SIMULADOR DO COMPORTAMENTO DO DETECTOR DE ONDAS GRAVITACIONAIS MARIO SCHENBERG. Antônio Moreira de Oliveira Neto * IC Rubens de Melo Marinho Junior PQ

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1 SIMULADOR DO COMPORTAMENTO DO DETECTOR DE ONDAS GRAVITACIONAIS MARIO SCHENBERG Antônio Moreira de Oliveira Neto * IC Rubens de Melo Marinho Junior PQ Departaento de Física, ITA, CTA, 18-9, São José dos Capos, SP, Brasil RESUMO Foi feito aqui u estudo sobre as ondas gravitacionais, sua interação co a atéria e a detecção dessas ondas. Co isso, foi possível ipleentar u prograa, e linguage Matlab, capaz de siular o detector Mario Schenberg. Fora feitas siulações, utilizando esse prograa, obtendo gráficos que descreve o coportaento das aplitudes dos ressonadores e dos canais dos odos. ABSTRACT Here, we have studied gravitational waves, its interaction with atter and the detection of these waves. It was possible to ake a progra, in Matlab language, able to siulate the Mario Schenberg detector. Siulations were ade, using this progra, obtaining graphics that describe the behavior of the ode channels and resonator aplitudes. 1. INTRODUÇÃO Ondas gravitacionais são distorções na étrica do espaço-tepo que se propaga co a velocidade da luz. Elas fora previstas por Einstein e sua teoria geral da relatividade e 1916, coo soluções radiante das equações, na aproxiação de capo fraco. E analogia co as ondas eletroagnéticas que são geradas por acelerações de cargas, ondas gravitacionais são criadas por acelerações de assas sepre que a derivada terceira teporal do oento de quadrupolo da fonte aterial é diferente de zero. Assi coo cargas são aceleradas quando ondas eletroagnéticas passa por elas, ondas gravitacionais gera ondas de aré acelerando relativaente assas durante a sua passage. E corpos sólidos a passage da onda gravitacional induz vibrações nos odos naturais destes sólidos. A detecção dessas ondas consiste e se onitorar os seus odos naturais de oscilação. O detector de ondas gravitacionais Mario Schenberg consiste e u detector esférico que ve sendo construído por u grupo de cientistas brasileiros, cujo projeto se chaa Gráviton. Esse trabalho apresenta, ua revisão da teoria sobre ondas gravitacionais e detectores. Após isso, são descritos prograas escritos no Matlab, ipleentados para cuprir os objetivos do trabalho, e siulações realizadas.. ONDAS GRAVITACIONAIS.1 As Equações de Capo Fraco de Einstein e sua Fora Linearizada Ondas gravitacionais são distorções na étrica do espaço-tepo que se propaga na velocidade da luz. A existência dessas ondas foi provada ateaticaente por Albert Einstein, e 1916, coo ua * Bolsista do CNPq Brasil

2 solução radiante das equações de capo [1] 1 8πG Rµν gµν R 4 T, µν c de sua teoria da Relatividade Geral, onde R µν e Rg ρσ R ρσ representa, respectivaente, o tensor e o escalar de Ricci, a velocidade da luz é c e G corresponde à constante de gravitação universal. Einstein, usando a aproxiação de capo fraco g h, µν ηµν µν onde η µν trata-se da étrica de Minkowski e h µν <<1, tal que teros de orde superior a prieira possa ser desprezados, ostrou que, na ausência de fontes, as quantidades 1 hµν h h α µν ηµν α satisfaze h µν h µν hµν nu sistea de coordenadas onde, é conhecida coo condição de gauge. Nesta aproxiação, ν x as equações de capo são lineares e ondas transversais pode ser facilente obtidas. Das 16 coponentes de h µν (odo coo chaareos h µν daqui e diante) apenas são independentes [] hxx hxy h µν, h yx hyy onde h e h h, dando orige a ondas co estados de polarização xx h yy xy yx h h R[ A exp( iω ( tz/ c))] xx hx hxy R[ Axexp( iω ( tz/ c))]. Para ostrar o efeito de cada ua dessas polarizações, é necessário utilizar-se, por exeplo, de u círculo de assas de teste, pois ua onda gravitacional não te efeito sobre u único ponto. Fig 1 Distorção de u círculo de partículas durante a passage de ua onda gravitacional que se propaga na direção z. Pode ser observado o efeito das duas polarizações.. Efeito das Ondas Gravitacionais sobre a Matéria A onda gravitacional defora o espaço-tepo durante sua propagação. Assi, ao passar, ela gera u capo de densidade de forças, sobre deterinado aterial, [3]

3 1 hij ( t) ( x, t) ρ x, j t OG f i j onde h ij trata-se do tensor de perturbação étrica, ρ é a densidade do aterial e x j a posição deste e u sistea de coordenadas arbitrário. Este capo de forças pode ser representado coo o gradiente de u potencial escalar da fora.. OG 1 fi ( xt, ) Φ i ( xt, ) i( ρ xjhjk( t) xk). 4 A elhor aneira de resolver esse problea trata de usar a representação de harônicos esféricos(υ l ), a qual perite a separação e partes angulares e radiais. Escolhendo-se os harônicos esféricos de orde (l), pois eles representa os odos quadrupolares, obtê-se 5 harônicos associados aos odos norais (-,...,), os quais são representados por núeros coplexos. Cobinando linearente esses harônicos, obtê-se valores reais que são representados por Υ, co 1,...,5. Assi, te-se a expressão [4] π.. Φ( x, t) ρr h ( t) Y, 15 onde os teos h são chaadas de aplitudes esféricas, sendo correspondentes ao capo gravitacional. Eles se relaciona co as aplitudes h e h x da seguinte fora: jk,. γ e β são os ângulos forados co os eixos z e x do laboratório. Nesse sistea de coordenadas, o eixo x aponta para o sul e o eixo z coincide co o zênite local, sendo β a distância zenital e γ a aziutal. 3. DETECTORES DE ONDAS GRAVITACIONAIS Estudando elhor as ondas gravitacionais, foi possível desenvolver aparelho capazes de detectalas. Alguns desses detectores de ondas gravitacionais são chaados de detectores de assa ressonante. Esses instruentos ede a interação das ondas gravitacionais consigo, a qual se apresenta através de vibrações da antena gravitacional (corpo que interage diretaente co a onda, podendo ser ua barra ou ua esfera, por exeplo) e depende do aterial e da fora do detector. Fig - Modelo de detector icosaédrico truncado, co ressonadores secundários indicados.

4 3.1 Detectores Esféricos Esses aparelhos são constituídos por esferas ou foras aproxiadas (coo o odelo proposto por Merkowitz [4]) nas quais são acoplados transdutores ressonantes. Estes são responsáveis pela análise da vibração da assa esférica e seus 5 odos quadrupolares fundaentais. Cada u desses odos pode funcionar coo ua antena, possuindo diferentes orientações quanto à polarização ou à direção. Fig 3 - Modos quadrupolares de vibração. A região sobreada indica áreas de pouco oviento, e as regiões ais claras indica áreas de aior ovientação. 3. O Detector Mario Schenberg O detector de ondas gravitacionais Mario Schenberg, que ve sendo construído por u grupo de cientistas brasileiros, cujo projeto se chaa Gráviton, é constituído co ua esfera aciça de Cu(94%) Al(6%), a qual apresenta 1149,53 kg de assa e 3,388 c de raio a ua teperatura de 4K. Ele é ais apropriado para edir eventos ipulsivos (bruscos), tais coo coalescências de buracos negros, explosões de anãs brancas e sisteas binários, por exeplo. 4. FUNÇÕES DESENVOLVIDAS NO MATLAB E SIMULAÇÕES Utilizando o prograa Matlab e suas ferraentas [5], construíos funções para executar cálculos necessários para este projeto. Foi escrita ua função para gerar dados referentes às aplitudes esféricas e aos ângulos de incidência que a onda fora co o referencial do laboratório, onde encontra-se o detector. Para o cálculo da força efetiva realizada pela onda gravitacional na esfera, tabé foi escrita ua função, baseada na equação [4]:.. s 1 F() t h() t sχ R onde h consiste nas aplitudes esféricas de cada odo, s é a assa da esfera e χ é u coeficiente que associado ao raio R da esfera proporciona o raio efetivo da esfera. Através do conheciento adquirido co a elaboração das funções acia, elaboradas e linguage Matlab, dos testes realizados e das equações [4] π α / c α / c S a( ω) F ( ω), 3 S ( ω ω ) ( ω ω )

5 g( ω) 1 S R α α F ( ω ω ) ( ω ω ) π α α T S q( ω) B F ( ω), 3 ( ω ω ) ( ω ω ) S R onde α, α, c, c -, ω e ω são constantes que depende dos aspectos físicos da esfera e da assa dos ressonadores foi possível elaborar u prograa que, a partir da derivada segunda de h e h x, juntaente co os valores de γ e β, e apresenta, calcula as aplitudes e os canais dos odos. Utilizando esse prograa, entrou-se co valores nulos para h x, γ e β e, para h, atribuiu-se valores de ua função senoidal. Co isso, obtiveos o resultado ostrado nos gráficos abaixo. S ( ω), Fig 4 Aplitudes dos ressonadores (esquerda) e Canais dos Modos (direita). Analisando os gráfico acia, nos quais o eixo horizontal representa o tepo (e segundos), podese ver que apenas u dos canais dos odos foi excitado já que os dados de entrada (h, h x, γ e β) fora anipulados de fora a obter apenas ua aplitude esférica excitada. No caso das aplitudes dos ressonadores, te-se que todas fora excitadas. O canal do 1 odo chega a picos da orde de 1-13, enquanto as aplitudes dos ressonadores chega a picos de Utilizando esse prograa, entrou-se co valores nulos para h x, γ e β e, para h, fora atribuídos os valores representados pela equação k 1k k h cos t t ( ) ( t t) t k1 k t 8 / 3 onde e são constantes que depende da assa e da assa específica da esfera, k 1, k. ( π. f ) A constante, da orde de 1-1, no entanto, não foi levada e consideração para não trabalhar-se co núeros uito pequenos. Para essa siulação utilizou-se u intervalo de tepo de aproxiadaente,3s a 1,39s.

6 Co isso, obtiveos o resultado ostrado nos gráficos abaixo, nos quais o eixo horizontal representa o tepo (e segundos). Fig 5 Aplitudes dos ressonadores(esquerda) e Canais dos Modos(direita). Analisando os gráficos acia, pode-se ver que, assi coo os gráficos anteriores, apenas u dos canais dos odos foi excitado e todas as aplitudes dos ressonadores fora excitadas. Ua diferença e relação ao caso anterior é o intervalo de tepo analisado, que, neste caso, é be enor. Nota-se que o canal do 1 odo chegou a ua aplitude da orde de 1 4, enquanto que os outros apresentara valores nulos. As aplitudes dos ressonadores tabé chegara a picos de CONCLUSÕES Os resultados das siulações ostra que, se apenas u dos odos quadrupolares for excitado pela onda, apenas u dos canais dos odos será excitado, apesar de teros vibração de todos os seis ressonadores. Assi, os canais dos odos ostra a interação da onda co o detector, apesar de essa interação encontrar-se disfarçada nas vibrações dos ressonadores, o que nos perite estudar e, conseqüenteente, copreender elhor essas ondas. 6. AGRADECIMENTOS Agradeceos o apoio financeiro do CNPq através do Prograa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica PIBIC. 7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. Costa, C. A.; Estudo do detector Mario Schenberg co vistas à sua análise de dados; dissertação de estrado; INPE,.. Blair, D.G.; Rep. Prog. Phys, 1991, 63, Merkowitz, S. M., Johnson; Physical Review D, 1997, v. 56, n. 1, p Merkowitz, S. M.; Physical Review D, 1995, v. 51, n.1, p Matsuoto, E. Y.; Matlab 6.5 Fundaentos de Prograação; Érica, São Paulo, SP.