Mecânica. Sistemas de Partículas

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1 Mecânca Sstemas de Partículas

2 Mecânca» Sstemas de Partículas Introdução A dnâmca newtonana estudada até aqu fo utlzada no entendmento e nas prevsões do movmento de objetos puntformes. Objetos dealzados, portanto. Por essa razão, às vezes nos refermos a essa parte da mecânca como a que é dedcada à dnâmca do ponto. Como sabemos, os objetos que se movem no nosso Unverso se encontram em constante nteração com os demas. Dessa forma, o nteresse maor na mecânca é o estudo de um sstema de partículas. Um sstema pode ter um número ndefndo de partículas. Para tas sstemas, fazemos uso do conceto de dstrbução contínua de massa. Esse caso é de nteresse no caso de um corpo rígdo. este capítulo, vamos analsar as les geras do movmento de um sstema de partículas. Esse número pode ser relatvamente pequeno, como ou 3, até um número muto grande. Faremos uma análse bastante geral. Isso é caracterzado pelo fato de que não especfcaremos o número de partículas que compõem o sstema. O caso de uma Para um sstema consttuído de um número de partículas, o estado clássco desse sstema é caracterzado pelos pares consttuídos, cada par pela velocdade, e a posção de cada um dos consttuntes: [ r, p],[ r, p],...[ r, p],...[ r, p]) ( ) Assm, o problema clássco que envolve a evolução do estado de um sstema de partculas é o de determnar o estado do sstema no nstante de tempo t, uma vez conhecdo o estado do sstema no nstante de tempo ncal [ r0, p0],[ r0, p0 ],...[ r0, p0],...[ r0, p0]) ( ) As equações de ewton para um sstema de partículas são, bascamente, as equações de cada uma das partículas. Temos, portanto, para um sstema dscreto, equações de segunda ordem no tempo. Essas equações determnam a evolução, no tempo, do estado do sstema.

3 Mecânca» Sstemas de Partículas Fgura 0: Sstemas smples e complexos de partículas. As Equações de Evolução do Sstema Consderemos um sstema composto por partículas. A posção da -ésma partícula será representada pelo vetor r. Imagnemos que sobre ela atuem dos tpos de forças: forças nternas e forças ernas.. Forças nternas. Estas forças são aquelas resultantes da nteração entre as partículas pertencentes ao sstema (sto é, as devdas às demas partículas do sstema). As forças nternas, que agem sobre a -ésma partícula, representadas por F () nt, podem ser escrtas como uma soma: F () nt = j = F j ( 3 ) onde F j é a força exercda pela j-ésma partícula sobre a -ésma partícula. Sabemos ademas, pela tercera le de ewton da ação e reação, que: F j = F j ( 4 ) Fgura 0

4 Mecânca» Sstemas de Partículas 3. Forças ernas. Estas forças são aquelas que resultam da nteração entre as partículas pertencentes ao sstema com objetos que não pertencem a esse sstema. ão se especfca que objetos são esses; dzemos apenas que cada partícula está, eventualmente, sujeta a tas forças. Podemos assm escrever que a força sobre a -ésma partícula é dada como uma soma que envolve, de um lado, as forças nternas e, de outro, as forças ernas F = F + F () () () nt ( 5 ) Utlzando agora a segunda le de ewton, podemos escrever, para cada uma das partículas, as quas desgnamos por,, 3,..., dp = F + F + F3 + + F dp = F + F+ F3 + + F dp 3 = F3 + F3+ F3 + + F3 ( 6 ) dp = F + F Estas são as equações báscas, as equações a partr das quas podemos determnar as posções e os momentos lneares das partículas. As soluções das equações acma correspondem, portanto, à solução do problema clássco da evolução do sstema. Conservação do momento lnear + F + F + F 3 Se adconarmos as equações (000), verfcaremos que os termos das forças nternas na somatóra se anulam. Isto decorre de (000). Portanto, podemos escrever para a soma dp = F ( 7 ) = =

5 Mecânca» Sstemas de Partículas 4 Defnndo o momento lnear total do sstema como a soma dos momentos de cada uma das partículas Podemos, portanto, escrever P dp = = p F = ( 8 ) ( 9 ) ou seja, a taxa pela qual o momento lnear total do sstema vara com o tempo é gual à soma das forças ernas. Um resultado muto mportante que decorre de (000) é o de que, na ausênca de forças ernas ou se o resultado for nulo, F = 0 = ( 0 ) Então de (000) verfca-se que o momento lnear se conserva dp = 0 ( ) e, consequentemente, escrevemos a conservação do momento lnear total como P P = 0 ( ) onde P 0 é um vetor constante. Este resultado vale ndependentemente da natureza das forças nternas. É uma consequênca dreta das les de ewton. O Centro de Massa A despeto de ser muto dfícl, em geral, determnar a posção e a velocdade de qualquer uma das partículas do sstema [tendo em vsta a dfculdade de encontrarmos a solução exata para o sstema de equações (000)], exste um ponto no sstema de partículas cujo movmento em um bom

6 Mecânca» Sstemas de Partículas 5 número de casos é prevsível. Esse ponto é o centro de massa. O centro de massa é defndo pelas suas coordenadas R x, R y, e R z dadas pelas expressões: R R R M mx = = mx + mx + mx 3 3+ mx M x y z ( ) M my = = M my + my + + my ( ) = = M mz mz mz mz M ( ) ( 3 ) onde m de M é a massa total do sstema de partículas 3 M = m = m + m + m + + m ( 4 ) Podemos assm escrever, vetoralmente, que o vetor de posção do centro de massa ( R) é dado por: R = mr M ( 5 ) o caso de um sstema composto por um número muto grande de partículas é preferível tratá-lo como uma dstrbução contínua de partículas e não dscreta. esse caso, um dos concetos mas relevantes é a densdade. A densdade de massa é defnda como a relação entre a quantdade de massa dm contda num elemento nfntesmal de volume dv. Defnmos, portanto, dm( r ) ρ( r ) = ( 6 ) dv onde r é o vetor posção do elemento de volume dv. Dada a densdade volumétrca de massa, podemos calcular a massa total através da ntegral de volume da densdade M = ρ( r ) dv ( 7 ) Fgura 03

7 Mecânca» Sstemas de Partículas 6 Para uma dstrbução contínua de massa, o centro de massa é dado por: R rρ( r) dv M = ( 8 ) Movmento do Centro de Massa O movmento do centro de massa é bastante smples. Para entendermos sso notamos prmeramente que mv p M dr = = e, portanto, a taxa de varação do vetor posção do centro de massa vezes a massa total é gual ao movmento lnear total P= M dr ( 0 ) ( 9 ) Fgura 4: A determnação da posção do centro de massa é mportante para efeto do equlíbro dos corpos rígdos. Consequentemente, de (000) e (000) resulta que: M d R dp = = () F ( ) Assm, o centro de massa é tal que ele se movmenta como se todas as forças ernas estvessem atuando sobre ele. ão é assm muto dfícl determnar a posção do centro de massa de um sstema de partículas. o caso em que as forças ernas se anulam ou são nulas, temos M d R = 0 ( ) e, portanto, o centro de massa tem um movmento retlíneo e unforme, ndependentemente das forças nternas.

8 Mecânca» Sstemas de Partículas 7 Fgura 05: Admtndo-se a força gravtaconal constante, o movmento do centro de massa é bastante smples. Sstemas de duas Partículas Consderemos o caso mas smples de um sstema de partículas: aquele composto por apenas duas partículas. esse caso, as equações (000) se reduzem a apenas duas: m dr = F F + ( 3 ) m dr = F F + o caso do sstema consttuído por apenas duas partículas, defnmos além do centro de massa mr + mr mr + mr R = = ( 4 ) M m + m Fgura 06: Coordenadas envolvendo um sstema de duas partículas. a coordenada relatva r = r r ( 5 ) Defnmos, além da massa total, M = m + m ( 6 )

9 Mecânca» Sstemas de Partículas 8 a massa reduzda mm = + µ = µ m m m + m. ( 7 ) A utldade das grandezas físcas assm defndas pode ser entendda ao adconarmos e subtrarmos as equações (000). A adção nos leva a M d R = F F ( 8 ) + ao passo que a subtração nos leva, depos de dvdrmos a prmera equação por m e a segunda por m, a d () ( ) F F ( r r )= + F m m µ ( 9 ) A prmera equação representa o resultado já conhecdo de que o centro de massa se move de tal manera que tudo se passa como se todas as forças ernas estvessem atuando sobre ele. Para entendermos a relevânca da coordenada relatva e de massa reduzda, consderemos o caso em que o sstema de duas partículas não está sujeto a forças ernas. essas crcunstâncas, as equações (000) se escrevem agora µ dr = F r ( ) ( 30 ) M d R = 0 Uma vez conhecda a força (ou forças) de nteração entre as duas partículas, podemos determnar 000 a partr de ( rt ()) e utlzando ( Rt ()). Uma vez conhecdos rt () e Rt (), podemos determnar r e r utlzando (000), sto é, r t R m () = + M r m r t R M r () = + ( 3 ) Fgura 07: Ilustração da coordenada do centro de massa e da coordenada relatva.

10 Mecânca» Sstemas de Partículas 9 O Centro de Massa Como Sstema de Referênca Em mutos casos, é útl fazer uso de um sstema de coordenadas cuja orgem concde com o centro de massa do sstema. Assm, a posção de uma partícula genérca do sstema (-ésma partícula) é dada por: r = R+ r ( 3 ) onde o vetor r determna a posção relatva ao centro de massa. A velocdade é composta por dos termos dr dr dr = + = VCM + V onde V representa a velocdade de partícula relatva ao sstema centro de massa. A aceleração é dada por ( 33 ) a = a + a CM ( 34 ) lembrando que o índce lnha, novamente aqu, representa a grandeza (no caso, a aceleração) relatva ao centro de massa. Multplcando a equação (000) por m, efetuando a soma e lembrando (000), notamos uma propredade da coordenada relatva ao centro de massa. Tal propredade pode ser resumda pela segunte: Fgura 08: Coordenada relatva ao centro de massa. mr = 0. m ( 35 ) Se consderarmos um sstema contínuo, então, a propredade análoga (000) para um sstema contínuo é: ρ( rrdv ) =. 0 ( 36 ) Veremos que a propredade (000) ou, equvalentemente, (000) é muto útl na smplfcação da expressão de váras grandezas físcas quando expressas em termos do centro de massa.

11 Mecânca» Sstemas de Partículas 0 Momento Angular de um Sstema de Partículas O momento angular de uma partícula é dado por L = r p ( 37 ) enquanto a sua taxa de varação nstantânea é dl dr dp dp = p+ r = v p+ r O prmero termo do lado dreto da equação acma se anula, uma vez que V é paralelo a P. Utlzando a le de ewton, escrevemos: O lado dreto da equação acma é o torque da força defndo como dl = r F. ( 38 ) ( 39 ) τ= r F ( 40 ) Portanto, a taxa de varação do momento angular é gual ao torque aplcado pela força que age sobre o corpo. Portanto, dl Para um sstema de partículas, o momento angular total é dado pela soma dos momentos angulares de cada partícula pertencente ao sstema: =τ L = r p = mr V. o caso de uma dstrbução contínua de partículas, escrevemos para o momento angular ( 4 ) ( 4 ) L = p ( rr ) VdV. ( 43 )

12 Mecânca» Sstemas de Partículas Utlzando o sstema centro de massa, verfcamos que de (000) e (000) L = R P+ r p ( 44 ) Donde nfermos que o momento angular do sstema pode ser expresso como o momento angular do centro de massa mas o momento angular de cada uma das partículas relatvas ao centro de massa. A Conservação do Momento Angular Total A taxa de varação do momento angular total é dada por dl dp = r = r F + Fj j () = r F + ( ) r Fj ( 45 ) Fgura 09 Lembrando a tercera le de ewton, notamos que o últmo termo se escreve ( r rj) Fj =0 ( 46 ) Como F j é paralelo a r r, temos: j ( r rj) Fj =0 ( 47 ) Donde resulta: dl = r F () ( 48 )

13 Mecânca» Sstemas de Partículas ou seja, a taxa de varação com o tempo do momento angular total é gual à soma dos torques das forças ernas dl () () = τ = r F ( 49 ) o caso em que esses torques se anulam ou se tornam nulos, temos o resultado de que o momento angular total deve ser conservado, sto é: dl = 0 ( 50 ) Energa Cnétca de um Sstema de Partículas A energa cnétca do sstema é dada pela soma de energa cnétca de cada uma das partículas que o compõem. Temos assm: E 0 m = r = mv ( 5 ) Consderando-se o sstema centro de massa, utlzando a defnção (000), temos: E m R m 0 = + R mr + ( r ) ( 5 ) Tendo em vsta a propredade (000), o segundo termo se anula e, portanto, E 0 M = R + mv ( 53 ) E, portanto, a energa cnétca é dada pela energa cnétca do centro de massa mas a energa cnétca das partículas no seu movmento relatvo ao centro de massa.

14 Mecânca» Sstemas de Partículas 3 Fgura 0: A energa cnétca de um gás deal depende apenas da temperatura desse gás. Energa Potencal do Sstema Admtndo-se que as forças ernas sejam conservatvas, teremos F = VU ( r) ( 54 ) onde = U + + U U U j k x y z ( 55 ) Admtndo-se anda que as forças nternas são conservatvas, sto é, admtndo-se que F = U n ( r r ) j j j ( 56 ) então, a energa potencal do sstema será dada por: U = U ( r ) + U r rj j ( ) ( 57 )

15 Mecânca» Sstemas de Partículas 4 Poderíamos ter argumentado que a dependênca do potencal em relação às coordenadas de tal forma que envolva apenas as dferenças entre as coordenadas é uma consequênca da nvarança da energa potencal com respeto a translações do sstema todo: r = r + r 0 ( 58 ) Assm, nfermos que a energa total do sstema é dada por: E M = R + mr ² + U ( r) + U( r rj ). j = ( 59 )

16 Mecânca» Sstemas de Partículas 5 Como usar este ebook Orentações geras Caro aluno, este ebook contém recursos nteratvos. Para prevenr problemas na utlzação desses recursos, por favor acesse o arquvo utlzando o Adobe Reader (gratuto) versão 9.0 ou mas recente. Botões Indca pop-ups com mas nformações. Snalza um recurso mdátco (anmação, áudo etc.) que pode estar ncluído no ebook ou dsponível onlne. Ajuda (retorna a esta págna). Crédtos de produção deste ebook. Indca que você acessará um outro trecho do materal. Quando termnar a letura, use o botão correspondente ( ) para retornar ao ponto de orgem. Bons estudos!

17 Mecânca» Sstemas de Partículas 6 Crédtos Este ebook fo produzdo pelo Centro de Ensno e Pesqusa Aplcada (CEPA), Insttuto de Físca da Unversdade de São Paulo (USP). Autora: Gl da Costa Marques. Revsão Técnca e Exercícos Resolvdos: Paulo Yamamura. Coordenação de Produção: Beatrz Borges Casaro. Revsão de To: Marna Keko Tokumaru. Projeto Gráfco e Edtoração Eletrônca: Danella de Romero Pecora, Leandro de Olvera e Prscla Pesce Lopes de Olvera. Ilustração: Alexandre Rocha, Alne Antunes, Benson Chn, Camla Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lda Yoshno, Mauríco Rhenlander Klen e Thago A. M. S. Anmações: Celso Roberto Lourenço e Mauríco Rhenlander Klen.