CAPÍTULO IV PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DA SEÇÃO TRANSVERSAL

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1 CPÍTULO IV PROPRIEDDES GEOMÉTRICS D SEÇÃO TRNSVERSL

2 Propredades Geométrcas da Seção Transversal 4. Propredades Geométrcas da Seção Transversal 4.. Introdução O presente trabalho é desenvolvdo paralelamente ao desenvolvmento de um programa de computador para cálculo de plares solctados à flexão oblqua composta. Esse programa está sendo desenvolvdo para seção transversal constante ao longo do comprmento do plar, mas qualquer. seção transversal pode ser defnda como retangular, em L ou genérca. Neste últmo caso, ela será descrta por até quatro polgonas, sendo que cada polgonal será defnda pelos seus vértces numerados seqüencalmente no sentdo horáro. polgonal que representar uma regão vazada da seção, deve ser numerada no sentdo ant-horáro. Os vértces da seção serão caracterzados pelas suas coordenadas no sstema global (X,) Seção Retangular seção retangular pode ter seus dados fornecdos smplfcadamente por: h x = dmensão da seção paralela ao exo X (base) h = dmensão da seção paralela ao exo Y (altura) Os vértces e lados não numerados nternamente pelo programa conforme é ndcado na fgura Seção em L s seções em L podem ser descrtas smplfcadamente pelas dmensões de seus lados, conforme é ndcado na fgura 4., onde: h x = comprmento da aba paralela ao exo X (base) h = comprmento da aba paralela ao exo Y (altura) b x = espessura, na dreção X, da aba paralela ao exo b = espessura, na dreção, da aba paralela ao exo X IV -

3 Propredades Geométrcas da Seção Transversal b x h h b O = 4 4 X O = 6 6 X h x h x Fgura 4. Seção retangular e em L. Numeração dos vértces e dos lados 4.4. Seção genérca s polgonas em geral são descrtas pelas coordenadas (x, ) dos seus vértces. numeração dos lados é feta nternamente pelo programa, sendo que o lado é o lado entre os vértces e +. fgura 4.2 lustra o caso geral de uma seção descrta por duas polgonas, onde a polgonal 2, numerada no sentdo ant-horáro, representa uma regão vazada. cada polgonal será atrbuído um materal (índce do materal = IM) lados vértces materal polgonal materal 2 polgonal barra da armadura O Fgura Seção genérca. Numeração dos vértces e dos lados X IV - 2

4 Propredades Geométrcas da Seção Transversal 4.5. rmadura Introdução armadura da seção será descrta por barras assocadas aos vértces e barras assocadas aos lados de uma polgonal. cada polgonal será atrbuída uma armadura consttuída por um conunto de barras. s barras serão locadas pelo programa sempre ao lado dreto da lnha da polgonal, a uma dstânca gual a c + 0,5.F, onde c é o cobrmento e F o dâmetro da barra. Dessa forma nas regões vazadas as barras da armadura estarão locadas no nteror da seção e não na regão vazada. s barras assocadas a cada lado da polgonal serão todas da mesma btola, mas a cada lado da polgonal se pode atrbur uma btola dferente. Pode-se atrbur uma btola dferente ou não para cada vértce da polgonal Barras assocadas aos vértces da polgonal s coordenadas dos vértces de uma polgonal são dadas por: Vértce = (x ; ) Vértce = (x ; ) onde é o vértce segunte ao vértce. Se + > número de vértces da polgonal então = se não = + equação da reta paralela ao lado, que passa pelos centros das barras assocadas aos vértces da polgonal é: = m.x + b (4.) com m = (4.2) x x c + 0,5. φ b = m. x cosα (4.) a = arc tg m (4.4) IV -

5 Propredades Geométrcas da Seção Transversal barra assocada ao vértce está no cruzamento das retas paralelas aos lados e (-) da polgonal, assm bv = m -.x bv + b - = m.x bv + b (4.5) donde resulta: x b b = (4.6) bv m m bv = m.x bv + b (4.7) onde x bv = abscssa da barra assocada ao vértce bv = ordenada da barra assocada ao vértce c+0,5. φ Reta paralela ao lado m.x Barra assocada ao vértce c + 0,5. φ cos α a b O x x X Fgura 4. Localzação da barra assocada ao vértce Barras assocadas aos lados da polgonal cada lado da polgonal estarão assocadas N bl barras. Cada barra k, assocada ao lado, terá suas coordenadas dadas por: x bv x bv x bl, k = x bv + k. (4.8) N + bl bv bv bl, k = bv + k. (4.9) N + bl IV - 4

6 Propredades Geométrcas da Seção Transversal onde: k = índce da barra N bl = número de barras assocadas ao lado Propredades geométrcas da seção Representação da seção transversal seção transversal é defnda em relação ao sstema de exos (X,). Internamente o programa faz uma translação de exos para o sstema (X, Y), paralelo ao anteror mas com orgem no centro de gravdade da seção. Z (com orgem na L.N.) V (com orgem no C.G.) Y a ES? v LN CG a X LN CG U//LN O x CG X CG = Centro de Gravdade da seção ES = Exo de Solctação (traço do plano de atuação do momento no plano da seção) Fgura 4.4 Defnção dos exos barcentras de coordenadas para uma seção genérca. IV - 5

7 Propredades Geométrcas da Seção Transversal Área da seção transversal Na fgura 4.5 está destacado um lado genérco de uma polgonal, onde, é o vértce ncal do lado e é o vértce fnal (o lado tem o mesmo índce do vértce ncal). Cada lado de cada polgonal é assocado a um trapézo conforme a fgura 4.5, e a área da seção é calculada pelas expressões: x + x =. (4.0) 2 =. (4.) np nl n p= l= h = nl nl Nbl. sbl, k = = = = (4.2) l k np n + ( ns ). sbv + p onde:?x = x x? = = Área do trapézo assocado ao lado ; = Área da seção; h = Área da seção homogenezada; p = índce relatvo às polgonas que consttuem a seção; Ep n = módulo de deformação relatvo da polgonal p; E c E s n s = módulo de deformação relatvo da armadura; Ec E p = módulo de deformação do materal correspondente à polgonal p; E s = módulo de deformação da armadura; E c = módulo de deformação do concreto; n p = número de polgonas que consttuem a seção; n lp = número de lados da polgonal p; IV - 6

8 Propredades Geométrcas da Seção Transversal N blp = número de barras assocadas ao lado da polgonal p; bvp = área da barra assocada ao vértce da polgonal p; blp,k = área da barra k assocada ao lado da polgonal p;? x?x X x Fgura 4.5 Defnção de um trapézo assocado a um dos lados de uma polgonal para o cálculo das propredades geométrcas da seção Momentos estátcos em relação aos exos X e Os momentos estátcos da seção são calculados pelo programa computaconal consderando também um trapézo assocado a cada lado de cada polgonal conforme a fgura 4.5, e são calculados pelas expressões: S x = np n p= = nl x + x... g (4.) 2 com o centro de gravdade do trapézo dado por g ( 2x + x ). ( x + x ) = + (4.4) S = np n nl 2. 0,5. x. + 0,5. x.. x + x (4.5) p= = IV - 7

9 Propredades Geométrcas da Seção Transversal Para a seção consderada homogenezada se desconta a área de concreto ocupada pela armadura e maora-se a área da armadura pela relação, n s, entre os módulos de elastcdade do aço e do concreto, assm np nl Nbl S xs = sbvp. bvp + sblp, k. blp, k (4.6) p= = k= np nl Nbl S s = sbvp. x bvp + sblpk,. x blp, k (4.7) p= = k = S xh = S + ( n ). S (4.8) x s xs S h = S + ( n ). S (4.9) s s onde: S x = momento estátco da seção de concreto em relação ao exo x S = momento estátco da seção de concreto em relação ao exo S xs = momento estátco da armadura S s = momento estátco da armadura S xh = momento estátco da seção homogenezada em relação ao exo x S h = momento estátco da seção homogenezada em relação ao exo 4.8. Centro de gravdade da seção Para a seção de concreto: x = cg S S x cg = (4.20) Para a seção homogenezada: x = cgh S h h S xh cgh = (4.2) h Para a seção consderada consttuída exclusvamente pelas barras da armadura: IV - 8

10 Propredades Geométrcas da Seção Transversal x = cgs S s s S xs cgs = (4.22) s Nota: Como esses três centros não concdem, a escolha de se consderar a seção bruta de concreto sem levar em conta as barras da armadura (como normalmente se faz) na determnação do centro de gravdade, leva a momentos fletores resstentes dferentes dos que se obtém consderando a seção homogenezada. nda, quando se consdera a peça trabalhando totalmente traconada (domíno de deformações), com toda armadura em escoamento (tensões todas guas a fd), mas com alguma curvatura, só se obterá momentos nulos quando se estver consderando como centro de gravdade da seção, aquele determnado exclusvamente pelas barras da armadura Translação de exos translação do sstema de exos (X, ) para os exos barcentras (X, Y) paralelos aos prmeros se faz consderando que: x = x cg + x e = cg + (4.2) portanto: x = x x cg e = cg (4.24) 4.0. Rotação de exos de (X, Y) para (U,V) Sea a o ângulo de rotação, postvo no sentdo horáro,. s relações entre as coordenadas nos dos sstemas são: x = u.cos a + v.sen a (4.25) = -u.sen a + v.cos a (4.26) donde resultam as coordenadas para o novo sstema de exos (U,V). u = x.cos a -.sen a (4.27) v = x.sen a + cos a (4.28) IV - 9

11 Propredades Geométrcas da Seção Transversal Z (com orgem em O ) V (com orgem em O) Y v.sen a u.cos a u.sen a x u P a v.cos a O v O X a v LN U = LN a postvo no sentdo horáro U // LN Fgura 4.4 Ilustração da rotação de exos. 4.. Consderação do sstema (U, Z) Para a consderação das deformações e tensões é nteressante consderar para as ordenadas, as dstâncas a partr da lnha neutra (LN). ssm, o exo das abscssas contnuará a ser chamado de U, porém para as ordenadas se fará uma translação de exos tal que: z = v - v LN (4.29) onde v LN é a ordenada da lnha neutra no sstema (U, V). Com sso, as deformações serão lnearmente proporconas às ordenadas z (dstâncas da lnha neutra). IV - 0