4. ESTÁTICA E PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS 4.1. INTRODUÇÃO

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1 4. ESTÁTICA E PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS 4.1. INTRODUÇÃO Na Estátca, estuda-se o equlíbro dos corpos sob ação de esforços nvarantes com o tempo. Em cursos ntrodutóros de Mecânca, esse é, va de regra, um dos prmeros tópcos dscutdos, quase sempre em termos da prmera le de Newton para uma partícula e suas váras extensões para a translação e a rotação de corpos rígdos. Por essa abordagem, as condções de equlíbro estão assocadas com somatóros de forças e momentos, somatóros esses que são gualados a zero. Embora esses métodos seam relatvamente smples e funconem bem para problemas elementares, há uma outra abordagem que, no caso de componentes de máqunas, é frequentemente superor. Essa abordagem alternatva recorre ao assm chamado prncípo dos trabalhos vrtuas. Esse prncípo é o mas antgo dos chamados prncípos de energa da Mecânca. Embora sea especalmente útl no estudo de mecansmos, é comumente (e nfelzmente!) omtdo dos currículos dos cursos de Engenhara Mecânca. Os problemas de Estátca podem ser classfcados em dos tpos, dependendo de se a geometra assocada é constante ou não. No prmero tpo, nota-se que a geometra da confguração de equlíbro de um corpo, após a aplcação das forças, é aproxmadamente a mesma de antes dessa aplcação. Váras estruturas cvs, tas como pontes, torres e represas, são exemplos desse tpo. O segundo tpo dz respeto aos casos em que a geometra da confguração de equlíbro pode ser sgnfcatvamente dferente daquela de antes da aplcação das forças. Máqunas e seus componentes são exemplos partculares desse tpo. Problemas assm são frequentemente dfíces de se resolver através da prmera le de Newton, ao passo que o prncípo dos trabalhos vrtuas, aplcável aos dos tpos, é especalmente adequado para esse segundo tpo. As seções subsequentes apresentarão o prncípo dos trabalhos vrtuas para, a segur, se dscutr sua aplcação na análse estátca de mecansmos. 4.. DESLOCAMENTOS VIRTUAIS O prncípo dos trabalhos vrtuas permte a formulação das condções de equlíbro em termos do trabalho, que é uma grandeza escalar. Assume-se que o conceto de trabalho sea famlar. O mesmo não se aplca, contudo, ao termo vrtual. Assm, antes da enuncação do prncípo dos trabalhos vrtuas, algumas defnções e nformações prelmnares precsam ser consderadas. Um conunto de deslocamentos vrtuas (ou smplesmente varações de deslocamentos) é composto de deslocamentos que gozam das seguntes característcas:

2 1. São pequenos (sto é, parcelas de segunda ordem, ou superor, de uma expansão em sére de Taylor são desprezáves).. São arbtráros, mas compatíves com os vínculos nternos e externos do sstema mecânco. Traduzndo este fato para um corpo elástco, dz-se que as condções de contorno geométrcas (vínculos externos) são respetadas e que a confguração assumda pelo corpo é tal que sua contnudade também é respetada, sto é, ela não apresenta fssura ou outros vazos. 3. São deslocamentos da posção verdadera do sstema mecânco (por exemplo, deslocamentos da posção de equlíbro estátco, ou da traetóra verdadera de cada ponto do sstema, num dado nstante). 4. São dferencas, satsfazendo, pos, as regras da dferencação, comuns ao cálculo nfntesmal. 5. Não são deslocamentos verdaderos, sto é, são vrtuas. Esta é, geralmente, a característca que mas confunde. Dzer que não são deslocamentos verdaderos equvale a dzer que não ocorrem efetvamente, sendo, assm, magnáros, ou vrtuas. Portanto, não exste varação de tempo assocada a esses deslocamentos, ou sea, o tempo transcorrdo durante sua ocorrênca é nulo. Para lembrar esta característca, são ordnaramente representados por, em vez de d. A hpótese da compatbldade dos deslocamentos vrtuas com os vínculos sgnfca que as equações de vínculo 4.1, quas seam, k 1 1 p p k f,,..., c, k 1,p n. (4.1) devem ser satsfetas. Acma, f k é uma das (p-n) equações 1. e coordenadas, devdo ao deslocamento vrtual (ou varação) do sstema. são varações vrtuas das Expandndo as equações 4.1 em sére de Taylor e desprezando os termos de ordem segunda e superores (deslocamentos vrtuas pequenos), tem-se p fk k 1 p k 1 f,,..., c, k 1,p n. (4.) Comparando as expressões 1. e 4., chega-se à conclusão de que p fk 0, k 1,p n. (4.3) 1 A expressão 4.3 é uma condção necessára para que os deslocamentos, 1,p, seam compatíves com os vínculos assocados às expressões 1..

3 Nota-se que os deslocamentos (ou varações), = 1, p, são arbtráros, mas não são ndependentes (vde Eq. 4.3). Isto decorre do fato de que as não são coordenadas generalzadas p n, ou sea, não são lnearmente ndependentes. Se as coordenadas na Eq. 1. fossem dependentes do tempo e, mas anda, se o tempo fgurasse como uma varável explícta, ter-se-a k 1 p k f t,..., t, t c, k 1,p n, (4.4) como condções de vínculo. Para um conunto de deslocamentos vrtuas, sera anda possível escrever que k 1 1 p p k f t t,..., t t, t c, k 1,p n, (4.5) devdo à compatbldade dos deslocamentos vrtuas com os vínculos. De novo, desenvolvendo as equações 4.5 em sére de Taylor e desprezando os termos de ordem dos ou acma, tem-se que p fk k 1 p k 1 (t) f (t),..., (t), t (t) c, (4.6) donde se conclu que p fk (t) 0, (4.7) 1 (t) Nota-se anda que, no desenvolvmento da Eq. 4.6, a varável tempo não fo consderada (ou sea, não aparece o termo f / t t ), á que não exste assocação de tempo com os deslocamentos vrtuas. k 4.3. PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS FORMULAÇÃO VETORIAL O prncípo dos trabalhos vrtuas será estabelecdo para um sstema de partículas. A sua generalzação para sstemas com corpos rígdos e/ou elástcos será medata, como se verá adante. Tome-se, pos, uma partícula m de um sstema de partículas, sto é, um sstema consttuído de pontos materas lgados entre s de forma arbtrára, como lustrado na fgura 4.1. Indcando as grandezas vetoras por letras em negrto (como será feto daqu em dante), sea todas as forças que atuam em m. Se a partícula estver em equlíbro estátco, R a resultante de R será nula.

4 Fgura 4.1 Sstema de partículas Uma forma equvalente de se dzer sto é afrmando que o trabalho executado por esta força (nula) ao longo de um deslocamento vrtual é nulo. Ou sea, R r 0. (4.8) onde o símbolo sgnfca produto escalar entre os vetores De um modo geral, R e r. R resulta da soma vetoral de forças externas aplcadas F e forças de nteração f entre as partes do sstema. Portanto, para as N partículas do sstema, tem-se que N F f r 0, (4.9) 1 Como as forças de nteração ocorrem aos pares, de forma colnear, seu trabalho vrtual, para o sstema global, é nulo. Ou sea, N f r 0. Assm sendo, 1 N F r 0, (4.10) 1 A expressão 4.10 é uma representação do prncípo dos trabalhos vrtuas aplcado a um sstema de partículas e dz que se um sstema de forças está em equlíbro, o trabalho vrtual (sto é, devdo a um conunto de deslocamentos vrtuas) das forças aplcadas é nulo PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS FORMULAÇÃO EM COORDENADAS GENERALIZADAS A expressão 4.10 pode ser escrta em função de coordenadas generalzadas, permtndo um aprofundamento de sua compreensão. Se as coordenadas generalzadas descrevem a confguração do sstema, então pode-se escrever, para o sstema, que as posções das partículas são dadas por

5 1 n r r q,q,...q, 1, N. (4.11) Consequentemente, n r 1 q r q (4.1) e a Eq passa a ser dada por ou onde N n F r q 0. q 1 1 Alterando a ordem dos somatóros na expressão acma, obtém-se n N r q 0 F, (4.13) 1 1 q n f q 0 (4.14) 1 N r F (4.15) 1 q f, 1, n. As f, 1,n são dtas forças generalzadas, assocadas, respectvamente, às coordenadas generalzadas q, 1,n. Um sstema com n graus de lberdade tem, pos, n forças generalzadas. As expressões 4.13, ou 4.14, representam o prncípo dos trabalhos vrtuas em coordenadas generalzadas. Como as varações serão satsfetas apenas se, respectvamente, q, 1,n são ndependentes e arbtráras, essas expressões N r F 0, 1,n, (4.16) 1 q ou f 0, 1,n. (4.17) As expressões 4.16, ou 4.17, representam um sstema de n equações em n ncógntas. Quando resolvdo, ele fornece as coordenadas q, 1, n, em função das forças externas aplcadas. Essas equações são, pos, equações de equlíbro estátco. Vê-se, dessa forma, que o

6 prncípo dos trabalhos vrtuas conduz dretamente às condções de equlíbro em função de coordenadas generalzadas. Quando essas condções são resolvdas, obtém-se a confguração espacal de equlíbro do sstema. Face ao exposto, pode-se enuncar o prncípo dos trabalhos vrtuas da segunte forma: De todas as confgurações espacas possíves de um sstema mecânco, respetadas as condções de compatbldade nterna e externa, a confguração de equlíbro é aquela a partr da qual um conunto de deslocamentos vrtuas corresponde a um trabalho vrtual total gual a zero. Este mportante prncípo será agora lustrado com alguns exemplos smples. Exemplo 1: Para o pêndulo duplo da fgura 4., determnar as forças generalzadas a partr da expressão vetoral 4.15, sendo 1 e as coordenadas generalzadas. Da fgura 4., decorre que Fgura 4. Pêndulo duplo F P m g ; F P m g; r l sen l cos ; r l sen l sen + l cos l cos r1 r Como f1 F1 F, tem-se que 1 1 f P m g l cos l sen P m g l cos l sen f P P l cos m m gl sen. (a)

7 r r F F, de modo que 1 Já f 1 0 f P m g P m g l cos l sen, 1 1 modo que f Pl cos mgl sen. (b) As equações de equlíbro são obtdas anulando f1 e f, conforme ndcado por 4.17, de P P cos m m g sen (c) P cos m g sen. (d) Supondo agora 1 e pequenos (em radanos), obtêm-se as expressões acma em forma lnear, quas seam m m g P P (e) m g P. (f) Uma vez conhecdos m 1,m, P1 e P, podem ser determnados, a partr das equações (c) e (d), ou (e) e (f), acma, os valores de 1 e, sto é, a confguração de equlíbro elástco. Exemplo : Para o exemplo anteror, determnar as equações de equlíbro dretamente da expressão vetoral do prncípo dos trabalhos vrtuas, qual sea, a expressão A expressão 4.10 estabelece que N F r 0. 1 Substtundo as expressões do exemplo anteror, tem-se que P 1 m 1 g l 1 c os 1 1 l 1 sen 11 P m g l cos l cos l sen l sen P l cos m gl sen Agrupando os termos, resulta que P l cos l cos m g l sen l sen

8 P l cos P l cos m gl sen m gl sen P l cos m gl sen Como 1 e são ndependentes, os seus fatores são nulos. Logo, P P l c os m m gl sen Pl cos mgl sen 0, que são as expressões á obtdas no exemplo anteror. Exemplo 3: A fgura 4.3(a) mostra um sstema mecânco em equlíbro antes da aplcação do carregamento externo P e, mas abaxo, uma possível (sto é, compatível) confguração deformada, após a aplcação da carga P. Já a fgura 4.3(b) mostra detalhes das forças atuantes. Obter as condções do novo equlíbro estátco, em função das coordenadas generalzadas x e. Fgura 4.3 Sstema com dos graus de lberdade Os trabalho vrtuas, a partr da confguração deformada (fgura 4.3a) são k x x P x asen k x Lsen x Lsen 0. 1 Como os operadores seguem as regras da dferencação, tem-se que k x x P. x a cos k x Lsen x Lcos 0. 1 Agrupando os termos para as varações comuns, obtêm-se 1 k k x k Lsen P x k xl cos k L sen cos Pa cos 0.

9 A equação acma exprme o prncípo dos trabalhos vrtuas escrto em função das coordenadas generalzadas x e e corresponde à expressão Como x e são ndependentes (pos x e são coordenadas generalzadas), decorre que k k x k Lsen P 0 (g) 1 k Lx cos k L sen cos Pa cos 0. (h) As expressões acma correspondem às expressões 4.17 e são equações de equlíbro que, se resolvdas, fornecem a confguração (x, ) em função do carregamento assocado. Partndo agora para a lnearzação das equações, nota-se que x e são nulos nas condções ncas de equlíbro, sto é, na orgem. Esta é uma das condções necessáras para a lnearzação das equações dferencas. Supondo que x e seam pequenos, as molas k1 e k não ultrapassarão o regme elástco lnear, onde vale a le de Hooke. Por outro lado, pequeno sgnfca sen e cos 1, sendo o ângulo expresso em radanos. Nessas condções, as equações acma tornam-se Em forma matrcal, tem-se k k x k L P () 1 k Lx k L Pa. () k1 k kl x P. k Pa L kl 4.5. O PRINCÍPIO DA MÍNIMA ENERGIA POTENCIAL Sea o caso partcular em que o sstema de forças (em equlíbro) que atua sobre uma partícula sea conservatvo. Neste caso, exste uma função, denomnada energa potencal, cua varação (ou sea, algo de caráter vrtual) pode ser escrta da segunte forma: V F r. (4.18) Mas 0 (prncípo dos trabalhos vrtuas). Logo, se o sstema de forças for conservatvo, V 0. (4.19) Assm, se V for uma função das coordenadas x, y e z, ou sea, V(x, y, z), tem-se que V V V V x y z 0. (4.0) x y z

10 Na expressão 4.0, x, y e z são arbtráros, mas compatíves com a vnculação do sstema. Além de arbtráros, x, y e z também são ndependentes. Assm, a expressão 4.0 será satsfeta se e somente se valerem as seguntes relações: V V V 0; 0; 0 x y z. (4.1) As expressões 4.0 são exatamente as condções para que V tenha um valor dto estaconáro. Caso este valor sea um mínmo, as expressões 4.0 dão as condções de equlíbro estável à translação nas dreções x, y e z. A extensão do que fo dto acma para um sstema de partículas é medata. Caso o sstema comporte corpos rígdos, a extensão é também medata, bastando consderar a adção de coordenadas rotaconas e o trabalho executado por momentos externos. As expressões 4.0 representam o prncípo da mínma energa potencal, que dz: Dentre todas as confgurações espacas de um sstema mecânco, confgurações estas que satsfazem as condções de vínculo do sstema (ou sea, que satsfazem as condções de compatbldade nterna e condções geométrcas de contorno), aquelas confgurações que satsfazem as condções de equlíbro tornam a energa potencal estaconára. Se este valor estaconáro for mínmo, o equlíbro é estável. É altamente convenente escrever expressões equvalentes às expressões 4.0 em coordenadas generalzadas. Ou sea, escrever o prncípo em questão em coordenadas generalzadas. Lembrando que V é uma função escalar da confguração do sstema, pode-se escrever que 1 n V V q,...,q, (4.) onde q 1,...,q n são as coordenadas generalzadas do sstema mecânco. Uma vez que as varações seguem as les da dferencação, decorre que n V q. (4.3) 1 q V O equlíbro mplca a estaconardade de V, sto é, V 0. Esta condção só é satsfeta se todas as dervadas parcas em 4.3 forem nulas, posto que os que as q são coordenadas generalzadas). Assm sendo, q são ndependentes (recorda-se V 0 ; 1,n. (4.4) q

11 As expressões 4.4 são as condções de equlíbro do sstema mecânco em coordenadas generalzadas. Defnem, pos, a confguração de equlíbro do sstema. Nesse caso, as ncógntas são as n coordenadas generalzadas do sstema. Nota-se que V / q, 1,n, representa a -ésma força generalzada conservatva em equlíbro. Esta afrmação decorre da comparação da expressão 4.16 com a 4.4. Como as equações são necessaramente equvalentes, conclu-se que f V / q 0, 1,n, no equlíbro. Exemplo 4: Determnar as condções de equlíbro estátco do sstema da fgura 4.3, usando o prncípo da mínma energa potencal. Consderar a força P como conservatva. A energa potencal do sstema, face à defnção apresentada acma, vale 1 1 V x, k1x k x Lsen Px a sen. Pelo prncípo da mínma energa potencal, tem-se que V x, k1x k x Lsen P 0 x V x, k x Lsen Lcos Pa cos 0. É fácl verfcar que estas expressões são dêntcas àquelas obtdas pelo prncípo dos trabalhos vrtuas. Caso não se tenha equlíbro, as dervadas V / q, 1,n, não são, todas, guas a zero. De fato, o trabalho vrtual das forças conservatvas é sempre gual ao negatvo da varação da energa potencal, de modo que V. (4.5) c Mas, de acordo com a exposção feta na seção anteror, n f q, (4.6) c c 1 onde o índce c sgnfca conservatvo. Assm, conservatva. Das expressões (4.3), (4.5) e (4.6), decorre que n V f q q c 1 1 q n f c representa a -ésma força generalzada

12 Como as coordenadas q, 1,n são ndependentes, conclu-se que V f c ; 1, n q (4.7) Caso se tenha equlíbro estátco, a expressão 4.4 é válda, o que mplca dzer que as forças generalzadas conservatvas são nulas nas condções de equlíbro estátco. Caso o sstema tratado no exemplo 3 não estvesse em equlíbro estátco, as forças generalzadas conservatvas (que ncluem as forças aplcadas externas) seram dadas por xc 1 f k x k x Lsen P (k) f k x Lsen L cos Pa cos c. (l) Exemplo 5: Consdere-se o sstema da fgura 4.4(a) em equlíbro, e tome-se, nestas condções, V 0. Fgura 4.4 Sstema com um grau de lberdade Suponha agora que uma força (externa e constante) F sea aplcada, gerando a stuação mostrada na fgura 4.4(b). A energa potencal será 1 V kx Fx. A força generalzada conservatva assocada à coordenada x será V fxc kx F. (m) x

13 Os dos exemplos anterores mostram que as forças generalzadas conservatvas podem ser consderadas como compostas de duas parcelas, a saber: (1) uma exclusvamente devda às forças elástcas e () outra devda às forças aplcadas por fontes externas. Em símbolos, tem-se que f c V q e Vf q (4.8) ou f c f e f f, (4.9) onde o índce e se refere a forças elástcas e o índce f a fontes de forças externas. Esta relação será usada, no próxmo capítulo, na apresentação das equações de Lagrange, vsando o estudo da dnâmca de mecansmos APLICAÇÕES DO PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS EM MECANISMOS Nesta seção, serão dscutdas aplcações do prncípo dos trabalhos vrtuas em mecansmos. Exemplo 6 Mecansmo manvela-alavanca: Sea o mecansmo manvela-alavanca lustrado na fgura 4.5. Os esforços aplcados ao sstema, e que podem realzar trabalho vrtual, são a força vertcal F, que age na extremdade da alavanca, e o momento M, que age na manvela. O sstema está em equlíbro sob a ação desses esforços. Determnar a relação entre F, M e a varável prmára (coordenada generalzada) q na condção de equlíbro estátco. As varáves A e X, ndcadas na fgura 4.5, são varáves secundáras. Fgura 4.5 Mecansmo manvela-alavanca Nesse caso, os trabalho vrtuas são dados por Mq FY 0

14 Nota-se que o trabalho realzado pelo momento M é postvo, uma vez que M e q estão no mesmo sentdo. Já o trabalho da pela força F é negatvo, posto que F e Y estão em sentdos opostos. O mecansmo em tela tem um grau de lberdade, assocado com a coordenada q. Deve haver, portanto, uma relação cnemátca entre q e Y, que poderá ser obtda das equações de posção. As equações de posção são Elmnando X, obtém-se A, de modo que X cos A R cosq C 0 XsenA Rsenq 0 tga Rsenq C R cosq Como a coordenada Y é relaconada à coordenada A por Y LsenA, fca, então, estabelecda a relação, anda que ndreta, entre Y e q. Um deslocamento vrtual em Y é requerdo na expressão dos trabalhos vrtuas e sso demanda uma expressão para um deslocamento vrtual em A em função do deslocamento vrtual da coordenada generalzada q. Esses deslocamentos podem ser obtdos da segunte forma: da CR cos q R A q Kaq q dq C CR cos q R dy CR cosq R Y A Lcos AA L cos A q da C CR cos q R O coefcente de q pode ser nterpretado como o coefcente de velocdade Com a expressão para Y donde resulta que Ky, a expressão dos trabalhos vrtuas pode ser escrta como CR cos q R Mq FLcos A q 0 C CR cosq R dy dq. CR cosq R M FLcos A 0 C CR cosq R Essa equação envolve M, F, A e q. Antes, á se hava relaconado A e q. Se o momento M e a força F são dados, os ângulos q e A podem ser obtdos a partr dessas duas equações. Determnase, assm, a confguração de equlíbro estátco do mecansmo.

15 Exemplo 7 Mecansmo bela-manvela: No mecansmo bela-manvela da fgura 4.6, a bela se estende de uma dstânca H além da conexão com a manvela. O sstema está em equlíbro sob ação das forças F 1 e F e do torque C. O sstema possu um grau de lberdade, assocado com a varável prmára q, ao passo que X 1, X e A são varáves secundáras. Determnar a força F, na extremdade da bela, em termos de F 1, C, A, q e do coefcente de velocdade K a. Fgura 4.6 Mecansmo bela-manvela A expressão dos trabalhos vrtuas para o mecansmo em questão é F1 X1 FX C q ao passo que os deslocamentos vrtuas X 1 e X podem ser expressos por o que mplca 1 X R cos q Lcos A Rsenqq LsenAA da (Rsenqq LsenA q) (Rsenq LKasenA) q ; dq X H cos A R cosq HsenAA Rsenqq a Rsenqq HK senaq (Rsenq HK sena) q. Assm sendo, decorre, da expressão dos trabalhos vrtuas, que F Rsenq LK sena q F (Rsenq HK sena) q Cq 0 1 a a 1 a a F Rsenq LK sena F (Rsenq HK sena) C 0 Da expressão acma, resulta que C F1 Rsenq LKasenA F Rsenq HK sena a a

16 O coefcente de velocdade verfca que Rsenq LsenA, de sorte que e, portanto, K a pode ser obtdo a partr da observação da fgura 4.6, onde se Rsenq A arcsen L da R cosq R cos q Ka. dq L R sen q Lcos A FONTES Mechancs of Machnes, S. Doughty, Wley, 1988; Fundamentos de Vbrações, J. J. de Espíndola, UFSC, 004.