UMA HEURÍSTICA PARA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DE CARREGAMENTO DE CONTAINER

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1 Pesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Aente e Desenvolviento 2 a 5/09/06 Goiânia, GO UMA HEURÍSTICA PARA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DE CARREGAMENTO DE CONTAINER E. Vendraini Universidade Estadual Paulista Rubén Lázaro UNESP [ 576 ]

2 Pesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Aente e Desenvolviento 2 a 5/09/06 Goiânia, GO. Introdução O Problea de Carregaento de Container é u problea clássico e pesquisa operacional, na literatura ele é diferenciado entre aqueles probleas e que a carga copleta te que ser arazenada, podendo usar ais de u container (conhecido na literatura coo Problea Bin- Packing) e aqueles que tolera que alguns itens seja deixados para trás, utilizado soente u container (conhecido coo problea Knapsack). Outro tipo de suposta diferenciação é a definição de tipos de carga que será alocada no container, a carga pode ser hoogênea (u tipo de caixa soente), heterogênea fraca (poucos tipos de caixa co uitas caixas de cada tipo) e ua carga forteente heterogênea (uitos tipos de caixa co poucas caixas de cada tipo). O assunto do artigo é o problea Knapsack co carga heterogênea, cujo objetivo geral segundo Pisinger (2002), é deterinar ua configuração de carga tal que o volue utilizado e relação ao volue total disponível do container seja axiizado. Outros objetivos que pode ser agregados ao problea são: Maxiização do peso da carga, do equilíbrio (centro de gravidade) e do valor onetário associado à carga. Todos os esforços são usados para que os itens de carga seja adequados dentro do container da elhor aneira possível, visando os objetivos já citados. A iportância da abordage deste problea está na prática constante do transporte internacional de ercadorias e produtos através de containers, por vias aéreas ou arítias. Este tipo de transporte é oneroso e cobra-se pelo container alugado e não pela quantidade de produto que será carregada. Por isso a vantage de aproveitar o volue do container ao áxio. Se o carregaento do container não for be planejado, pode coproeter o valor final da ercadoria transportada ou até ser encarado coo prejuízo para que vendeu o produto que está sendo transportado. O problea abordado no artigo é considerado NP-difícil e por isso coplexo de ser resolvido ateaticaente e deterinisticaente, justificando o eprego de heurísticas para resolução do problea. O artigo aqui exposto propõe coo resolução para o problea de carregaento de container ua heurística diferenciada, onde é proposta ua divisão do container e cada divisão é encarada coo u problea Knapsack. Por ser ua heurística u tanto quanto nova ela será detalhada na seção 2, os testes realizados e os resultados obtidos serão apresentados na seção 3, finalizando o artigo co sua conclusão na seção A Heurística Proposta A heurística proposta neste artigo trabalha de aneira sisteática. Caixas de vários tipos estarão disponíveis para o carregaento do container. A quantidade de caixas de cada tipo será contalizada no início da aplicação da heurística, e caixas co esas diensões as de tipos diferentes serão contalizadas coo caixas de u único tipo. A orde coo as caixas serão carregadas no container ao final da aplicação da heurística será chaada de padrão de carregaento. Este padrão de carregaento será arazenado e u vetor onde o índice do vetor indica a orde que a caixa será alocada no container e o conteúdo do vetor naquele índice (posição) ostra qual caixa será alocada no container naquela orde. O cálculo do volue ocupado pela carga carregada, alé dos cálculos do peso da carga, do equilíbrio e valor da carga carregada serão realizados após o processo heurístico aplicado no problea, processo que será chaado de decoposição dos espaços do container. A heurística proposta por este artigo possilita através da decoposição dos espaços do container o preenchiento do eso dividindo-o e quatro partes. São elas: Parte Principal ou Corpo Principal do Container, Espaço Lateral Residual, Espaço Superior Residual e Espaço Frontal Residual. O preenchiento dos quatro espaços do container obedece a ua orde de preenchiento partindo prieiraente da lateral esquerda para a direita, preenchendo o espaço horizontal, logo após segue o preenchiento do espaço vertical de baixo para cia e e seguida do fundo do container para frente. A heurística procura tabé, alocar caixas ais pesadas abaixo e e caadas específicas, [ 577 ]

3 Pesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Aente e Desenvolviento 2 a 5/09/06 Goiânia, GO onde o risco de esagaento da carga por outra ais pesada se anula. Codificação do Padrão de Carregaento A representação do padrão de carregaento (P) é forada por índices de caixas b i : P={b, b 2, b 3,..., b n }, onde i =,..., n são índices das caixas. A seqüência b, b 2,..., b n representa a orde co que as caixas deve ser posicionadas no container, seguindo as regras de preenchiento previaente definidas. A seguir a figura ostra coo seria u possível padrão de carregaento co quatro caixas disponíveis. P = Seqüência de carregaento das caixas Núero de caixas disponíveis para o carregaento Fig. Exeplo de Padrão de Carregaento Os índices das caixas tabé representa os tipos de caixas, pois se teos x tipos de caixas, e cada tipo de caixa te caixas representando-o, então as caixas co índices de a representa as caixas do tipo, as caixas co índices de + a 2 representa as caixas do tipo 2 e assi sucessivaente, até copletar os índices das caixas disponíveis para o carregaento. A tabela logo abaixo, traz de aneira siples e didática coo identificar o tipo de cada caixa. Tabela. Exeplo de Identificação de Tipo de caixa Tipo Qtde. Caixas Intervalo de Tipos de Caixas 2 à à à 0 Alé do vetor onde é representado o padrão de carregaento, a codificação do problea estudado necessita de u vetor auxiliar onde é sinalizado coo as caixas fora rotacionadas e alocadas no container. Para tanto a variação da orientação da caixa é identificada através de índices. Se a largura da caixa está apoiada na base, e altura e profundidade não variara, então o índice que representa esta posição de caixa é igual a. Se a altura da caixa está apoiada na base, e largura da caixa no lugar da altura, co profundidade se variar, então o índice que representa esta posição de caixa é igual a 2. Se a profundidade está apoiada na base, a altura se variar e largura da caixa está no lugar da profundidade, então o índice que representa esta posição de caixa é igual a 3. Se a largura está apoiada na base, e altura e profundidade trocara de lugar entre si, então o índice que representa esta posição de caixa é igual a 4. Se a altura está apoiada na base, profundidade está no lugar da altura e largura no lugar da profundidade, então o índice que representa esta posição de caixa é igual a 5. Se a profundidade está apoiada na base, largura está no lugar da altura e altura está no lugar da profundidade, então o índice que representa esta posição de caixa é igual a 6. Assi depois de aplicar o processo de decoposição de espaços é gerado u outro vetor copleentar ao padrão de carregaento onde é identificado de que aneira a caixa foi alocada no container. [ 578 ]

4 Pesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Aente e Desenvolviento 2 a 5/09/06 Goiânia, GO Cálculos para a avaliação do Padrão de Carregaento Teos duas propostas para a avaliação do padrão de carregaento. São elas: a avaliação co o objetivo de axiizar soente o volue da carga alocada no container pela heurística (avaliação ais cou na literatura) e a avaliação co o objetivo de axiizar volue, peso, centro de gravidade e valor da carga carregada, este segundo tipo de avaliação foi proposta por Rodrigues (2005) e será aplicada no trabalho para fins de coparação. () Maxiizar soente volue da carga O cálculo ais cou no eio científico para a avaliação do padrão de carregaento é calcular apenas a porcentage do volue ocupado pela carga alocada no container e relação ao volue do container. O objetivo é obter o valor áxio de 00% na ocupação do volue do container, as coo uitas vezes isso não é possível, procura-se o valor ais próxio. A função usada para axiizar o volue da carga está descrita logo abaixo. ϖ = VL VL c x00 Onde VL é o volue de cada caixa carregada, onde i deterina o índice da caixa, e VL c é o volue disponilizado pelo container. (2) Maxiizar volue, peso, centro de gravidade e valor da carga Os cálculos para a avaliação do padrão de carregaento após a aplicação do processo de decoposição dos espaços são realizados de aneira separada, pois serão calculados vários interesses e só depois os resultados serão reunidos para u valor final. Segundo Rodrigues (2005) avalia-se a configuração da carga carregada confore o volue ocupado, o peso dos produtos carregados, o centro de gravidade e o valor total dos produtos. Cada sub-função possui u peso associado que prioriza os objetivos ais iportantes e relação a outros objetivos. O objetivo principal é obter o valor áxio da função geral que rege este problea. A função geral está descrita logo abaixo. kxvl + k 2xP + k 3xG + k 4xV ϖ = k + k 2 + k 3 + k 4 As sub-funções são as seguintes: VL - Sub-função para o cálculo do volue; P - Sub-função para o cálculo do peso; G - Sub-função para o cálculo do centro de gravidade e V - Sub-função para o cálculo do áxio valor dos produtos carregados. Os pesos são deterinados por k, k 2, k 3 e k 4, que estão associados às sub-funções do volue (VL), do peso (P), do centro de gravidade (G) e do valor da carga (V), respectivaente. Sub-função do Volue (VL) VL = VL VL c x00 Na expressão, VL é o volue de cada caixa carregada, onde i deterina o índice da caixa, e VL c é o volue disponilizado pelo container. Sub-função do Peso (P) [ 579 ]

5 Pesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Aente e Desenvolviento 2 a 5/09/06 Goiânia, GO 0... P > Pc P = P x00... P Pc Pc P c é o peso áxio suportado pelo container, P é o peso da caixa de índice i e representa o núero de caixas da carga. Sub-função do Centro de Gravidade (G) G = Hcx.5 P xg P / Hc x00 P representa o peso da caixa carregada, G representa a distância do centro de gravidade de cada caixa para co a base do container, confore índice i, e assue-se que o valor édio da altura da caixa é o seu centro de gravidade, e H c é a altura do container. Considera-se coo ideal u centro de gravidade no centro geoétrico do container (etade da altura). Caso o centro de gravidade esteja abaixo do valor édio da altura do container, o valor de G será aior que 00 e, caso contrário, G assuirá u valor abaixo de 00. Sub-função do Valor (V) 0... V = V x00... Vc i = V V > V V c c V é o valor associado a cada produto e V c é o valor onetário áxio que a carga do container deve possuir. Decoposição dos Espaços do Container A decoposição dos espaços do container para obtenção da seqüência de caixas que peritirá conhecer o padrão de carregaento do container é realizada de aneira sisteática. O processo respeita as restrições que as caixas e o próprio container apresenta, coo liites diensionais. As caixas poderão ser rotacionadas (udança de orientação) e até seis variações. As caixas preencherão o container seguindo a orde de preenchiento da esquerda para a direita, de baixo para cia e do fundo do container para frente. No processo de decoposição dos espaços do container teos ua seqüência de passos a seguir e que deve ser respeitada a sua orde.. Prieiraente, verifica-se qual a caixa que te o aior núero de siilares, ou seja, qual a caixa que te o aior núero de caixas co diensões idênticas a ela. 2. A caixa escolhida é alocada no ponto de partida que é a orige do container, localizada no canto inferior esquerdo do fundo do container. 3. A caixa é rotacionada para que iniize prieiraente o espaço restante na lateral direita do container, o ideal seria que não houvesse sobra. Então a diensão que retornar a enor sobra é fixada coo largura da caixa. [ 580 ]

6 Pesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Aente e Desenvolviento 2 a 5/09/06 Goiânia, GO 4. Depois, nesta orde de prioridade, rotaciona as duas diensões livres para que iniize o espaço restante superior. Então a diensão que retornar a enor sobra é fixada coo altura da caixa 5. E por últio, na orde de prioridade, a única diensão livre da caixa é atribuída ao copriento da caixa, tendo tabé ua sobra no espaço frontal do container. 6. A partir desta posição fixa, outras caixas co diensões iguais serão colocadas ua do lado da outra e ua e cia da outra até que o espaço na lateral direita e acia seja iniizados, forando assi ua caada. 7. Caadas iguais à descrita logo acia preencherão o container até que não exista ais caixas iguais às utilizadas na caada anterior disponíveis ou que o espaço restante na parte frontal do container não consiga alocar ais ua caada. 8. A parte do container que foi preenchida pelo conjunto de caadas iguais será chaada de Parte Principal ou Corpo Principal do Container, e os espaços restastes serão chaados de Espaço Lateral Residual, Espaço Superior Residual e Espaço Frontal Residual Portanto houve ua divisão de quatro partes no container para elhor preenchê-lo. Logo após o Corpo Principal do Container ser encontrado, é verificado se os espaços residuais são excessivos. Será considerada sobra excessiva se esta ultrapassar cerca de 4% do taanho da diensão do container relacionada co esta sobra. Se não for constatado sobra excessiva deve-se ignorar os passos relacionados a ela. 9. Verifica-se a largura do Espaço Lateral Residual, se esta largura for aior que 4% da largura do container é verificado tabé se girando a caixa e suas três diensões, a enor sobra encontrada é aior ou igual ao taanho da enor diensão de caixa disponível para carregaento. Se esta condição for satisfeita não será executado o passo 0 e volta-se ao passo Para u resultado negativo da condição acia este passo deve ser executado, se a largura do Espaço Lateral Residual for aior que 4% da largura do container, as o taanho da sobra não é aior ou igual ao taanho da enor diensão de caixa encontrada entre as caixas disponíveis, a prieira caixa alocada na orige do container deve ser substituída pela caixa que deté o segundo aior núero de caixas siilares a ela, se eso esta não satisfazer a condição dos 4%, deve ser testada a caixa que deté o terceiro aior núero de caixas siilares a ela e se eso assi esta terceira caixa não satisfazer a condição iposta deve-se optar pela elhor entre elas, ou seja, a caixa que resultou na enor sobra eso não satisfazendo a condição iposta será a escolhida. Volta-se ao passo 4. O eso deve acontecer co o Espaço Superior Residual.. Verifica-se a largura do Espaço Superior Residual, se esta altura for aior que 4% da altura do container é verificado tabé se girando a caixa e suas duas diensões livres, a enor sobra encontrada é aior ou igual ao taanho da enor diensão de caixa disponível para carregaento. Se esta condição for satisfeita não será executado o passo 2 e volta-se ao passo 5 2. Para u resultado negativo da condição acia este passo deve ser executado, se a altura do Espaço Superior Residual for aior que 4% da altura do container, as o taanho da sobra não é aior ou igual ao taanho da enor diensão de caixa encontrada avaliando os tipos de caixas disponíveis, deve-se retirar a últia caixa colocada acia das outras e voltar ao passo. Co o Corpo Principal do Container definido, os espaços residuais serão preenchidos procurando seguir as esas orientações que a parte principal. A orde de preenchiento dos espaços residuais é prieiraente o Espaço Lateral Residual, e seguida Espaço Superior Residual e por últio Espaço Frontal Residual. 3. Procurando-se caixas de diensões idênticas capazes de preencher ao áxio os espaços residuais. E a partir do oento que a caixa foi escolhida para preencher o espaço livre do container ela não poderá ais ser utilizada para preenchientos [ 58 ]

7 Pesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Aente e Desenvolviento 2 a 5/09/06 Goiânia, GO posteriores. Dentro do processo de decoposição, os espaços do container são analisados separadaente verificando a existência de caixas de esas diensões, as pesos diferentes e se existir, as caixas serão colocadas dentro do espaço que se encontra abaixo das outras ou e caadas específicas para não ocorrer esagaento de carga. A figura 2 traz o fluxograa do Processo de Decoposição dos Espaços do Container. Início A única diensão livre da caixa é atribuída ao copriento Escolha da Caixa que te o aior núero de siilares A caixa escolhida é alocada na orige do container As caixas siilares são epilhadas na esa posição, prieiraentedo lado e depois a cia Rotaciona-se a caixa para que iniize prieiraente o espaço restante na lateral direita do container, fixa largura da caixa. Quantidade de caixas que poderia ser epilhadas exedeu o núero de caixas disponíveis Qcx? Si Subtrair ua caada Rotaciona-se a caixa para que iniize o espaço restante na parte superior do container, fixa altura da caixa. Não Diinuição de ua caixa no nível superior Não Si Si A enor sobra entre as três diensões é >= ao taanho da enor diensão de caixa? Si Espaço Lateral Residual excedeu 4% da largura do container? Não Espaço Superior Residual excedeu 4% da altura do container? Si A enor sobra entre duas diensões é >= ao taanho da enor diensão de caixa? Não Troca de caixa Preencher Espaços Residuais Fi Fig 2. Fluxograa do Processo de Decoposição dos Espaços do Container 3. Testes e Resultados A heurística desenvolvida foi testada co diferentes diensões de caixas disponíveis para o carregaento e co diferentes grupos de caixas, hoogêneos e heterogêneos. A heurística foi desenvolvida e FORTRAN 4.0 e os testes fora realizados e u PC HP BRIO PentiuII Processador IntelMMX/ 256 MB de eória RAM, co sistea operacional Windows 98 Os dados que fora utilizados e nossos testes fora apresentados e Rodrigues (2005), o container tinha proporções de.35 de altura, 5 de copriento e.08 de largura. Tinha coo peso áxio de carregaento 8070 kg e o valor de Os valores dos pesos k, k 2, k 3 e k4 que fora utilizados no cálculo de ua das propostas de avaliação do padrão de carregaento são respectivaente 7, 0.5, 0.5 e 2. Logo abaixo teos a tabela 2 que revela os dados diensionais, peso, valor e quantidade de caixas disponíveis para os testes. Tabela2 Dados diensionais, pesos e valores das caixas do teste co 285 caixas. Tipo Altura(c) Copr.(c) Largura(c) Volue(c 3 ) Peso(kg) Valor(R$) Qtd. A [ 582 ]

8 Pesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Aente e Desenvolviento 2 a 5/09/06 Goiânia, GO B C D E F G Os testes realizados co 285 caixas co diensões heterogêneas alcançara o valor de 78.6% para a Função Geral, 94.5% para o volue ocupado, 23.% do valor aditido, 4.6% do peso peritido e 39.3% de equilíbrio alcançado. O prograa foi executado e enos de 3 in, e o padrão de carregaento resultante é este: Corpo Principal: 66 caixas entre os tipos E, F e G. Espaço Lateral Residual: não foi possível preenchê-lo, espaço de sobra desprezível. Espaço Superior Residual: 24 caixas do tipo A. Espaço Frontal Residual: 6 caixas do tipo B. Co o vetor auxiliar trazendo a posição de cada caixa co estes valores: Corpo Principal: 4. Espaço Lateral Residual: não foi possível preenchê-lo, espaço de sobra desprezível. Espaço Superior Residual: 3. Espaço Frontal Residual: Conclusões Coo observado a heurística proposta deonstrou ser ua técnica eficiente para o problea de carregaento de container, ocupando o espaço disponível quase e seu total. Os resultados obtidos são altaente satisfatórios, tendo e vista que na literatura encontrase resultados inferiores aos aqui apresentados. A heurística proposta se ostrou flexível ao se adaptar ao problea específico estudado, trabalhando de aneira aceitável tanto co grupos de caixas hoogêneas quanto heterogêneas. 5. Referências Bibliográficas Belov, G. Scheithauer, G, A cutting plane algorith for the one-diensional cutting stock proble with ultiple stock lengths, European Journal of Operational Research 4, pp , Bischoff, E. E. Marriott, M. D, A coparative evaluation of heuristics for container loading, European Journal of Operational Research, North-Holland, pp , 990. Bortfeldt, A. Gehring, H, A hybrid genetic algorith for the container loading proble, European Journal of Operational Research, North-Holland, pp 43-6, 200. Díaz, A. Glover, F. Hassan M. Ghaziri, J. L. G. Laguna, M. Moscato, P. Tseng, F. T, Optiización Heurística y Redes Neuronales, editora: Paraninfo, MADRID, 996. Laguna, M, A Guide to Ipleenting Tabu Search.Investigación Operativa, Vol.4, nº Abril 994. Lodi, A. Martello, S. Monaci, M, Two-Diensional packing probles: A survey, European Journal of Operational Research 4, pp , Pisinger, D, Heuristics for the container loading proble, European Journal of Operational Research, North-Holland, pp , Rodrigues, L. L, U Algorito Genético para o Problea de Carregaento de Container. Dissertação (Mestrado e Engenharia Elétrica) Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Wu, Y. Huang, W. Lau, S. Wong, C.K. Young, G. H, An effective quasi-huan based heuristic for solving the rectangle packing proble, European Journal of Operational Research 4, pp , [ 583 ]

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