Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Sistemas de Partículas

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1 Resuo co exercícios resolvidos do assunto: Sisteas de Partículas (I) (II) (III) Conservação do Moento Centro de Massa Colisões (I) Conservação do Moento Na ecânica clássica, oento linear ou quantidade de oviento é o produto da assa pela velocidade de u objeto: p = v. Por exeplo: u cainhão de grande assa se ovendo rapidaente te ua grande quantidade de oviento assi coo é necessário que haja ua grande força atuando sobre o cainhão para fazê-lo chegar a tal velocidade, é preciso que ua força igualente elevada aja sobre ele a fi de pará-lo. Logo, a quantidade de oviento de u corpo é diretaente proporcional à assa do eso. O oento linear é ua grandeza vetorial, cuja direção e sentido são os esos da velocidade. Antes de avançaros, udando u pouco a orde das explicações dos principais livros de Física I, vaos estudar o Ipulso de ua força. Ipulso de ua força De fora siples e prática, teos que o ipulso é ua grandeza física que relaciona a força que atua sobre u corpo durante u intervalo de tepo. Teos a seguinte relação, advinda da Segunda Lei de Newton:

2 F ext = dp dt dp = F ext dt p f t f dp = F ext dt p i t i Sendo p o vetor oento linear de u sistea. Logo, podeos afirar que: p f p i = F ext t f t i p = I = F ext t O Ipulso gerado por ua força F durante certo tepo t ocasiona e é igual a variação no vetor oento linear do sistea. Sendo assi, se não houver atuação de forças externas (F=0), teos: p = 0 p f p i = 0 p i = p f p i = p f 1 v 1i + v i + + n v ni = 1 v 1f + v f + + n v nf Daí,chegaos a seguinte conclusão: Se a ação de forças externas o oento linear é conservado. Alé disso, se houver forças internas de ua partícula agindo sobre a outra, poré abas e u eso sistea, o oento linear tabé é conservado. Cara,guarde isto no seu cérebro trancado a 7 chaves pelo enos até o dia da prova, pois co certeza cairá ais de ua questão sobre esse tea,alé disso exercite bastante para chegar esperto na prova. #Fikdik. Exeplo 1: (UFRJ Modificada) A figura ostra u carrinho de assa, sobre u trilho de ar, que coprie de x ua ola de constante elástica k. O carrinho está inicialente preso ao suporte do trilho por u fio. O fio é cortado, e a ola expande-se epurrando o carrinho. Ao passar pela posição de equilíbrio da ola, o carrinho perde contato co a ola. No trajeto até perder contato co a ola,de quanto foi o ipulso fornecido ao carrinho? O Ipulso dado pela força no carrinho é justaente o produto da força F pelo tepo. Mas pelo Teorea anteriorente citado, teos que I = p. Logo, podeos calcular a o ipulso pela variação do oento linear. Teos que,para achar p,teos: p = p f p i = v f v i Coo o oviento partiu do repouso, teos v i = 0,logo: p = v f (I) Pela conservação da Energia Mecânica, teos:

3 1 kx i² + 1 v i² = 1 kx f + 1 v f² 0 1 kx i = 1 v f v = x k (II) Aplicando (II) e (I), teos: p = v f = x k Exeplo : (UFRJ-013.)Ua granada encontra-se e repouso sobre ua esa horizontal lisa (se atrito) e explode e três fragentos. Os fragentos adquire oentos lineares p 1, p ep 3 de ódulos diferentes de zero, cujas direções fora ângulos diferentes entre si. O diagraa correto que representa a relação entre os oentos lineares destes fragentos é: Coo não há atuação de força externas, teos: Pela conservação do oento linear, teos: p i = p f Coo p i = 0, p f = 0, ou seja, a soa dos vetores é igual a zero.no caso, a alternativa 5, letra E. Outro exeplo bastante conhecido e cobrado e provas, é o que u pai puxa seu filho (abos de patins de gelo se atrito) co ua corda, sendo a assa do pai aior que a do filho, que chega prieiro no centro? Neste caso, estando abos inicialente parados, teos, pela conservação do oento linear,pois a única força que existe é interna(do pai no filho) : p i = p f 0 = pai v pai + filo v filo Logo: v filo = pai v pai fil o Sendo pai > filo v filo > v pai Logo, o filho chegará antes no eio do percurso. (II) Centro de Massa

4 Centro de assa é o ponto de u sistea onde se pode considerar, para efeitos de translação, que está concentrada toda sua assa. Consequenteente, é nele que está sendo realizada a força resultante no sistea, e usa-se o oviento do centro de assa para descrever o oviento do sistea coo u todo. Vaos coeçar pelo caso ais siples. Se tiveros três objetos, por exeplo, no espaço, a sua posição pode ser calculada por: x CM = 1x 1 + x + 3 x y CM = 1y 1 + y + 3 y z CM = 1z 1 + z + 3 z Sendo x n, y n e z n as posições do Centro de Massa dos corpos, pontuais ou rígidos. Obs: A posição do centro de assa de objetos co assa hoogênea e toda sua extensão é exataente no eio, coo por exeplo o centro de assa de ua reta de copriento L é e L/,e o de u quadrado de lado a, considerando seu vértice inferior esquerdo na orige de u sistea cartesiano, está localizando no ponto x, y = ( a, a ). Podeos generalizar afirando que a posição do centro de assa r c pode ser dada por: r c = n i=1 n i=1 i i r i (1) Exeplo: (UFRJ-013.-Modificada)Ua chapa hoogênea quadrada de lado a te u canto quadrado de lado a retirado. A chapa restante está disposta no plano OXY coo indicado na figura. E relação à orige O, qual o vetor posição r CM do centro de assa? Para deterinar a posição do centro de assa, teos: x CM = 1x 1 + x 1 + Sendo β a densidade superficial (ou areolar) da placa, teos: β = A, = βa Sendo A a área da placa.

5 Logo: x CM = βa 1x 1 + βa x βa 1 + βa = A 1x 1 + A x A 1 + A Se A for retirada de A 1, consideraos A negativa. Logo, teos: x CM = A 1x 1 + A x = 4a². x 1 a²x = 4x 1 x = 4a a = 7 A 1 + A 4a² a² ai A esa conta é feita para o y CM (verifique). Logo, teos: Posição do centro de assa = 7 (i + j ) 6 Derivando a equação 1 e função do tepo, teos: v c = dr c dt = n i=1 n i=1 i i dr i /dt Logo, podeos calcular a velocidade do Centro de Massa pela relação: v c = 1v 1 + v + 3 v Co a ausência de forças externas podeos utilizar conservação do oento linear para o centro de assa, teos que: Logo, teos que: p i = p f = v c inicial = v c final v c inicial = v c final Se a presença de forças externas a velocidade do centro de assa é conservada. (III) Colisões Se a velocidade inicial for nula, teos que a posição do centro de assa está parada, e co ausência de forças externas sepre peranecerá parada. Isto é uito cou e cair nas provas, principalente coo no exeplo abaixo: Exeplo: (Moyses Nussenzveig) U reador de 75kg, sentado na popa de ua canoa de 150kg de 3 de copriento, conseguiu trazê-la para ua posição que está parada perpendicularente à arge de u lago, que nesse ponto fora u barranco, co a proa encostada nua estava onde o reador quer aarrar a canoa. Ele se levanta e cainha até a proa, o que leva a canoa a afastar-se da arge. Chegando à proa, ele consegue, esticando o braço, alcançar até ua distância de 80c da proa. Conseguirá agarrar a estaca?caso contrário, quanto falta?

6 Considere o centro de assa da canoa coo localizado e seu ponto édio e despreze a resistência da água. Coo não há a ação de forças externas, a única força feita no sistea é pelo pé do pescador para andar para frente, poré ela é ua força interna e não uda a velocidade ne a posição P do centro de assa. Logo, podeos calcular a posição do centro de assa no inicio e no final e dizer que a diferença (x CMfinal x CMinicial ) foi justaente o que o barco andou para trás, sendo assi, teos: Sendo a popa a parte traseira e a proa a dianteira do barco e sendo o centro de assa do garoto na posição 0 e do barco (corpo extenso) no seu centro, teos: Xc = x + MX +M Sendo e x a assa e a posição do hoe e M e X a assa e a posição do centro de assa do barco, teos: No inicio: Xc= ( ,5)/(150+75) =1 No fi: Xc= ( ,5)/(5)= Pela conservação da posição do centro de assa, o barco se desloca (x CMfinal x CMinicial ) = 1 etro atrás para peranecer na posição do centro de assa inicial. Logo, a proa do barco fica a 1 etro de distância da estaca. Logo, o pescador não alcança a estaca, pois seu braço te 80c, faltando 0c para alcança-la. (III) Colisões Dando prosseguiento ao conteúdo vaos estudar as colisões. Ua colisão é o ato de duas ou ais partículas ou corpos acroscópicos entrare e contato podendo trocar oento e energia ou não.é u evento isolado onde dois ou ais corpos exerce fortes forças de contato entre si durante u curto espaço de tepo.o resultado de ua colisão pode ser extreaente variado, desde os corpos ficare grudados ou entrar e espalhaento(velocidades e direções distintas), coo na figura abaixo.

7 Aplicando todos estes conhecientos às colisões,estudareos agora dois tipos possíveis de colisões, elásticas, e inelásticas.mas antes de abordar os dois tipos de colisões podeos afirar que o oento linear é conservado e todos os tipos de colisões,basta apenas não haver atuação de forças externas agindo sobre o sistea. Estudareos de ua fora objetiva e que você não tenha que ficar decorando fórulas para cada caso. Colisão Elástica: É u caso ideal, e que na colisão são conservados o vetor oento linear (coo e toda colisão se forças externas) e a energia cinética. Na aioria das questões envolvendo colisões elásticas,deveos fazer u sistea utilizando a conservação dos dois fatores, coo abaixo: p i = p f 1 v 1i + v i + + n v ni = 1 v 1f + v f + + n v nf K i = K f 1v 1i ² Exeplo 1: (IF-UFRJ) + v i ² + + nv ni ² = 1v 1f ² + v f ² + + nv nf ² Ua pequena esfera de assa está verticalente acia de ua bola aior de assa M. As duas bolas são deixadas de ua altura h (suponha que os raios das bolas) são desprezíveis e confronto co h. Se a bola aior ricocheteia elasticaente co o chão e a enor ricocheteia elasticaente na aior, que valor de faz co que a bola aior pare no instante e que colide co a enor? Resposta: Teos que iediataente após a bola de assa M entrar e contato co o chão a bola volta co a esa velocidade só que para cia, entrando e colisão co a bola de assa e depois peranecendo parada. Teos a seguinte situação:

8 Utilizando o sistea co o caso e 3, teos: Sendo v a velocidade dos dois antes do choque e V a velocidade de após o choque. p i = p f v + M v = 0 + V V = v M (I) K i = K f v + Mv = V V² = v + M, V = v + M (II) Substituindo II e I, teos: v M = v + M Elevando abos ao quadrado, teos: Colisão Inelástica: M = ( + M) M + M = + M M = 3M, logo: M = 3 São colisões e que o oento linear é conservado, todavia a energia cinética não. Pode ser divididas e colisões parcialente e totalente inelásticas. Colisões Totalente Inelásticas: São colisões do tipo bate-gruda, ou seja, depois da colisão entre as partículas, abas passa a se locoover co ua esa velocidade vetorial v f. Sendo assi conservado o oento linear, as não a energia cinética, sendo dissipada por energia sonora ou térica. Teos: Moento Linear p i = p f 1 v 1i + v i + + n v ni = ( n )v f

9 Energia K i = K f + τ dissip. Sendo τ dissip. o trabalho dissipado pela energia sonora ou térica. Colisões Parcialente Inelásticas: São colisões que dissipa energia cinética e tabé conserva o oento linear, todavia, as velocidades das partículas são diferentes após a colisão, não sendo ua colisão do tipo bate-gruda. Lebraos tabé, que o vetor oento linear que é conservado, tendo a conservação e cada eixo. Podeos afirar tabé que: p i i = p f i p i j = p f j p i k = p f k Encontraos uito facilente, principalente e questões discursivas de provas antigas questões no caso bidiensional. Para resolver, basta resolver os esos sisteas utilizando, desta vez, a igualdade dada anteriorente para cada eixo. Exeplo: (UFRJ-013.1) a) Não há forças externas agindo sobre o sistea, logo teos conservação do oento linear. Teos: Logo, v = vj b) p i = p f v + 3v i = vi + vj + v

10 Pronto!Agora você pode resolver qualquer tipo de questão envolvendo este tea. Acho que isto é ais que necessário para você fazer uitas questões e andar uito be nas provas. Aconselho que tente fazer a aior quantidade de exercícios possíveis, inclusive os abaixo e #partiusabarnacaradafisica1. Exercícios Recoendados 1) (ITA) )(ITA) 3) (ITA) 4) (UFRJ-013.1) 5)(UFRJ-01.) 6)(UFRJ-014.1)

11 7) (UFRJ-014.1) 8)(UFRJ-014.1) Gabarito 1) = M + a. tgθ/m ) d 3) g 3 4) d 5) c 6) a 7) b 8) a Bons Estudos!! Dúvidas? Acesse o Solucionador na página ou ande eail para

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