As leis de Kirchhoff. Capítulo

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1 UNI apítulo 11 s les de Krchhoff s les de Krchhoff são utlzadas para determnar as ntensdades de corrente elétrca em crcutos que não podem ser convertdos em crcutos smples. S empre que um crcuto não pode ser reduzdo a um crcuto smples, recorremos às les de Krchhoff. Por meo dessas les, é possível determnar todas as ntensdades de corrente elétrca que percorrem os ramos do crcuto s les de Krchhoff le dos nós e a le das malhas são utlzadas para determnar a dstrbução da corrente nos crcutos elétrcos Potencômetro de Poggendorff O potencômetro de Poggendorff é utlzado para medr a força eletromotrz de um gerador elétrco.

2 Seção 11.1 Objetvos ompreender as les de Krchhoff. plcar as les de Krchhoff para os crcutos elétrcos. Termos e concetos ramo malha s les de Krchhoff le de Poullet permte determnar a ntensdade de corrente num crcuto smples. Quando o crcuto não pode ser reduzdo a um crcuto smples, para a determnação de todas as ntensdades de corrente elétrca recorre-se às chamadas les de Krchhoff*: le dos nós e le das malhas. onsdere uma rede elétrca consttuída de dos geradores, ( 1, ) e ( 2, ), de um receptor, ( 3, r 3 ), e de resstores de resstêncas elétrcas, 1, 2 e 3 (fg. 1) gura 1. ede elétrca. Numa rede elétrca chama-se nó o ponto no qual a corrente elétrca se dvde. No exemplo dado, e são nós. Os trechos de crcuto entre dos nós consecutvos são denomnados ramos. Na rede elétrca dada, os ramos são três:, e. Qualquer conjunto de ramos formando um percurso fechado recebe o nome de malha. No crcuto em questão as malhas são:, e. cada ramo do crcuto atrbuímos um sentdo de corrente elétrca (fg. 2). sse sentdo, embora arbtráro, deve ser coerente com o elemento de crcuto do ramo. Sendo gerador, a corrente entra pelo termnal negatvo e, sendo receptor, pelo postvo. 1 3 r 3 3 eprodução probda. rt.184 do ódgo Penal e Le de 19 de feverero de Undade argas elétrcas em movmento 256 * 1 2 gura 2. 2 prmera le de Krchhoff ou le dos nós estabelece: m um nó, a soma das ntensdades de corrente que chegam é gual à soma das ntensdades de corrente que saem. Krchhoff, Gustav obert ( ), físco alemão que apresentou mportantes contrbuções para a ísca expermental, além de dar tratamento matemátco a numerosos problemas físcos, como, por exemplo, o cálculo da dstrbução de correntes elétrcas em crcutos elétrcos. r 3

3 le dos nós aplcada ao nó fornece: Observe que essa le aplcada ao nó leva à equação. e modo geral, sendo n o número de nós, a le deve ser aplcada para (n 2 1) nós. Para a determnação de, e faltam duas equações. onsdere, então, a malha (fg. 3) e sejam V, V, V e V os potencas elétrcos dos pontos,, e, respectvamente. Percorrendo a malha no sentdo horáro (a), por exemplo, vem: 1 α 1 2 gura 3. 2 V V V V V V V V 0 ] U U U U 0 O resultado consttu a segunda le de Krchhoff ou le das malhas: Percorrendo-se uma malha num certo sentdo, partndo-se e chegando-se ao mesmo ponto, a soma algébrca das ddps é nula. Para a aplcação da le das malhas, observe que num resstor a ddp é do tpo! 3, valendo o snal se o sentdo da corrente concde com o sentdo do percurso adotado e o snal no caso contráro (fg. 4): eprodução probda. rt.184 do ódgo Penal e Le de 19 de feverero de V V gura 4. Percurso α V > V V V = U = 3 V V Percurso α V > V V V = U = 3 Para as fem e fcem vale o snal de entrada no sentdo do percurso adotado (fg. 5): V gura 5. Percurso α V V = U = V V Percurso α V V = U = ssm, na malha, a partr de e no sentdo do percurso a (fg. 6), temos: V 1 3 α β gura 6. 2 Na malha, a partr de e no sentdo do percurso d, temos: 3 r as expressões, e, podemos determnar as ntensdades das correntes elétrcas, e em todos os ramos do crcuto. r 3 apítulo 11 s les de Krchhoff ntre na rede No endereço eletrônco (acesso em agosto/2009), você encontra aplcações das les de Krchhoff. 257

4 Undade argas elétrcas em movmento 258 exercícos resolvdos. 107 O esquema representa uma rede de dstrbução de energa elétrca que consta de: geradores G 1 e G 2 de fem V e resstêncas nternas 0,5 motor M de fcem 3 6 V e resstênca nterna r 3 1 resstores de resstêncas 1 2 0,5, 3 3 e 4 1 etermne as ntensdades das correntes elétrcas em cada ramo do crcuto. Solução: Incalmente atrbuímos a cada ramo do crcuto um sentdo de corrente. Prmera le de Krchhoff ou le dos nós Nó : Segunda le de Krchhoff ou le das malhas Malha (a partr de e no sentdo a): 0,5 0,5 20 0, , Malha (a partr de e no sentdo d): ,5 20 0, as expressões, e, obtvemos o sstema: G G 1 M 1 20 V resolução desse sstema nos fornece: 5 1 ; 5 2 e 5 3 α 1 Ω 20 V Se o valor de uma corrente elétrca resultar negatvo, sgnfca que o sentdo adotado não é o correto. esposta: Para o trecho de crcuto da fgura calcule a ddp: a) entre os pontos e (V V ); b) entre os pontos e (V V ) V 2 V 3 V 2 V Ω 1,5 Ω = 3 Solução: a) Para o cálculo da ddp entre dos pontos, e, de um trecho de crcuto, escolhemos um sentdo a de percurso e efetuamos a soma algébrca das ddps de todos os elementos do trecho. dotando a no sentdo de para, calculamos V V. Lembre-se, anda, de que para as fems e fcems vale o snal de entrada no sentdo do percurso adotado. Para os resstores a ddp é! 3, valendo o snal se o sentdo de concde com o de a e o snal no caso contráro. ssm, temos: V V 10 0, ,5 3 3 ] ] V 2 V 5 1 V b) dotando-se o sentdo de percurso d de para, calculamos V V : V V 0, , ] ] V 2 V V esposta: a) 1 V; b) 17 V 10 V 2 V 4 Ω α = 3 3 V 1,5 Ω 2 V β = 3 β 3 r3 3 Ω 6 V M 1 Ω eprodução probda. rt.184 do ódgo Penal e Le de 19 de feverero de 1998.

5 exercícos propostos P. 268 Para o crcuto da fgura, determne as ntensdades das correntes elétrcas em todos os ramos. 14 V 4 Ω 3 Ω 3,5 V 10 V 13 V 1 Ω P. 269 No crcuto dado, determne a dferença de potencal V V no ramo. 20 V 10 Ω 15 Ω 10 Ω eprodução probda. rt.184 do ódgo Penal e Le de 19 de feverero de P. 270 (fe-mg) s duas bateras do crcuto, assocadas em paralelo, almentam: o amperímetro deal, a lâmpada de ncandescênca de resstênca e o resstor de resstênca 1, todos em sére. Se o amperímetro regstra 4, calcule: a) as ntensdades de corrente e nas bateras; b) a resstênca elétrca da lâmpada. P. 271 (I-SP) No crcuto da fgura, a ntensdade de corrente vale 0,2. etermne, e 3. = 5 Ω 1 = 3 V P. 272 Para o trecho de crcuto dado abaxo, calcule a ddp entre os pontos: a) e (V V ) b) e (V V ) = = 0,3 Ω 1 = 2 = 10 V 3 1 Ω = 5 Ω 2 = 5 V 5 V 3 V 4 V 6 V 3 V 3 Ω 1 Ω 4 Ω = 2 P. 273 No trecho de crcuto da fgura, sabe-se que a ddp entre os pontos e é nula. alcule as ntensdades das correntes e. P. 274 (UP) alcule o potencal elétrco no ponto, em volts, consderando que as bateras têm resstêncas nternas desprezíves e que o potencal no ponto é gual a 15 volts. 1,0 Ω 3,0 Ω 8,0 V 7,0 Ω = 2,0 4,0 Ω 9,0 Ω 6,0 V apítulo 11 s les de Krchhoff 2,0 Ω 259

6 Seção 11.2 Objetvos ompreender o funconamento do potencômetro de Poggendorff. nalsar a condção de equlíbro para o potencômetro. Potencômetro de Poggendorff ssm como a ponte de Wheatstone serve para medr resstêncas elétrcas, o potencômetro de Poggendorff* é usado para medr, com precsão, a força eletromotrz de um gerador. O potencômetro de Poggendorff é um crcuto que obedece ao esquema da fgura 7, baseando-se na assocação em paralelo de geradores de fems dferentes. O uso do potencômetro como aparelho de precsão deve-se à exstênca de plhas padrão, cujas fems são perfetamente conhecdas. sse crcuto permte comparar a fem x de uma plha desconhecda com a fem plha de uma plha padrão. atera (, r ) Undade argas elétrcas em movmento 260 * plha x = 0 gura 7. Potencômetro de Poggendorff. ' = 0 ntre e temos um fo homogêneo de seção transversal constante. Uma batera de acumuladores de fem maor do que plha e x fornece energa ao crcuto. Utlzando-se, de níco, a plha padrão, exste para o cursor uma posção em que não pas sa corrente pela plha: 5 0 e U 5 plha Nessas condções, o potencômetro é consderado em equlíbro. omo é a resstênca elétrca do ramo e, a corrente que a batera mantém no crcuto restante, pela le de Ohm, temos: plha 3 Trocando-se a plha padrão pela plha cuja fem x se quer medr, o equlíbro do potencômetro se realzará quando o cursor for levado a uma nova posção e de tal que o amperímetro novamente ndque zero. omo e é a resstênca elétrca do ramo e e a batera mantém a mesma corrente no crcuto restante, temos: x e 3 vdndo-se por, temos: x 5 e plha POGGNO, Johann hrstan ( ), físco alemão que, baseando-se na assocação em paralelo de geradores de fems dferentes, dealzou um método precso para a medção de uma força eletromotrz. ealzou, também, trabalhos em Óptca, como o método para a medção de ângulos pequenos. eprodução probda. rt.184 do ódgo Penal e Le de 19 de feverero de 1998.

7 omo as resstêncas dos ramos e e são dretamente proporconas aos respectvos comprmentos, escrevemos: x 5 e plha essa gualdade pode-se determnar, com precsão, o valor da fem x. exercíco resolvdo eprodução probda. rt.184 do ódgo Penal e Le de 19 de feverero de No crcuto, o fo é homogêneo, de seção transversal constante. corrente que atravessa o amperímetro 1 é nula para 5 4, quando a ddp entre 5 e é 2,5 V. a) alcule a fcem e. b) Se o amperímetro 2 ndca 0,5, calcule a fem. Solução: a) omo o fo é homogêneo e de seção transversal constante, 5 ] Se 1 ndca zero, tem-se U e, e, pela le de Ohm: U 3 U 3 esposta: a) 2 V; b) 3 V ] U 5 ] e U 2, ] ] e 5 2 V b) Sendo a ndcação de 2 0,5, pela equação do gerador, temos: U r 3 ] 2, ,5 ] 5 3 V r = 1 Ω ' r = 1 Ω ' 1 U = ' U = 2,5 V 1 = exercíco proposto P. 275 No crcuto dado, os geradores têm resstêncas nternas desprezíves e é um fo homogêneo de seção transversal constante. Sabe-se que o amperímetro não ndca passagem de corrente numa posção X, tal que X alcule a fem e. 5 = 10 V X apítulo 11 s les de Krchhoff ' 261

8 exercícos propostos de recaptulação P. 276 onsdere o crcuto abaxo. etermne as ntensdades das correntes elétrcas, e. 2,0 Ω 8,0 Ω 4,0 Ω 10 V 20 Ω 40 V 1,0 Ω 5,0 V a) etermne o valor da corrente para t 0 s. b) etermne o nstante t 0 em que a corrente é nula. c) Numa folha de papel quadrculado reproduza a fgura abaxo. m seguda, trace a curva que representa a corrente em função do tempo t, no ntervalo de 0 a 100 s. Utlze os exos da fgura ndcando claramente a escala da corrente em ampère (). P. 277 etermne a potênca elétrca dsspada no resstor de 3,0 do crcuto esquematzado. () 1,0 Ω 3,0 Ω Undade argas elétrcas em movmento 14 V 1,0 Ω 14 V P. 278 (M-SP) No crcuto são dados: força eletromotrz de cada gerador 12,0 V r resstênca nterna de cada gerador 1,00 resstênca de cada fo condutor 3, r etermne a ntensdade e o sentdo de corrente elétrca que percorre o trecho 2-5. P. 279 (uvest-sp) No crcuto mostrado na fgura abaxo, os três resstores têm valores 1 2, 2 20 e 3 5. batera tem tensão constante de. corrente é consderada postva no sentdo ndcado. ntre os nstantes t 0 s e t 100 s, o gerador G fornece uma tensão varável V 0,5t (V em volts e t em segundos). G r t (s) d) etermne o valor da potênca Pot recebda ou fornecda pela batera no nstante t 90 s. P. 280 (uvest-sp) onsdere o crcuto da fgura, em que 10 V e P. 281 etermne a dferença de potencal entre os pontos e do crcuto da fgura. 40 a) Qual a letura do amperímetro? b) Qual a letura do voltímetro V? (onsdere o amperímetro e o voltímetro deas.) 2 2 V 8 V 8 V Ω 80 eprodução probda. rt.184 do ódgo Penal e Le de 19 de feverero de

9 P. 282 (UJ) fgura ao lado lustra o dspostvo usado para medr a força eletromotrz de um gerador. Nele, um gerador de força eletromotrz gual a e resstênca nterna gual a 1 é lgado a um fo condutor ôhmco, de comprmento L, seção unforme, e resstênca total 5. O polo negatvo do gerador, de força eletromotrz desconhecda, é lgado à extremdade do condutor. m sére com esse gerador há um amperímetro deal. extremdade pode ser lgada a qualquer ponto do condutor entre as extremdades e. Por tentatvas, verfca-se que, quando a extrem dade é colocada a uma dstânca de gual a 1 de, a ntensdade da corrente que passa pelo amperímetro torna-se nula. alcule a força 4 eletromotrz. 1 Ω testes propostos eprodução probda. rt.184 do ódgo Penal e Le de 19 de feverero de T. 246 (Vunesp) O amperímetro ndcado no crcuto é deal, sto é, tem resstênca pratcamente nula. Os fos de lgação têm resstênca desprezível. 50 V 4 Ω 4 Ω 4 Ω 10 V 60 V 20 V 20 V ntensdade da corrente elétrca ndcada no amperímetro é de: a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 T. 247 (Mackenze-SP) No trecho de crcuto elétrco mostrado abaxo, os geradores de tensão são deas. 3 Ω 3 V Quas são as correntes, e (em módulo)? () () () a) b) c) d) e) T. 249 (Mackenze-SP) 60 V No crcuto acma, o gerador e o receptor são deas e as correntes têm os sentdos ndcados. Se a ntensdade da corrente é 5, então o valor da resstênca do resstor é: a) 8 c) 4 e) 3 b) 5 d) 6 14 V 4 Ω 18 V 4 Ω ddp entre os termnas e é: a) 3 V d) 8 V b) 5 V e) 9 V c) 7 V T. 248 (Vunesp) No crcuto dado: 1 24 V, 2 e 6, T. 250 (UL-P) ados cnco resstores ôhmcos, sendo quatro resstores 1 5 3,0 e um resstor 2 5 6,0 e três bateras deas, sendo 1 5 6,0 V e onsderando que esses elementos fossem arranjados conforme o crcuto da fgura a segur, assnale a alternatva que ndca o valor correto para a dferença de potencal entre os pontos e [V ou (V 2 V )]: a) 23,0 V c) 10 V e) 210 V b) 3,0 V d) 6,0 V apítulo 11 s les de Krchhoff 263

10 T. 251 (Vunesp) Um voltímetro, cuja resstênca nterna é muto grande, é usado para medr a dferença de potencal entre os pontos e do crcuto mostrado na fgura. T. 253 (IT-SP) No crcuto dado, quando o cursor é colocado no ponto, o amperímetro não acusa passagem de corrente. 50 Ω 150 Ω 25 Ω 25 Ω 10 V 4 V 50 Ω evemos esperar que a letura seja: a) 9 V b) 0 V c) 6 V d) 2 V e) 3 V Qual a dferença de potencal entre os pontos e? a) 4 V b) 6 V c) 10 V d) 16 V e) nenhum dos valores anterores T. 252 (Ufla-MG) No crcuto elétrco mostrado abaxo, as resstêncas 1, 2, 3 e 4 são guas. obrando-se o valor da resstênca 4, a tensão U entre os pontos e, em módulo e em relação à tensão U XY, será de: a) U XY b) U XY c) U XY d) U XY e) U XY U XY X Y T. 254 No crcuto da fgura, quando a lgação do cursor móvel se faz no ponto X, tal que X 80 cm, o amperímetro não acusa passagem de corrente. O fo é homogêneo de seção transversal constante e tem 100 cm de comprmento. s resstêncas dos geradores e dos fos de lgação são desprezíves. ' X = 2 V onsdere as seguntes afrmações: I. s dversas partes do crcuto, nas condções dadas, não são percorrdas por corrente elétrca. II. fem e é gual à fem. III. fem e vale 1,6 V. a) Só a I é correta. b) Só a II é correta. c) Só a III é correta. d) Há, pelo menos, duas corretas. e) Nenhuma das anterores. Undade argas elétrcas em movmento eprodução probda. rt.184 do ódgo Penal e Le de 19 de feverero de