LOCALIZAÇÃO ÓTIMA DE ATUADORES E SENSORES EM ESTRUTURAS INTELIGENTES

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1 XIV CONRESSO NACIONAL DE ESUDANES DE ENENHARIA MECÂNICA Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Mecânica LOCALIZAÇÃO ÓIMA DE AUADORES E SENSORES EM ESRUURAS INELIENES Sione Nishioto de Souza snsouza@aluno.feis.unesp.br Douglas Doingues Bueno ddbueno@de.feis.unesp.br Vicente Lopes Junior vicente@de.feis.unesp.br MSIN rupo de Materiais e Sisteas Inteligentes, Departaento de Engenharia Mecânica, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, UNESP, Av. Brasil n.º 56, CEP , Ilha Solteira, SP, Resuo: O presente trabalho apresenta o uso da nora H no posicionaento de atuadores e sensores piezelétricos e estruturas do tipo treliça. A estrutura é representada por u odelo dinâico de segunda orde escrito através da realização de espaço de estados odal para possibilitar o truncaento e a consequenteente a redução de orde. A etodologia proposta é ilustrada por ua aplicação nuérica e ua treliça D discretizada pelo étodo dos eleentos finitos. As estratégias de posicionaento são apresentadas buscando a generalização para outras estruturas, coo vigas e placas. Palavras-chave: posicionaento ótio, atuadores/sensores, ateriais piezelétricos. 1. INRODUÇÃO Atualente, diversas pesquisas de engenharia são voltadas para o desenvolviento de técnicas de controle ativo de vibrações (AVC do inglês Active Vibration Control) juntaente co a aplicação de ua nova classe de ateriais co propriedades eletroecânicas específicas. Estas pesquisas são ipulsionadas pela necessidade de estruturas leves e sisteas co altos desepenhos, gerando enores custos operacionais e auentando os lucros. Alguas destas pesquisas tê causado profundo ipacto nas aplicações aeroespaciais e e robótica, Liu e Zhang (000). As técnicas de controle ativo de vibração utiliza forças secundárias aplicadas na estrutura por u controlador que adquire as inforações obtidas por u sensor. Estas forças procura reduzir a vibração estrutural causada por ua fonte de vibração priária (Figura 1). Figura 1: Desenho esqueático de u sistea de controle ativo.

2 14 CREEM. FEMEC/UFU, Uberlândia-M, 007. Para o controle de vibrações ecânicas, principalente quando há u grande núero de posições candidatas, o problea do posicionaento de sensores e atuadores talvez ereça a aior atenção. Este posicionaento pode definir a eficiência do controle, pois, e função da posição onde são colocados, atuadores e sensores pode coproeter a controlabilidade e a observabilidade do sistea, ou exigir altos níveis de energia para se obter o resultado esperado. De outro lado, se posicionados e localizações ótias, o núero necessário destes dispositivos pode ser reduzido, diinuindo assi o custo de instruentação, do processaento de sinais e da energia necessária para o controle da estrutura. E geral, a localização ótia dos atuadores/sensores surge das seguintes considerações (Papatheodorou et al., 1999): uso de u pequeno núero de sensores e atuadores para iniizar o custo de instruentação e processaento de sinais; obtenção de boas estiativas dos parâetros odais; elhoria do controle estrutural; deterinar eficienteente as propriedades estruturais e udá-las para onitorar a condição da estrutura; e assegurar a visibilidade de erros no odelo. E particular, neste trabalho é apresentada a etodologia de posicionaento ótio de atuadores e sensores piezelétricos e ua treliça plana. A treliça é representada por u odelo dinâico de segunda orde escrito através da realização de espaço de estados odal para possibilitar o truncaento e consequenteente a redução de orde. Os desepenhos do atuador e do sensor são avaliados utilizando a nora H coo índice de posicionaento.. MODELO ESRUURAL Modelos estruturais de segunda orde descritos por equações diferenciais ordinárias lineares (EDOL) são uito utilizados e probleas de dinâica estrutural. Os odelos escritos e coordenadas físicas, tabé conhecidos por odelos físicos, são forulados e teros de deslocaento, velocidade e aceleração. ais odelos são caracterizados pelas atrizes de assa, de rigidez, de aorteciento e pelas atrizes de localização dos sensores e atuadores e são e geral obtidos via FEM alé dos vetores de deslocaento e velocidade, tais coo: && ( t) + & ( t) + ( t) = o ( t ) + ow ( t) ( t) = oq ( t) + ov& ( t ) Mq Dq Kq B u B w y C q C q (1a,b) E que q(t) é o vetor de deslocaento nd x 1, u(t) é o vetor do sinal de controle s x 1, w(t) é o vetor de entrada de distúrbios s x 1, y(t) é o vetor de saídas r x 1, M é a atriz de assa nd x nd, D é a atriz de aorteciento nd x nd, K é a atriz de rigidez nd x nd. A atriz de entrada do sinal de controle B o é nd x s, a atriz de entrada do distúrbio B ow é nd x s, a atriz de saída de deslocaento C oq é r x nd e a atriz de saída de velocidade é r x nd. A atriz de assa é positiva definida e as atrizes de aorteciento e rigidez são positivas seidefinidas. abé, nd é o núero de L do sistea, r é o núero de saídas e s o núero de entradas. E geral as atrizes de assa e rigidez são estiadas e coordenadas físicas, por exeplo, via FEM, sendo a atriz de aorteciento proporcional à elas. j t q ( t) = φ e ω () assi, substituindo e (1) te-se: j t ( K ω M) φ e ω = 0 (3) e que são encontrados n valores de ω:{ω 1, ω,..., ω n } tal que esta equação seja satisfeita, sendo n enor ou igual à nd. A freqüência ω i é chaada i-ésia freqüência natural do sistea. Substituindo ω i e (3) obté-se as soluções correspondentes {φ 1, φ,... φ n } para cada freqüência natural. φ i é chaado de i-ésio odo natural ou fora dos odos. Estas soluções não são únicas, e pode ser

3 14 CREEM. FEMEC/UFU, Uberlândia-M, 007. escalonadas arbitrariaente. Couente se define a atriz de freqüências naturais, (awronski, 1998) ( ω, ω, ) Ω = diag L, 1 ωn (4) E a atriz odal Φ (nd x n), que consiste dos n odos naturais da estrutura: [ ] Φ = φ φ φ (5) 1 L n As atrizes odais de assa pode ser diagonalizadas através das seguintes equações: M K D = = = Φ Φ Φ MΦ KΦ D a Φ (6a,b,c) A atriz D a é a atriz de aorteciento proporcional dada por: D = αm βk (7) a + Pode-se introduzir ua transforação de coordenadas no problea, q (t), tal que: ( t) = ( t) q Φq (8) Assi, ultiplicando a equação (1) por Φ e utilizando a transforação da equação (7), obtése: ( t) + & ( t) + ( t) = ( t) + w ( t) ( t) = q ( t) + v& ( t) q&& ΖΩ q Ω q Β u B w y C q C q (9a,b) sendo: Ω = Μ Κ (10) Ζ = Μ D Ω = Μ Κ D (11) As atrizes de entrada odal de controle B e de distúrbio B w são dadas por: Β = M Φ B -1-1 o Β = M Φ B (1a,b) w o e C q e C v são as atrizes de saída de deslocaento e velocidade odal, respectivaente: C = C Φ C q v oq = C Φ ov (13a,b) 3

4 14 CREEM. FEMEC/UFU, Uberlândia-M, NORMAS DE SISEMAS A NORMA H Considerando (A,B,C) a representação e espaço de estados de u sistea onde a função de transferência é dada por: (ω) = C( jω I A) 1 B (14) A nora H do sistea é definida por: + 1 * tr π = ( (ω)(ω)) dω (15) onde tr é o traço da atriz. Ua aneira conveniente de deterinar o valor nuérico é através das equações: ( C CW ) (16) = tr C ( BB W ) (17) = tr O onde W C e W O são as atrizes graianas de contrabilidade e observabilidade (awronski, 1998). Considerando (A i, B i, C i ) a representação e espaço de estados do i-ésio odo de u sistea, é possível aproxiar a nora H por (awronski, 1998)* B C B C γ ω i i i i i i i ζω i i ωi (18) onde γ i é valor singular, assi, reescrevendo as equações, a nora H associada ao i-ésio odo pode ser calculada por, (awronski, 1998): tr ( C C W ) ( B C ) /( ζω ) (19) i i i ci i i i i *Define-se ω i coo eia potência da i-ésia freqüência de ressonância (Clough e Penzien, 1975; Ewins, 1984), sendo, ω i =ς i ω i e ς i o i-ésio fator de aorteciento e ω i a i-ésia freqüência natural. Ua vez calculada a nora para cada odo, a nora H do sistea pode ser obtida pela soa RMS de todos os odos onde n é o núero total de odos. n = (0) i i= 1 abé, a nora H para u sistea co ais de u atuador, ou sensor, é a soa RMS das noras para o sistea co cada u deles separadaente. 3.1 Índice e Matrizes de Posicionaento H O índice de posicionaento σ ki que avalia o k-ésio atuador no i-ésio odo e teros da nora H é definido para todos os odos e todas as localizações candidatas possíveis: 4

5 14 CREEM. FEMEC/UFU, Uberlândia-M, 007. ki σki = w ki, k = 1,,S i = 1,,n L L (1) sendo w ki 0 o peso para o k-ésio atuador e para o i-ésio odo. Usando estes índices, pode-se definir a atriz de posicionaento do atuador: σ1 σ1 L σ1k L σ1s σ1 σ σk σ L L S L L L L L L = σi1 σi L σik L σis iésio odo L L L L L L σn1 σn L σnk L σns késio atuador () A i-ésia linha desta atriz corresponde ao i-ésio odo e k-ésia coluna ao k-ésio atuador (ou posição candidata para o atuador). O procediento para o índice de posicionaento do sensor σ ki é siilar e avalia o k-ésio sensor no i-ésio odo e teros de nora H : = = L = L (3) ki σki w ki, k 1,,R i 1,,n sendo w ki 0 o peso para o k-ésio sensor e para o i-ésio odo. Usando estes índices, pode-se definir a atriz de posicionaento do sensor: σ11 σ1 L σ1k L σ1r σ1 σ σk σ L L R L L L L L L = σi1 σi L σik L σ ir iésio odo L L L L L L σn1 σn L σnk L σnr késio sensor (4) A i-ésia linha desta atriz corresponde ao i-ésio odo e a k-ésia coluna ao k-ésio sensor (ou posição candidata para o sensor). 4. ESRAÉIAS DE POSICIONAMENO DE SENSORES/AUADORES O problea de localização ótia de sensores e atuadores consiste e deterinar o posicionaento de u pequeno conjunto de atuadores e sensores tal que a nora H do sistea seja o ais próxio da nora do sistea copleto. Utiliza-se R e S para representare as localizações candidatas para o sensor e o atuador, respectivaente. O núero de posições candidatas é superior ao núero de atuadores e sensores disponíveis. 5

6 14 CREEM. FEMEC/UFU, Uberlândia-M, Estratégia de Posicionaento dos Atuadores Os seguintes passos são seguidos: 1. Localizar o sensor e ua posição qualquer acessível.. Baseado e experiências de engenharia, exigências técnicas e restrições físicas selecione as localizações possíveis de atuadores. Co isto S candidatos de posicionaento de atuadores são selecionados. 3. Para cada odo (k), e cada localização (i), deterinar o índice do posicionaento do atuador σ ak (i). 4. Para controlar u deterinado odo, selecionar a localização (i) ais iportante (ou seja, co o aior índice σ ak (i)). 5. Para controlar u deterinado núero n de odos, geralente definidos pelo odelo truncado, encontrar o índice σ ak para todos os n odos e cada posição k candidata (k = 1,..., S). Definir o núero de atuadores necessários (a n ) tal que os n seja controláveis (a n S). 4. Estratégia de Posicionaento dos Sensores Os seguintes passos são seguidos: 1. Localizar o atuador na posição ótia obtida anteriorente.. Baseado e experiências de engenharia, exigências técnicas e restrições físicas selecione as localizações possíveis de sensores. Co isto R candidatos de posicionaento de sensores são selecionados. 3. Para cada odo (k), e cada localização (i), deterinar o índice do posicionaento do sensor σ sk (i). 4. Para observar u deterinado odo, selecionar a localização (i) ais iportante (ou seja, co o aior índice σ sk (i)). 5. Para observar u deterinado núero n de odos, encontrar o índice σ sk para todos os n odos e cada posição k candidata (k = 1,..., R). Definir o núero de sensores necessários (s n ) tal que os n seja observáveis (s n R). 5. APLICAÇÃO NUMÉRICA A etodologia proposta neste trabalho para se obter o posicionaento ótio de sensores e atuadores foi aplicada e ua treliça plana de aluínio tipo Pratt (Figura ). Estas treliças são aplaente conhecidas e aplicadas, principalente e construções de engenharia civil, coo ostra a Figura 3. A treliça utilizada neste trabalho é coposta por 9 barras e 16 nós, co graus de liberdade por nó (deslocaento nas direções vertical e horizontal) e foi considerada engastada nos nós 1 e 9. As propriedades físicas e geoétricas da estrutura são ostradas na abela 1. Figura : reliça plana do tipo Pratt. 6

7 14 CREEM. FEMEC/UFU, Uberlândia-M, 007. Figura 3: reliças do tipo Pratt e ua ponte. (Fonte: acesso 30 de junho de 007) abela 1: Propriedades físicas e geoétricas da treliça Barras horizontais/verticais 0,8 Módulo de Elasticidade 70 MPa Densidade 710 Kg/ 3 Área da seção transversal, Cada barra da treliça foi considerada ua posição candidata para a localização do atuador e, para o sensor, todos os graus de liberdade livres (direção horizontal e vertical dos nós estruturais, exceto para os nós 1 e 9, que estão engastados). Co isto, é possível se verificar que existe 9 posições candidatas para o atuador e 8 para o sensor. Para clareza de copreensão, a abela ostra a relação entre cada posição candidata para o atuador (cada barra estrutural) e os nós da treliça. Nas Figuras 4a até 3f é possível observar a fora de cada u dos seis prieiros odos de vibrar da estrutura, respectivaente. abela : Posições candidatas para a localização do atuador relação entre as barras e os nós da treliça. Eleento Nós Eleento Nós Eleento Nós 1 1 e 11 7 e e 10 e e 15 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e 11 7

8 14 CREEM. FEMEC/UFU, Uberlândia-M, º Modo º Modo (a) 1º odo (b) º odo 3º Modo 4º Modo (c) 3º odo (d) 4º odo 5º Modo 6º Modo (e) 5º odo (f) 6º odo Figura 4: Seis prieiros odos de vibrar da treliça tipo Pratt. Coo descrito nas estratégias de posicionaento, foi considerado inicialente o sensor na posição candidata 15 (nó 10 direção horizontal, escolhida aleatoriaente) e os índices de posicionaento do atuador fora calculados. A Figura 5 ostra que as quatro prieiras elhores posições são nas barras, 1, e 3, respectivaente (ver abela ). Co isto, colocando u atuador na barra, os índices de posicionaento do sensor fora calculados, coo ostra a Figura 6. Note que as duas prieiras elhores posições corresponde aos nós h e 3 h (ver Figura ), respectivaente. O subíndices h indica a direção horizontal. Note na Figura 7 a aplitude áxia da resposta ao ipulso para cada posição candidata do sensor considerando o atuador na posição ótia. Pode-se verificar que a disposição das barras da treliça resulta e ua alta rigidez estrutural, assi, as aplitudes de vibração são pequenas, co exceção para o nó na direção horizontal. 1 Considerando os seis prieiros odos 0.8 Nora H Posição do Atuador Figura 5: Índices de posicionaento para o atuador. 1 Considerando os seis prieiros odos 0.8 Nora H Posição do sensor Figura 6: Índices de posicionaento para o sensor. 8

9 14 CREEM. FEMEC/UFU, Uberlândia-M, Aplitude áxia da resposta ao ipulso Aplitude () Posição do sensor Figura 7: Máxia aplitude de vibração para a resposta ao ipulso considerando o sensor e cada posição candidata. 6. CONSIDERAÇÕES FINAIS Estruturas co sensores e atuadores integrados vê sendo cada vez ais pesquisadas, principalente para o projeto de controle ativo de vibrações. Estas estruturas são chaadas de estruturas inteligentes e ua das ais iportantes etapas de projeto é o posicionaento ótio de sensores e atuadores. Neste artigo foi apresentada ua estratégia de posicionaento e ua treliça plana de aluínio envolvendo a nora H. Os índices de posicionaento dos sensores e atuadores fora calculados considerando os seis prieiros odos de vibrar da treliça. 7. REFERÊNCIAS Clough, R. W. e Penzien, J.,1975. Dynaics of Structures, Mcraw-Hill, New York. Ewins, D. J., 1984, Modal esting, Wiley. New York. awronski, W. K., 1998, Dynaics and Control of Structures: A Modal Approach, 1.ed New York: Springer Verlag, 31p. Liu, F. and Zhang, L., 000, Modal-Space Control of Flexible Intelligent russ Structures via Modal Filters, Proceeding of IMAC - International Modal Analysis Conference, pp Papatheodorou, M., aylor, C. A e Lieven, N. A. J., 1999, Optial Sensor Locations for Dynaic Verification, Structural Dynaics Eurodyn 99, pp ARADECIMENOS Os autores agradece à FAPESP (Fundação de Aparo a Pesquisa do Estado de São Paulo) pelo apoio financeiro concedido às pesquisas. 9