Robótica. Prof. Reinaldo Bianchi Centro Universitário FEI 2016

Transcrição

1 Robótca Prof. Renaldo Banch Centro Unverstáro FEI 2016

2 6 a Aula IECAT

3 Objetvos desta aula Momentos Lneares, angulares e de Inérca. Estátca de manpuladores: Propagação de forças e torques. Dnâmca de manpuladores: Equações de Newton e Euler. Capítulo 5 e 6 do Crag.

4 Relembrando aula passada...

5 Propagação das velocdades A propagação da velocdade lnear é dada pelas seguntes equações: Caso a junta seja de rotação: No frame {+1}:

6 Propagando velocdades

7 Resumo da aula passada Propagação das velocdades: Juntas de rotação: Juntas Prsmátcas:

8 Resumo da aula passada Propagação das acelerações: Juntas de rotação: Juntas Prsmátcas:

9 Resumo da aula passada É mportante saber propagar a aceleração lnear em relação ao centro de massa de um elo:

10 Momentos lneares, angular e de nérca

11 Momentos lnear e angular Em sstemas com aceleração retlnea (ou lnear), geralmente falamos da massa de um objeto. Momento Lnear: p mv Em sstemas que gram em torno de um exo, se fala em nérca do objeto. Momento angular: L r p I

12 Torques e Momentos L r F p mv r p I

13 Momento de nérca O momento de nérca de um objeto sobre um exo dado descreve como é dfícl alterar seu movmento angular sobre esse exo. Momento de Inérca de um objeto pontual grando em torno de um exo: 2 I mr

14 Momentos de nérca sobre 1 exo

15 Dstrbução de massa Em um sstema que pode se deslocar em três dmensões, com possbldade de rotação em nfntos exos, é necessáro ter uma manera de caracterzar a dstrbução de massa no corpo rgdo.

16 Tensor de Inerca É a generalzação para 3D do momento de nérca de um objeto. Momento de Inérca de um objeto em relação ao frame {A}:

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18 Exemplo: Tensor de Inerca para o Cubo Exemplo 6.1, pg 169 do lvro do Crag, 2ª. Ed, em nglês.

19 Momentos de nérca sobre 1 exo

20 Momentos de nérca sobre 1 exo

21 Estátca de Manpuladores Estátca: relatvo a corpos em repouso com forças em equlíbro. (Webster dctonary)

22 Calculando forças e torques A natureza dos manpulador nos leva naturalmente a consderar a manera pela qual forças, torques e momentos podem ser propagados de um elo ao próxmo. Como calcular as forças/torques necessáros para manter um manpulador em equlíbro estátco?

23 Relembrando mecânca 1 Força: F ma d dt mv Torque sobre uma partícula: Vetoral: F r m a r Valor escalar: n m a r cos( ) Onde θ é o ângulo entre a força e r

24 Análse Estátca t = é ê ê ê ê ê ë ê t 1 t 2 t 3 t n ù ú ú ú ú ú û ú X Z Com o torque pode-se calcular o tamanho dos motores, o consumo de energa, etc Y n n f

25 Força e Torque em um elo Qual é o torque e a força em um elo, consderando apenas o próxmo elo (sem consderar gravdade e em repouso)? Força: Torque: f n f 1 n P f 1 1 1

26 Força e Torque em um elo

27 Algortmo para cálculo estátco 1) Consdere o manpulador como uma estrutura estátca. 2) Calcule a relação de equlíbro para cada elo. 3) Compute o torque estátco necessáro em cada junta para manter o manpulador em equlíbro: suportando ou não uma carga na ponta.

28 Relações de equlíbro A soma das forças deve ser zero: f = força exercda no elo pelo elo -1 f f 0 1 A soma dos torques deve ser zero: n n P f onde P +1 é a dstânca entre os centros dos frames e +1

29 Relações de equlíbro

30 Relações de equlíbro Para descrever estas relações consderando apenas as forças em um própro frame, adconamos a transformação que leva do frame +1 ao frame : f P n R n f R f

31 Propagando forças f n R R f n P f

32 Torque nas juntas Qual o torque exercdo em cada junta para manter as condções de equlíbro estátco? Junta de rotação: n T Zˆ Junta prsmátca: f T Zˆ

33 Exemplo 1: 2R (pg 155 do lvro )

34 Solução

35 Solução Os torques são: Que podem ser escrtos na forma matrcal:

36 Dnâmca de Manpuladores Dnâmca: Ramo da cênca que trata da ação da força em corpos físcos, em movmento ou em repouso, consderando a cnétca, cnemátca, e estátca todas coletvamente. (Webster dctonary)

37 Les da Dnâmca Les de Newton Les de Euler

38 Les de Newton Le I: Todo corpo contnua em seu estado de repouso ou de movmento unforme em uma lnha reta, a menos que seja forçado a mudar aquele estado por forças aplcadas sobre ele. Le II: A mudança de movmento é proporconal à força motora mprmda, e é produzda na dreção de lnha reta na qual aquela força é mprmda. Le III: A toda ação há sempre uma reação oposta e de gual ntensdade: ou as ações mútuas de dos corpos um sobre o outro são sempre guas e drgdas em sentdos opostos.

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40 Le II: A mudança de movmento é proporconal à força motora mprmda, e é produzda na dreção de lnha reta na qual aquela força é mprmda.

41 Le III: A toda ação há sempre uma reação oposta e de gual ntensdade: ou as ações mútuas de dos corpos um sobre o outro são sempre guas e drgdas em sentdos opostos.

42 Equação de Newton Uma das les de Newton é mportante para Robótca. Se um corpo rígdo possu alguma aceleração em seu centro de massa, ela deve ser causada por uma força externa tal que:

43 Equação de Newton

44 Equações de Euler As equações de Euler descrevem o movmento de um corpo rígdo em rotação em relação aum sstema de referênca de referênca nercal: A dervada do momento angular é gual ao momento dnâmco ou momento de força aplcada:

45 Equação de Euler Seu um corpo rígdo está em rotação grando com velocdade angular ω e. com aceleração ω, então exste um momento externo N que deve estar agndo sobre o corpo para causar esse movmento. Ele é dado pela equação de Euler:

46 Equação de Euler

47 Newton versus Euler F=força (líquda) e N=torque R = matrz de rotação relaconando frame com o nercal

48 Algortmo Iteratvo de Newton-Euler

49 Algortmo Iteratvo de Newton-Euler Como computar os torques correspondentes a qualquer ponto da trajetóra do manpulador em movmento? Dado que a posção, a velocdade e a aceleração das juntas são conhecdas, pode-se calcular os torques necessáros.

50 Algortmo Iteratvo de Newton-Euler O algortmo é teratvo: É necessáro calcular as velocdades e acelerações a cada momento, no centro de massa de cada junta. Nota: F e N = forcas e momentos externos f e n = forcas e momentos aplcados pelas juntas.

51 Algortmo Iteratvo de Newton-Euler Funcona em dos estágos: Outwards: calcula velocdades, acelerações, forças e torques que atuam no centro de massa de cada elo, ndo de elo a elo a partr do elo zero. Inwards: calcula o torque de junta, que deve ser aplcado nas juntas para que o sstema esteja em equlíbro, de cada elo, ndo do ultmo elo para o prmero.

52 Algortmo Iteratvo de Newton-Euler Prmero estágo (outwards): Calcula velocdades e acelerações como já vsto no níco da aula. Força agndo no elo (de Newton): Torque agndo no elo (de Euler):

53 Algortmo Iteratvo de Newton-Euler Segundo estágo (nwards): Calcula as forças e o torque de junta, a partr da condção de equlíbro. Forças: Torques:

54 Estágo de propagação (outwards)

55 Estágo de volta (nwards) S A gravdade pode ser adconada fazendo que a aceleração no elo zero seja gual a g.

56 Exemplo 4: 2R, pg 177 Compute as equações da dnâmca do manpulador 2R. Smplfcação: Assuma que toda massa do elo está na ponta dele.

57 Exemplo 4: 2R, pg 177 As posções dos centros de massa:

58 Exemplo 4: 2R, pg 177 As dstâncas entre os sstemas de referênca: 0 P 1 = 0 1 P 2 = 0

59 Exemplo 4: 2R, pg 177 Como as massas são pontuas, as matrzes de nérca fcam:

60 Exemplo 4: 2R, pg 177 Não exste força atuando na ponta do manpulador (end effector):

61 Exemplo 4: 2R, pg 177 A base do robô está fxa:

62 Exemplo 4: 2R, pg 177 Para nclur a ação da gravdade, usaremos:

63 Exemplo 4: 2R, pg 177 A rotação entre dos elos sucessvos é:

64 Exemplo 4: Propagando elo 1

65 Exemplo 4: Propagando elo 1

66 Exemplo 4: Propagando elo 2

67 Exemplo 4: Propagando elo 2

68 Exemplo 4: Propagando elo 2

69 Exemplo 4: Computando Torque de juntas elo 2 (Inward)

70 Exemplo 4: Computando Força elo 1 (Inward)

71 Exemplo 4: Computando Torque de junta elo 1 (Inward)

72 Exemplo 4: Resultado Retrando as componentes que dependem apenas do exo Z, temos: Equações dão o torque a partr das velocdades e acelerações das juntas.

73 Equação do Movmento

74 Equação de movmento Quando as equações de Newton-Euler são soluconadas smbolcamente para um manpulador, elas geram ur resultado que pode ser escrto como: M ( ) V (, ) G( ) Esta é a equação de espaço-estado do manpulador.

75 Equações de movmento M ( ) V (, ) G( ) M é uma (n x n) matrz de massas do manpulador, com termos dependentes da aceleração. V é um (n x 1) vetor de forças centrífugas e de Corols, dependentes da velocdade. G é uma (n x 1) vetor que contém todos os termos dependentes da gravdade.

76 Exemplo 5: 2R (pg 180) Dado o resultado dos torques do manpulador 2R do exemplo 4, podemos reagrupar os elementos na forma da equação de movmento. A equação de movmento é apenas uma forma mas convenente de escrever o mesmo resultado.

77 Exemplo 5: 2R (pg 180) Dado: Reagrupe os termos que dependem da massa, velocdade de junta e gravdade.

78 Exemplo 5: 2R (pg 180)

79 Exemplo 5: 2R (pg 180)

80 Exemplo 5: 2R (pg 180)

81 Exemplo 5: 2R (pg 180)

82 Exemplo 5: 2R (pg 180)

83 Exemplo 5: 2R (pg 180)

84 Exemplo 5: 2R (pg 180)

85 Exemplo 5: 2R (pg 180) Força Centrífuga Força de Corols

86 Exemplo 5: 2R (pg 180)

87 Exemplo 5: 2R (pg 180)

88 Exemplo 5: Conclusão se torna

89 Conclusão Cnemátca: Dreta: Fácl. Inversa: Analtcamente ou Geometrcamente, de ambas maneras dfícl Estátca: Fácl. Dnâmca: Les de movmento para uso do controle Também um pouco complcado...

90 Intervalo