atra u projétl (assa ), contra u bloco de adera pendurado (assa ), confore fgura abao. O bloco, co o projétl craado, oscla subndo até a posção ostrada co lnhas tracejadas. Qual a elocdade co que o projétl fo lançado? Consdere que bloco+projétl atnge altura h e relação à posção ncal. Durante a colsão: (conseração do oentu, colsão perfetaente nelástca) Após colsão: () () Subst. () e () (conseração da energa ecânca) 4

42 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Antes Colsões Elástcas e D Depos f f f Das duas equações aca tereos Conseração do oentu lnear f f f ( Conseração de energa cnétca f f O lado dreto da equação aca é a elocdade de aproação dos corpos, enquanto o lado esquerdo equale à elocdade de recessão. Ass, E ua colsão elástca, a elocdade de aproação dee ser gual à elocdade de recessão. ) ou 4

43 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Eeplo Eercíco 7 Cap.8 - Tpler, 5ª. Edção P UC p, = 300/s nuc, = 0 (a) Da defnção de centro de assa: (b) Colsões elástcas: f f Usando a eq. aca na eq. de conser. de oentu: 43

44 Sst. Part e Cons. Quant. o. Lnear Coefcente de Resttução oralente ua colsão não será ne elástca ne totalente nelástca. Para se edr a elastcdade de ua colsão, copara-se a elocdade de recessão co a elocdade de aproação, atraés do coefcente de resttução, defndo coo e f f Para colsões elástcas: e = Para colsões perfetaente nelástcas: e = 0 44

45 Eeplo Eercíco 57 Cap.8 - Tpler, 5ª. Edção: U bloco de 3 kg se oenta para a dreta a 5 /s e u segundo bloco de 3 kg se oenta para a esquerda a /s. Consdere u sstea forado pelos dos blocos. (a) Deterne a energa cnétca total do sstea. (b) Deterne a elocdade do centro de assa do sstea. (c) Deterne a elocdade de cada bloco e relação ao centro de assa do sstea. (d) Calcule a energa cnétca do oento dos blocos e relação ao centro de assa. (e) ostre que a resposta para o te (a) é aor do que a do te (d) por ua dferença gual à energa assocada ao oento do centro de assa. Ou seja, ostre que (a) = /s = 5 /s 45

46 Eercíco 57 Cap.8 - Tpler, 5ª. Edção (b) (c) c u u u 5ˆ c.5ˆ 3,5 / s ˆ u ˆ.5ˆ 3,5 / s ˆ (d) K rel u u u (e) = /s = 5 /s 46

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