Software de Telecomunicações. Curvas elípticas

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1 Software de Telecouncações Curvas elíptcas Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : /4 Curvas elíptcas sobre corpos () Curvas elíptcas tê sdo estudadas há quase séculos A dfculdade torna-as pouco apetecíves para os planos de estudos (básco e unverstáro) Problea: qual o núero de bolas de ua prâde, onde cada andar te o quadrado da dstânca ao topo,.e.,, 3, 4, n n Resposta n( n + )(n + ) 6 Problea: que alturas da prâde fora quadrado perfeto? 6y x 3 +3x +x te apenas soluções e N: (,) e (4,7)-49 bolas! Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : /4

2 Curvas elíptcas sobre corpos () Defnção: Ua curva elíptca sobre o corpo F é defnda por: pares de valores que (x,y) satsfaze a equação Y + a XY + a 3 Y X 3 + a X + a 4 X + a 5 (a F) ponto no nfnto O Na crptografa são de nteresse dos tpos de corpos fntos: F(p), co p pro F( ) Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : 3/4 Curvas elíptcas sobre corpos (3) A. Curvas elíptcas sobre corpos fntos pros, co p>3 A equação da curva elíptca é splfcada co as substtuções X X - a 3 /3 Y Y - (a X+a 3 ) / Y X 3 + ax + b (fora noral de Weerstrass) Para u dado x, a equação te raízes se o dscrnante não for nulo 4a 3 +7b Nota: a gualdade é ódulo p Nota: curva elíptca de função característca 3 pode ser reescrta na fora noral Legendre Y X(X-)(X-λ) Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : 4/4

3 Curvas elíptcas sobre corpos (4) Exeplo A 6 Y X 3 (a, b) 3 4 Nota: não é curva elíptca, porque 4*() 3 +7*() -6 ponta ( cusp ) Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : 5/4 Curvas elíptcas sobre corpos (5) Exeplo B 6 Y X 3 - (a, b-) Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : 6/4

4 Curvas elíptcas sobre corpos (6) Exeplo C 6 Y X 3-3X+3 (a-3, b3) Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : 7/4 Curvas elíptcas sobre corpos (7) Exeplo D Y X 3-3X+ (X-) (X+) (a-3, b) 6 nó Nota: não é curva elíptca, porque 4*(-3) 3 +7*() -6 Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : 8/4

5 Curvas elíptcas sobre corpos (8) Exeplo E 6 Y X 3 -X (a-, b) Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : 9/4 Curvas elíptcas sobre corpos (9) B. Curvas elíptcas sobre corpos fntos bnáros F( ) Para a (curvas não supersngulares ), a equação da curva elíptca é splfcada co as substtuções X a X - a 3 /a Y a 3 Y - (a a 4 +a 3 ) /a Y + XY X 3 + ax + b Nota: Curvas supersngulares descrtas pela equação Y +YX 3 +ax+b. A coputação é fácl, as o problea do logarto dscreto é resolvdo de fora efcente pelo que não são usadas na crptografa. Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : /4

6 CE coo grupo () Ua CE é u grupo abelano: veaos grafcaente para F(p) 6. Inverso: negação da coordenada y {se P(x,y), então P(x,-y)}. Soa: três pontos colneares (.e., ntersecta a esa recta) soa sepre O. Logo, P+Q é o nverso do 3º ponto de ntersecção da lnha que cruza os pontos P e Q Q -(P+Q) P (P+Q) -6 Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : /4 CE coo grupo () 3. Duplcação: desenhar tangente, que corta curva no ponto -P 4. Eleento neutro: ponto no nfnto O P + (-P) O 6 P O P -6 Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : /4

7 CE coo grupo (3) ódulo p Analtcaente para F(p) A recta que une pontos P e Q te por equação y λx+β λ (y -y )/(x -x ) β y - λx O ponto (x 3, λx 3 +β) satsfaz a eq. (λx 3 +β) x 33 +ax 3 +b P+Q P F(p): Y X 3 +ax+b x 3 λ - x - x y 3 λ(x -x 3 ) - y λ (y -y )/(x -x ) x 3 λ - x - x y 3 λ(x -x 3 ) - y λ (3x +a)/(y ) P (x, -y) (x, x+y) F( ): Y +XY X 3 +ax+b x 3 λ + λ + x + x + a y 3 λ(x +x 3 ) + x 3 + y λ (y +y )/(x +x ) x 3 λ + λ + a y 3 x + (λ + )x 3 λ x + y /x Nota: deonstração da assocatvdade de + não é trval E GF( ) Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : 3/4 Curvas elíptcas sobre F p () Defnção: A curva elíptca sobre Z p, E p (a,b), é forada pelos eleentos (x,y), co x,y Z p, que satsfaze a equação y x 3 + ax + b od p Nota: Para x exste dos pontos sétrcos ao exo yp/. Teorea Poncaré (9): E p (a,b) é u sub-grupo de E,.e. exste eleento neutro, + e * realza-se dentro de E p (a,b), exste nversos adtvos e ultplcatvos. Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : 4/4

8 Curvas elíptcas sobre F p () Os cálculos do valor de -P, P+Q e P são os esos da CE sobre reas, ódulo p! O valor real do núero de eleentos #E p (a,b) é dado pelo algorto SEA Schoof- Eles Atn. Teorea Hasse (9): #E p (a,b)p+-t, t p. Para p elevado, #E p (a,b) p. Nota: a curva dz-se supersngular sse t nq, n 4 Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : 5/4 Curvas elíptcas sobre Fp (3) Exeplo; E 3 (,) *9 + od 3 49 od od 3 (3) Negação de (9,7): (9,-7) od 3(9,-7+3)(9,6) Soa de (9,7) co (5,4): λ ((4-7)/(5-9) od 3(-3/-4) od 3 (-3).(-4) - od 3.(9) - od 3.7 od 38 x 3 (8-9-5)od 33 od 3 y 3 (8(9-)-7)od 3-43 od Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : 6/4

9 Curvas elíptcas sobre F p (4) Duplcação de (9,7) λ (3.9 )/(.7) od 3 3.(4) - od od 3 9 x od 3 33 od 3 y 3 9.(9-)-7 od 3 45 od 3 7 Logo, *(9,7)(,7) Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : 7/4 Curvas elíptcas sobre F () Defnção: A curva elíptca sobre GF( ), E (a,b), é forada pelos eleentos (x,y) x,y que satsfaze a equação y + xy x 3 + ax + b co a,b n (b ) Por agora usaos representação polnoal de x,y (operações artétcas as sples, ebora enos efcentes) Todos os cálculos de avalações de P, P+Q e P (P,Q ) são fetos na artétca do corpo GF( ) - ver álgebra lnear A soa e GF( ) trval A ultplcação e a nversa não são trvas Nota: tal coo para F(p) todos os pontos de x são duplos. Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : 8/4

10 Curvas elíptcas sobre F () Exeplo: Sea E 4(g 4,) e a equação y + xy x 3 +g 4 x +g. Os eleentos de F( 4 ), gerados pela base g() e pelo polnóo rredutível f(x) x 4 + x 3 + são: g g 5 (), g (), g (), g 3 (), g 4 (), g 5 (), g 6 (), g 7 (), g 8 (), g 9 (), g (), g (), g (), g 3 (), g 4 (), O() Para x, apenas yg satsfaz a equação. (,g ) é denonado ponto sngular Para xg, que yg satsfaz a equação (g ) +g g (g ) 3 +g 4 (g ) +g? g +g g +g 4 (g ) +g g +g g 4 Resposta, nenhu! Para xg 3, que yg satsfaz a equação (g ) +g 3 g (g 3 ) 3 +g 4 (g 3 ) +g? g +g +3 g 9 +g +g g +g +3 g 6 Resposta, 8 e 3 Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : 9/4 Curvas elíptcas sobre F (3) xg 3 g g (+3) g +g (+3) Nota: ua vez que g 5, g (a+5) g a Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : /4

11 Orde de u eleento () Defnção: Dada ua curva elíptca E q (a,b), q pro ou, e u ponto base G(x,y) E q (a,b) a orde é o enor ntero n tal que ng O. Exeplo: sea E 3 (,) e G(9,7) n λ x 3 y 3 np (9,7) 9 7 (,7) (3,6) (9,5) (7,) 6 (,) (5,9) Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : /4 Orde de u eleento () n λ x 3 y 3 np 8 8 (8,) (,4) 3 (3,) 7 (7,) 9 7 (7,) (4,) 6 (9,6) 7P 6P+P (9,6)+(9,7) O Para E 3 (,) a orde do ponto base (9,7) é 7 Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : /4

12 Orde de u eleento (3) A ultplcação espalha os pontos no plano! Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : 3/4 Parâetros de ua curva elíptca Curva elíptca sobre GF(p) defnda por T(p,a,b,G,n,h) p é núero pro e função característca a,b são coefcentes da curva base sobre reas G(x,y) é ponto base, que pertende a E p (a,b) n é orde do ponto G,.e. ngo h #E(F(p))/n é o co-factor Curva elíptca sobre GF( ) defnda por T(,f(x),a,b,G,n,h) f(x) é polnóo bnáro rredutível, que gera F( ) Exeplo: Para E 4 (g 4,) co gx e polnóo rredutível f(x) x 4 +x 3 +, #E3 e n6 [Nota: (g 8,g )(b 8,g 5 )] h Nota: h deve ser <4, dealente. Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : 4/4

13 Representação de eleentos F () Curosdade, não faz parte da avalação Defnção: Base é u conunto de eleentos {β,β,,β - } tas que, para cada A GF( ), exste ua únca representação (u vector de eleentos a Z ) tas que: A a aβ a β A aβ T β a T + L+ a β + a β [ a a L a ] β [ β β L β ], Conhecdas duas bases de representação. Polnoal ( e ): as ntutva, operações artétcas as sples.. Noral optzada (ONB- Optal Noral Bass ): as efcente para cálculo de quadrados/produtos/nversos, as os eleentos β não são ndependentes. Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : 5/4 Representação de eleentos F () Curosdade, não faz parte da avalação. Base polnoal : β[ω ω ω - ] (β ω, ω GF( ) é raíz do polnóo rredutível) Exeplo: sea GF( 4 ) sobre polnóo rredutível: f(x) x 4 + x 3 + Eleentos: []O, [], [],, [3,,,] Adção: soar teros correspondentes, ódulo [,]+[3,] [3,] Multplcação: Multplcar teros e calcular resíduo (.e., resto) do polnóo rredutível [3,,]*[3,] (x 3 +x+)*(x 3 +) od f(x) (x 6 +x 4 +x 3 +x+) od f(x) (x 6 +x 4 +x+) od f(x) [,] (x 6 +x 4 +x+)(x 4 +x 3 +)(x +x)+(x +) Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : 6/4

14 Representação de eleentos F (3) Curosdade, não faz parte da avalação Gerador: [] é u possível ponto base g g 5 [],g [],g [],g 3 [3],g 4 [3,],g 5 [3,,],g 6 [3,,,], g 7 [,,],g 8 [3,,],g 9 [,],g [3,],g [3,,],g [,], g 3 [,],g 4 [3,] Exponencação: ultplcar sucessvaente [] x*x od f(x) x od f(x) [] x (x 4 +x 3 +) + (x ) [] 4 [] [] x *x od f(x) [3,] x 4 (x 4 +x 3 +)+(x 3 +) [] 5 [] 4 [] (x 3 +)*x od f(x) [3,,] (x 4 +x) (x 4 +x 3 +)+(x 3 +x+) Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : 7/4 Representação de eleentos F (4) Curosdade, não faz parte da avalação Inverso ultplcatvo: nverter a potênca do núero gerado [,] - (g ) - g - g 3 [3] : - od 5 3 od 5 Nota: outro polnóo rredutível corresponde a u soorfso. Exeplo: sea f(x) x 4 + x + [3,,]*[3,] (x 3 +x+)*(x 3 +) od f(x) (x 6 +x 4 +x 3 +x+) od f(x) (x 6 +x 4 +x+) od f(x) [3,] (x 6 +x 5 +x +)(x 4 +x+)(x +)+(x 3 +x ) Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : 8/4

15 Representação de eleentos F (5) Curosdade, não faz parte da avalação. Base polnoal : β[ω ω ω ] (β ω +,ω GF( ) é raíz do polnóo prtvo) Coo representar na base polnoal, ua vez que não faz parte de β? Resposta: é representado por f(x)+ od f(x). Exeplo: sea GF( 4 ) gerado por f(x) x 4 + x 3 +. f(x)+(x 4 + x 3 +)+x 4 +x 3. Logo, é representado por [3,] Qual a representação de x 3 +? x 3 +x 3 +(x 4 +x 3 ) []+[3,][3] Todas as operações (soa, ultplcação, nversão) são fetas na esa fora que na base polnoal. Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : 9/4 Representação de eleentos F (6) Curosdade, não faz parte da avalação 3. Base noral: β [ - ] [ ] (β, GF( )) O polnóo rredutível te de ser prtvo, para gerar de GF * ( ). Quadrado de u eleento de GF( ) A [ a a L a ] [ a a L a ] ( a ) a + Ipleentado e HW por ua sples rotação!, a a a - Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : 3/4

16 . Produto de dos eleento de GF( ) a b B A C ) ( Representação de eleentos F (7) Curosdade, não faz parte da avalação Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : 3/4 Noralzando o produto para fcaos co x M ) (, ) (, M c a b Cálculo de x x noralzado é splfcado elevando abos os lados à potênca de - M M ) (, ) (, ) ( Representação de eleentos F (8) Curosdade, não faz parte da avalação Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : 3/4 da gualdade tra-se que ) (, (), M M (), (), M b a M b a c + + Soa ódulo

17 Representação de eleentos F (9) Curosdade, não faz parte da avalação Para tornar o cálculo de c o as rápdo possível, nteressa que M- atrx n n de eleentos de GF( )- tenha o aor núero possível de entradas nulas. Teorea: valor íno de entradas não nulas é n- Dos tpos de atrzes M () óptas: ONB e ONB Tabela ONB ONB Condções M (), + é pro, e é prtvo e GF(+) + od (+), ou + od (+) + é pro, e é prtvo e Z +, ou (+)3 od 4 e gera resíduos quadrátrcos e Z od (+), ou + - od (+), ou - + od (+), ou - - od (+) Exeplos de : 8,34,79,3,33,386 Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : 33/4 Representação de eleentos F () Curosdade, não faz parte da avalação Exeplo: GF( 4 ) perte representação ONB ( + ) od 5 ( + ) od 5 3 ( + ) od 5 ( + 3 ) od 5 4 ( + ) od 5 4 ( + ) od 5 ( + 3 ) od 5 ( + ) od 5 3 ( + 3 ) od 5 ( ) od 5 M () 3 3 Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : 34/4

18 Representação de eleentos F () Curosdade, não faz parte da avalação Produto pleentado e HW a partr de rotações das varáves envolvdas! a a a - b b b - lógca Função c, c,, c - Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : 35/4 Representação de eleentos F () Curosdade, não faz parte da avalação c a b + a (b + b 3 ) + a (b + b ) + a 3 (b + b 3 ) c a b 3 + a (b 3 + b ) + a 3 (b + b ) + a (b + b ) c a b + a 3 (b + b ) + a (b + b 3 ) + a (b 3 + b ) c 3 a 3 b + a (b + b ) + a (b 3 + b ) + a (b + b ) Exeplo: ultplcar [] por [3,,] (apenas a é postvo) c b + b 3 c b 3 c b 3 + b + c 3 b 3 + b + [] * [3,,] [,] Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : 36/4

19 Representação de eleentos F (3) Curosdade, não faz parte da avalação. Inverso de u eleento de GF( ) a a n a ( n ) Para calcular o nverso, prero calcula-se a (n- -), que é elevado ao quadrado. n n ( ( ( n) ( n) + )( + )( ( n) ( n) ), n% ) +, n% Se n é ípar, basta ua ultplcação depos de calcular a (n-)/ - Se n é par, basta duas ultplcações depos de calcular a (n-)/ - Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : 37/4 Conversão entre bases () Dos ssteas dstntos trabalha na esa curva elíptca e co a esa chave, as pode possur representações dstntas. Város ecansos fora desenvolvdos para conversão dos eleentos de GF( n ). Aqu descreveos a conversão atrcal Sples Exgente e eóra: atrz ocupa O(n ) Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : 38/4

20 Conversão entre bases () Pretende-se converter eleento representado e ONB para base polnoal, para GF( 4 ) gerado por x 4 +x ω 3 ω ω ω O problea resde na conversão dos eleentos de base co potêncas superores à da base destno. Para, te-se que ω é raíz do polnóo prtvo ω 4 +ω+. 8 x 8 od x 4 +x+ ω + ω +(ω 4 +ω) Nota: 8 é dependente de 4, e ONB e base polnoal são soórfcas para GF( 4 ) gerado por x 4 +x+. Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : 39/4 Conversão entre bases (3) ONB Base polnoal [] w [] [] w [] [] w 3 [] [3] w 4 +w +w [3,,] [,] []+[] [,] [,] []+[] [,] [,] []+[] [,] [3,] [3,,]+[] [3,] [3,] [3,,]+[] [3,] [3,] [3,,]+[] [3,,,] [3,,] [3,,]+[]+[] [3] [3,,] [3,,]+[]+[] [3,,] [3,,] [3,,]+[]+[] [3,,] [3,,,] [3,,]+[]+[]+[] [3,] Para a base polnoal, a atrz de conversão sera 8 3 ω 4 ω ω A não ndependênca dos ebros da base de ONB leva a que a conversão não sea hooórfca: [] w+ [,] [3,,] (w +)+(w )+(w) [,] O eleento [3,,,] corresponde ao ponto do nfnto na base polnoal Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : 4/4

21 Problea logarto dscreto () Defnção: O problea DLP ( Dscrete Logarth Proble ) pretende deternar n tal que para u par (x,y) se verfqye yx n. O problea ECDLP ( Ellptc Curve Dscrete Logarth Proble ) dêntco ao DLP sobre o Grupo gerado por E p (a,b). Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : 4/4 Problea logarto dscreto () Não são conhecdos algortos efcentes na resolução do DLP. Procura exaustva é proporconal à densão do Grupo (.e., exponencal os núero de dígtos). Pollard ρ: resolve DLP e O( n) Resolução do ECDLP consderada as ntratável que o DLP, porque os algortos as potentes do DLP não pode ser transpostos para o ECDLP. Prof RG Crespo Software de Telecouncações Curvas elíptcas : 4/4