Curso de Dinâmica das Estruturas 25. No exemplo de três graus de liberdade (GLs) longitudinais, para cada uma das partículas, temos:

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Stefany Raminhos Vasques
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1 Crso de iâica das Esrras 5 III ESTRUTURAS COM VÁRIOS GRAUS E LIBERAE III. Eqações do Movieo No exelo de rês gras de liberdade (GLs) logidiais, ara cada a das aríclas, eos: x F x F x F As orças elásicas ode ser eedidas coo: ( ) ( ) Cobiado as eqações: ( ) ( ) ( ) ( ) ()

2 6 Noas de Ala - Pro Liz A. C. Moiz de Aragão Filho ( ) ( ) () () () [ M ] {} [ K] {} { P() } ode: [ M ] é a ariz de assa do sisea esrral, o caso de esrras co assas coceradas é a ariz diagoal (led ass arix); [ K ] é a ariz de rigidez, segdo os GLs (coordeadas), sedo idêica à ariz de rigidez do roblea esáico; {} é o veor de deslocaeos { () } P é o veor de carregaeos Para vibrações aorecidas oderíaos escrever: [ M ] {} [ C] {} [ K] {} { P() } ode: [ C ] é a ariz de aorecieo do sisea esrral

3 Crso de iâica das Esrras 7 III. Solção da Vibração Livre Não-Aorecida [ M ] {} [ K] {} {} Por aalogia co o caso da vibração livre co gra de liberdade, assese a solção harôica a ora: o aida: i U cos i ( ω α) {} {} U cos( ω α) Sbsiido a solção sosa a eqação do ovieo: ω [ M ] {} U cos( ω α) [ K] {} U cos( ω α) {} {[ K ] ω [ M] } {} U {} - ([ K] [ M] ) {} U ω {} U [ ] {} φ λ {} φ (Problea de Aovalor/Aoveor) ode: [ ] é a ariz diâica, igal à [ K] [ M] - {} φ é o aoveor do rob. valores caracerísicos (oras odais de vibração) λ ω é o aovalor do roblea de valores caracerísicos (req. arais) Solção da esrra: {} {} U cos( ω α) ()... () odec e i U C... cos U ( ω α )... C... cos( ω α ) U U α i deede das codições iiciais do ovieo.

4 8 Noas de Ala - Pro Liz A. C. Moiz de Aragão Filho III. Obeção das Freqêcias Narais e Foras Modais {[ K ] ω [ M] } {} U {} ([ ] λ [ I ]) { φ} { } O sisea de eqações da vibração livre ode ser colocado a ora: ( λ) ( λ) φ φ ( ) λ φ Para qe o aoveor ão seja lo, o seja, ara qe a solção rivial ão seja a úica solção do sisea de eqações lieares, deve-se garair qe: ( λ) ( λ) ( λ) A eqação acia (oliôio caracerísico) ilica a resolção de a eqação olioial de gra, co solções, ode é o úero de gras de liberdade da esrra: c λ cλ... cλ c O seja, se a esrra e gras de liberdade:. As arizes [ K ] e [ M ] serão de orde ( ). Os veores { U }, { } e { } serão de orde ; x ;. Haverá reqêcias arais, corresodees aos aovalores 4. Haverá odos arais { φ } {} U reqêcia aral. λ ω ;, cada deles corresodees a a Solção érica do roblea de Aovalores/Aoveores aravés do algorio de Jacobi, o ela écica do Sbesaço (Bahe).

5 Crso de iâica das Esrras 9 III.4 Méodo da Serosição Modal A roriedade ais iorae dos odos arais de vibração é a roriedade de orogoalidade (e relação à ariz de assa e rigidez), rória do roblea de aovalores: [] φ i [ M][] φ j [] [ ][] φ φ K i j i j eie-se Mariz Modal coo a ariz obida ela jsaosição das oras odais: [ Φ ] [ ] φ...φ iz-se qe os odos esão oralizados (e relação à ariz de assa) qado: Logo, se j (assa odal) é: [ ] [ M ] [ Φ] I Φ ode I é a ariz ideidade de orde. { U } [ M] { U} j Eão o aoveor oralizado ode ser obido: j j {} φ j { U} j Fazedo: [ ] [ ] [ ] Φ M Φ I j Podedo-se aida osrar qe: ω L ω L K (Mariz Esecral) M M O M L ω [ Φ] [ ] [ Φ] Cosiderado-se qe a resosa diâica geérica de a esrra ode ser colocada coo a cobiação liear das dierees oras de vibração:

6 Noas de Ala - Pro Liz A. C. Moiz de Aragão Filho O veor de deslocaeos da esrra ode eão ser colocado coo: {} {} φ z {} φ z... {} φ z [ Φ] {} z O qe corresode à segie rasoração de coordeadas: {} [ Φ] {} z Sbsiido a eqação de eqilíbrio: [ M ] {} [ K] {} { P() } [ M ] [ Φ] {} z [ K] [ Φ] {} z { P() } [ ] ([ M] [ Φ] {} z [ K] [ Φ] {} z ) [ Φ] { P() } Φ [ ] [ M] [ Φ] {} z [ Φ] [ K] [ Φ] {} z [ Φ] { P() } Φ ω L ω { } {} z M O M {} z P() L Obé-se sisea de eqações diereciais ordiárias (ª ord) desacoladas: z ω z ω z ω z z M z P P P () () () z (),...,z () (),..., () Solção érica elo algorio de Rge-Ka de 4ª orde, o or Newar.

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