5 Avaliação da Eficiência Computacional

Transcrição

1 5 Avalação da fcênca Compuaconal 5.1 Inrodução É desejado ncorporar o cálculo dos índces de adequação de ações de conrole de ensão ao programa SAN. O programa SAN esá sendo mplemenado com a esruura aual da marz Jacoana e a mesma é consderada na avalação da efcênca compuaconal da ferramena compuaconal a ser crada. Consderando-se que o ojevo é a ulzação desa ferramena em empo real, é fundamenal a avalação da efcênca compuaconal do seu cálculo. A marz [D ] é calculada por (4.5) e odo o esforço compuaconal consse em resolver [A] [X] []. No capíulo aneror verfcou-se que os índces de adequação das ações de conrole podem ser odos separadamene ou de forma smulânea. 5.2 Análse Separada de Cada Ação de Conrole A marz [A] pode ser faorada com [D] de dmensão (1x1), conforme mosrado no capíulo aneror. nreano, a faoração de [A] com [D] de dmensão (1x1) não será consderada, uma vez que não maném a esruura de locos (2x2) da marz Jacoana, e consequenemene da parção [A] que se deseja faorar. se prolema pode ser resolvdo assocando-se uma varável dumm a cada uma das equações de conrole consderadas na marz Jacoana. Oserva-se que a únca fnaldade da nclusão desa varável dumm é maner a esruura de locos de ordem (2x2) da marz Jacoana. Com sso, [D] passa a er dmensão (2x2). ara efeo de lusração, a marz mosrada em (4.132), assumra a forma mosrada em (5.1). Consderando-se SC SC 0, o ssema (4.132) pode ser reduzdo para dmensão (2x2) usando-se (4.5), conforme mosrado em (5.2).

2 134 θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC SC g g g g g g g g g g g g g (5.1) [ ] D (5.2) Consderando-se 0, faz-se nova redução usando-se (5.3). A marz [D ], de dmensão (1x1), resulane desa redução relacona a ensão na arra conrolada com o ap do C responsável pelo conrole: [D ] [D ] [C ] [A ] -1 [ ] (5.3) [ ] D (5.4) [ ] D (5.6) O mesmo procedmeno pode ser aplcado para oer-se, separadamene, os índces de adequação das ouras ações de conrole.

3 135 A faoração com [D] de dmensão (2x2), que mplca na rerada de duas lnhas e duas colunas de [J], é vanajosa por maner dêncas as esruuras das quaro sumarzes da marz Jacoana. mora eorcamene seja necessára uma nova redução para ornar explíca a relação enre a ensão e a ação de conrole, o que não ocorre ao se faorar [A] com [D] de dmensão (1x1), sso não envolve nenhum cálculo exra. Seja [J] a marz Jacoana das equações lnearzadas de fluxo de carga em sua forma aual, com ordem (2n + 2nc), onde n é o número de arras e nc o número de conroles, a qual pode ser parconada em quaro sumarzes [A], [], [C] e [D] como mosrado anerormene. Como a marz [D ] de dmensão (2x2) é calculada por (4.5), cada conrole analsado requer uma nova parção de [J], o que deve ser feo nc vezes, e que sgnfca grande esforço compuaconal. nreano, cada marz [A] é exaamene como [J], exceo que duas lnhas e duas colunas foram reradas. Iso não precsa ser feo explcamene, sendo somene necessáro susur os dos elemenos dagonas por elemenos numércos grandes. O resumo do prolema em quesão é: a marz [J] de ordem (2n + 2nc) é conhecda, os faores rangulares [] e [U] são conhecdos, a marz [J] deve ser (mplcamene) modfcada pela exclusão de duas lnhas e colunas, resulando na marz [A], resolver o ssema lnear modfcado [A] [X] [] O prolema em quesão envolve uma sére de modfcações pequenas em [J] e pode ser resolvdo efcenemene por méodos de compensação aseados no ema da Marz Inversa Generalzada [Alsaç, 1983], uma vez que: o número de modfcações em [J] é pequeno, as modfcações não são permanenes e a resolução de [A] [X] [] não é repeva, pos [] em somene duas colunas. sse esquema é muo ulzado na smulação de conngêncas em méodos eravos de fluxo de carga com ssemas lnearzado auxlar de marz consane. Na Seção é provado que os elemenos da nversa de [D ] esão nos faores rangulares de [J] e, para

4 136 serem sacados de lá, são necessáras somene quaro susuções rápdas para a frene. Isso orna o cálculo exremamene rápdo Cálculo da Marz [D ] usando o ema da Marz Inversa Generalzada Seja o ssema lnear: [][ X] [ ] J (5.7) O prolema a ser resolvdo é a solução de: ([] J [ J] )[ X] [ ] + (5.8) que pode ser rescro como: ( )[ X] [ ] [] J [ M][ δj][ M ] + (5.9) Aplcando o ema da Marz Inversa, a solução é: ( )[ ] [ X] [ J ] [ J ][ M][ C][ M ][ J ] (5.10) onde: 1 [ C] ([ δj ] + [ Z] ) 1 (5.11) sendo: 1 [ Z] [ M ][ J ][ M] (5.12) [ M ] (5.13) j (5.14) [ δ ]

5 137 com (5.11), (5.12) e (5.14) de dmensão (2x2), e (5.13) de dmensão (2x2n). Como defndo, a marz [Z] é composa dos elemenos de [J -1 ] assocados com os elemenos dagonas de [J] afeados pela modfcação. Aqu é provado que a marz [D ] procurada é a nversa de [Z]. Se [] A C D J e [ ] o produo [][ J J ] 1 [] I [ C ][ ] [ D][ Z] [] I X J 1 (5.15) W Z fornece duas relações: + (5.16) [ A ][ ] [ ][ Z] [ 0] + (5.17) resulando, após desenvolvmeno algérco, em: [ Z ] [ ] [ ][ 1 D C A 1 ][ ] (5.18) e porano prova que: [ Z ] 1 [ D ] (5.19) Como defndo, [ ] [ M ][ J ][ M] [ M ][ U ][ ][ M] [ ω ][ ω] Z (5.20) onde: 1 1 [ ][ M] [ ω] e [ M ][ U ] [ ω ] (5.21) [ ] ω e [ ω ] são calculados por quaro susuções rápdas para a frene e enão: ( ) 1 [ D ] [ ω ][ ω], de dmensão (2x2). (5.22)

6 Análse Smulânea das Ações de Conrole m um ssema de grande pore, o número de modfcações em [J] seram grandes (rerada de odas as lnhas e colunas relavas aos dversos conroles) e permanenes, dexando de ser neressane o uso de méodos de compensação aseados no ema da Marz Inversa Generalzada. Nese caso sera fea apenas uma parção em [J], o que sgnfca fazer a faoração da marz [A] somene uma vez: A [ J aumenado ] (5.23) C D onde: A em dmensão (2n x 2n) em dmensão (2n x nc) C em dmensão (nc x 2n) D em dmensão (nc x nc) odo o raalho compuaconal no cálculo de [ D ] resde no cálculo de [ A] 1, ou seja, na resolução do ssema lnear [A] [X] [], onde [X] em as mesmas dmensões de []. A marz [A] é exaamene gual à Jacoana radconal, uma marz esparsa de grande pore, e formada por quaro sumarzes com esruuras dêncas. écncas de faoração rangular de marzes esparsas, como a faoração DU, êm sdo usadas com excelene desempenho compuaconal a cada eração do méodo de Newon para resolver o prolema do fluxo de carga. O prolema pode ser resumdo como: a marz [J] de ordem (2n + nc) é conhecda parconar [J] nas marzes [A], [], [C] e [D] faorar [A] resolver o ssema lnear [A] [X] [] calcular [D ] [D] [C] [X]

7 Conclusões Concluu-se que os índces de adequação de ações de conrole de ensão podem ser calculados efcenemene em ssemas de grande pore, posslando a sua ulzação em empo real, uma vez que o empo necessáro de processameno para analsar-se o comporameno das ações de conrole de ensão em um deermnado pono de operação é aproxmadamene gual ao empo necessáro para fazer uma eração do prolema do fluxo de carga pelo méodo de Newon. O cálculo dos índces pode ser feo aravés de méodos de compensação aseados no ema da Marz Inversa Generalzada (análse separada de cada ação de conrole) ou faorando-se uma únca vez a marz [J] radconal do fluxo de carga (análse smulânea das ações de conrole). A análse conjuna em a vanagem de fornecer amém índces que podem expressar a neração enre as dversas ações de conrole do ssema e as ensões conroladas.