4. Análise de Sistemas de Controle por Espaço de Estados

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1 Sisma para vrificação Lógica do Corolo Dzmro 3 4. ális d Sismas d Corol por Espaço d Esados No capiulo arior, vimos qu a formulação d um Prolma Básico d Corolo Ópimo Liar, ra cosidrado um sisma diâmico dado pla quação difrcial liar () = () () B()() u! Ns capiulo vamos vrificar como chgamos a sa quação, ou sja vamos sudar as ass mamáicas qu os lvam dsd um poo parida do osso sudo aé à rfrida quação, qu os prmi prcr a origm a cssidad dsa quação para rprsar sismas diâmicos. dêcia acual m sismas d gharia é para maior complidad, dvido pricipalm às cssidads d arfas complas oa prcisão. Em virud da cssidad d saisfazr spcificaçõs cada vz mais rigorosas o dsmpho d sismas d corol, do aumo a complidad do sisma do fácil acsso a compuadors. Esa aordagm é asada o cocio d Esado, para prossguir dvmos as d mais ada dfiir Esado, Variávis d sado, vcor d sado, spaço d sados. 4.. Dfiiçõs Esado - O sado d um sisma diâmico é o mor cojuo d variávis (chamadas variávis d sado) al qu o cohcimo dsas variávis para =, juam com a rada para, drmia complam o comporamo do sisma para qualqur isa. Variávis d sado - s variávis d sado d um sisma diâmico são o mor cojuo d variávis qu drmiam o sado do sisma diâmico. S plo mos variávis (), (),", () são cssárias para dscrvr complam o comporamo d um sisma diâmico (al qu uma vz dada a rada para o sado iicial m = é spcificado, o sado fuuro do sisma sa complam drmiado), ão as ais variávis (), (),", () são um cojuo d variávis d sado. Vcor d sado - S variávis d sado são cssárias para dscrvr complam o comporamo d um sisma, ão sas variávis d sado podm sr cosidradas como as compos d um vcor (). Tal vcor é chamado d vcor d sados. Um vcor d sado é porao um vcor qu drmia uivocam o sado do sisma () para qualqur, uma vz spcificada a rada u () para. Espaço d sados - O spaço dimsioal cujo ios d coordadas são os ios,,", é chamado spaço d sados. Qualqur sado pod sr rprsado por um poo o spaço d sados. Um sisma complo pod r muias radas muias saídas, sas podm sar irrlacioadas d uma maira complicada. Para aalisar al sisma, é sscial rduzir a complidad as prssõs mamáicas, m com rcorrr a compuadors para ralizar os cálculos complo daí irs. aordagm d spaço d Esados para aális d sismas é mais adquada so s poo d visa. - -

2 Sisma para vrificação Lógica do Corolo Dzmro Rprsação d Sismas por Espaço d Esados Um sisma diâmico pod sr dscrio por quaçõs difrciais ordiárias m qu o mpo é a variávl idpd. Usado-s oação maricial, uma quação difrcial d ordm pod sr rprsada por uma quação maricial difrcial d primira ordm. S lmos do vcor são um cojuo d variávis d sado, ão a quação maricial difrcial é chamada quação d sado. Rprsação d spaço d sados d sismas d quaçõs difrciais liars d ordm m qu a fução d ciação ão volv rmos m drivadas. Vamos cosidrar o sgui sisma d ordm : ( ) ( ) y a y # a y! a y = u ( 4.) ( ) () Osrvado qu o cohcimo d (), y (), ", y complam o fuuro do sisma, podmos cosidrar (), y (), variávis d sado. ( )!, d u () para, drmia y! ão a quação ( ) ( ) y () y! ", como um cojuo d Fazdo = y = y # = y 4. pod sr scria como! =! = #! =! = a # a u ou 3! ( 4.) = Bu od # # = $, = $ $ $ % $, B = $. # a a a # a quação ( 4.) é chamada quação d sado Solução da Equação d Esado ivaria o mpo. Solução d quaçõs d sado homogéas. Vamos rsolvr a quação difrcial maricial! = ( 4.3) od = vcor dimsioal = mariz cosa. o rsolvr a quação, podmos supor uma solução () a forma d uma sri d poêcias vcoriais m. - -

3 Sisma para vrificação Lógica do Corolo Dzmro 3 () = # # ( 4.4) Susiuido sa solução a quação ( 4.3), omos ( # #) 3 # # = ( 4.5) 3 4 dv valr para qualqur. Porao impomos qu os coficis d poêcias iguais d sjam idêicos, S a solução suposa dv sr solução vrdadira, a quação (.5) = = = 3 = 3 #! = = 3 susiuido forma 3 = a quação (.4)!! () = I # # () prssão r parêsis é uma mariz!! I # # = 4 omos () =, porao a solução () pod sr scria a, à qual chamamos mariz pocial. Em rmos d da mariz pocial, a solução da quação ( 4.3) pod sr scria como () = ( ) ( 4.6) Mariz pocial. Dvido à grad imporâcia da mariz pocial a aális d spaço d sados, vamos amiar as suas propridads. Pod-s provar qu a mariz pocial d uma mariz = =! - 3 -

4 Sisma para vrificação Lógica do Corolo Dzmro 3 covrg asoluam para odo fiio. Dvido a ssa covrgêcia, a séri = sr difrciada rmo a rmo, rsulado! pod d d 3 =! = I! = I! # # ( )! # ( )! ( )! # # = # = mariz pocial m a sgui propridad: ( s) s = Iso pod sr provado do sgui modo: s = =! = s! = = i= s i! i i ( i)! = = ( s) ( s)! = Em paricular, s s =, ão = = ( ) = I Porao a ivrsa d é. Como É muio impora lmrar qu m smpr ivrsa, ão é ão sigular. ( B) B = B ( ) B s s B = B B B. Mariz d rasição d sado. Podmos scrvr a solução da quação d sado homogéa! = ( 4.7) como () = Φ() () ( 4.8) od Φ () é uma mariz é solução úica d Φ! () Φ(), Φ( ) = I - 4 -

5 Sisma para vrificação Lógica do Corolo Dzmro 3 Para vrificar iso, osrv-s qu () = Φ()() I()!() = Φ! ()() = Φ()() = () = Porao cofirmamos qu a quação ( 4.8) é a solução da quação (.7) Das quaçõs ( 4.6) ( 4.8), omos Φ() = No-s qu Φ () = = Φ( ) 4 é simplsm uma rasformação da codição iicial. Porao a mariz úica Φ () é chamada d mariz d rasição d sado. mariz d rasição d sados coém oda a iformação sor movimos livrs do sisma dfiido pla 4.7. Da quação ( 4.8), vmos qu a solução da quação (.7) quação ( ) Propridads d marizs d rasição d sado. Rsumo das propridads da mariz d rasição d sado Φ (). Para o sisma ivaria o mpo! = para o qual Φ() = mos. Φ() = = I. Φ () = = ( ) = [ Φ( ) ] ou Φ () = Φ( ) ( ) 3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Φ = = = Φ Φ = Φ Φ 4. [ Φ() ] = Φ( ) 5. Φ( ) Φ( ) = Φ( ) = Φ( ) Φ( ) Solução das quaçõs d sado ão homogéas. Vamos cosidrar a quação d sados ão homogéa dscria por = Bu 4.! ( 4.9) od = vcor dimsioal, = mariz cosa, u = vcor r dimsioal B= mariz cosa r 4.9 como. Escrvdo a quação ( ) () () Bu()! = - 5 -

6 Sisma para vrificação Lógica do Corolo Dzmro 3 pré muliplicado amos os lados dsa quação por d d [! () () ] = () [ ] = Bu() Igrado a quação arior r, rsula ou τ () ( ) Bu() τ dτ =, omos ( τ) () ( ) Bu()τ τ d = ( 4.) Sdo Φ () = ão quação (.) 4 amém pod sr scria como () = Φ() ( ) Φ( τ) Bu() τ dτ ( 4.) quação ( 4.) ou ( 4.) é a solução da quação ( 4.9). solução () é claram a soma d um rmo qu cosis a rasição do sado iicial um rmo provi do vcor d rada. é agora supusmos qu o mpo iicial é zro, o ao, s o mpo iicial é dado por, ão a solução da quação ( 4.9) fica ( ) ( τ) () ( ) Bu()τ τ d ( 4.) = Solução das quaçõs d sado ão homogéas, é uma das ass do sudo Toria d Corolo Ópimo assim como d poo d parida para dsvolvimo d algorimos práicos para drmiação do Esado dos Sismas