LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF UFPB 10 de Junho de 2013, às 18:18. Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de física teórica,

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1 Exercícios Resolvidos de Física Básica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de física teórica, Doutor e Física pela Universidade Ludwig Maxiilian de Munique, Aleanha Universidade Federal da Paraíba (João Pessoa, Brasil) Departaento de Física Baseados na SEXTA edição do Fundaentos de Física, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontra-se e: jgallas Contents 30 O Capo Magnético Questões Probleas e Exercícios Definição de B 1/ A Descoberta do Elétron 9/ O Efeito Hall 14/ Moviento Circular de ua Carga 19/ Cíclotrons e Sincrotons 38/ Força agnética sobre fio transportando corrente 43/ Torque sobre ua Bobina de Corrente 53/ O Dipolo Magnético 62/ Coentários/Sugestões e Erros: favor enviar para yahoo.co (se br no final...) (listaq3.tex) jgallas Página 1 de 13

2 30 O Capo Magnético 30.1 Questões Q Dos três vetores na equação F B qv B, que pares são sepre ortogonais entre si? Que pares pode forar u ângulo arbitrário entre si? Esta questão é apenas ua revisão de álgebra vetorial: o vetor que resulta de u produto vetorial de dois outros vetores deve sepre ser ortogonal aos vetores dos quais descende. Portanto os vetores v e B pode fazer u ângulo arbitrário entre si. Mas F B será necessariaente perpendicular tanto a v quanto a B. Q Iagine que você esteja sentado nua sala co as costas voltadas para a parede, da qual eerge u feixe de elétrons que se ove horizontalente na direção da parede e frente. Se o feixe de elétrons for desviado para a sua direita, qual será a direção e o sentido do capo agnético existente na sala? Vertical, para baixo. Pois fazendo o produto vetorial v B veos que a força agnética aponta para a esquerda, fornecendo a direção para onde partículas carregadas positivaente são desviadas. Elétrons desviase para a direita. Q Coo podeos descartar a hipótese de as forças existentes entre íãs sere forças elétricas? Basta colocar os íãs e contato e, depois separá-los: as forças não se neutraliza e sua agnitude, direção e sentido não se altera após ter havido o contato e a separação. Q Se u elétron e oviento for desviado lateralente ao atravessar ua certa região do espaço, podeos afirar co certeza que existe u capo agnético nessa região? Não. Tal afirativa será valida apenas se o elétron andar e círculos se variar sua energia cinética. Q Quais são as funções fundaentais do: (a) capo elétrico e (b) capo agnético no ciclotron? (a) Estabelecer a ddp que acelera as cargas [i.e. auenta sua energia]; (b) Estabelecer oviento circular que perite a aceleração das esas, ao sere reinjetadas no capo elétrico. Q Qual é o fato central que possibilita a operação de u ciclotron convencional? Ignore considerações relativísticas. O fato central que perite a operação de u ciclotron é a chaada condição de ressonância, expressa pela Eq. (30-22): Q f circulação f oscilador elétrico. U condutor te ua carga total nula, eso quando percorrido por ua corrente. Por que, então, u capo agnético é capaz de exercer ua força sobre ele? Nua corrente elétrica os elétrons possue ua obilidade grande ao passo que os prótons praticaente não se ove (porque estão rigidaente ligados na rede cristalina). Portanto, surge ua força agnética acroscópica e virtude destes ovientos icroscópicos dos elétrons. Q Ua espira retangular ocupa ua posição arbitrária nu capo agnético externo. Que trabalho é necessário para girar a espira e torno de u eixo perpendicular ao seu plano? Nenhu. Justifique! Dica: A energia potencial agnética de u dipolo agnético µ colocado nu capo agnético externo B é U(θ) µ B. jgallas Página 2 de 13

3 Q Mostraos, no exeplo 9, que o trabalho necessário para inverter ua espira de corrente, nu capo agnético externo, a partir da posição e que está alinhada co o capo vale 2µB. Este resultado é válido para qualquer rotação de 180 o que parta de ua posição arbitrária? Não. W U(θ + π) U(θ) µb cos(θ + π) [ µb cos(θ) ] 2µB cos(θ), pois cos(θ + π) cos(θ) cos(π) cos(θ). Desta expressão veos que o resultado final depende do ângulo θ, do qual partios, ao fazer a rotação de 180 o. Q Iagine que no aposento e que você está sentado exista u capo agnético unifore B apontando verticalente para cia. Ua espira circular te seu plano horizontal. Para que sentido da corrente (vista de cia) estará a espira e equilíbrio estável e relação às forças e torques de orige agnética? Anti-horário, pois iniiza U(θ) Probleas e Exercícios Quator partículas segue as trajetórias ostradas na Fig quando elas passa através de u capo agnético. O que se pode concluir sobre a carga de cada partícula? O que podeos concluir sobre o sinal da carga é o seguinte, considerando-se a atuação da força agnética F qv B: A partícula 1 te carga positiva, pois desloca-se no eso sentido e que atua F. Analogaente, as partículas 2 e 4 te carga negativa. Para a partícula 3 podeos concluir ais do que apenas seu sinal: a partícula 3 não te carga pois, coo se percebe claraente da figura, a possibilidade do produto vetorial ser zero (isto é, teros V // B) está excluida. E outras palavras, perceba que ua partícula carregada poderia atravessar u capo agnético se sobre deflexão, desde que viajasse paralelaente ao capo. Isto é ua conseqüência direta do produto vetorial que define F. E 30-3 U elétron nu tubo de TV está se ovendo a /s nu capo agnético de intensidade 83 T. (a) Se conheceros a direção do capo, quais são o aior e o enor ódulo da força que o elétron pode sentir devido a este capo? (b) Nu certo ponto a aceleração do elétron é /s 2. Qual é o ângulo entre a velocidade do elétron e o capo agnético? (a) As forças áxia e ínia ocorre para ϕ 90 o e ϕ 0 o, respectivaente. Portanto F ax qvb sen 90 o ( )( )( ) N Definição de B 1/8 E 30-1 Expresse a unidade de u capo agnético B e teros das diensões M, L, T e Q (assa, copriento, tepo e carga). Ua aneira siples de se fazer isto é usando-se a Eq. 30-6, F qv B, que fornece E 30-2 [B] [F ] [q][v] ML/T 2 (Q)(L/T ) M QT. F in qvb sen 0 o 0 N. (b) Coo a F/ e (qvb sen θ)/ e teos que θ sen 1( e a ) qvb sen 1( ( )( ) ) E o. U próton que se ove nu ângulo de 23 o e relação a u capo agnético de intensidade 2.6 T experienta ua força agnética de N. Calcular: (a) a velocidade escalar e (b) a energia cinética e elétrons-volt do próton. jgallas Página 3 de 13

4 (a) A agnitude da força agnética no próton é dada por F B evb sen φ, onde v é a velocidade do próton, B é a agnitude do capo agnético, e φ é o ângulo entre a velocidade da partícula e o capo. Portanto v F B eb sen φ N ( C)( T) sen 23 o /s (b) A energia cinética do próton é K 1 2 v2 1 2 ( kg)( /s) J, energia esta que equivale a P J ev. J/eV U elétron que te velocidade v ( /s)i + ( /s)j penetra nu capo agnético B (0.030T )i +(0.15T )j. (a) Deterine o ódulo, direção e o sentido da força sobre o elétron. (b) Repita o cálculo para u próton tendo a esa velocidade. (a) A equação que fornece a força é F q v B. Portanto, basta calcular o produto vetorial: i j k F q q (0.15)( ) q k (0.030)( ) q k, onde q e C. Fazendo as contas, obteos, F k. (b) Neste caso o cálculo é idêntico ao anterior, poré usando-se agora q C: P 30-6 F k. U elétron nu capo agnético unifore te ua velocidade v (40 k/s)i + (35 k/s)j. Ele experienta ua força F (4.2 fn)i+(4.8 fn)j. Sabendose que B x 0, calcular o capo agnético [que da orige à força]. Nota: o prefixo f feto Coo B x 0, escreveos B B y j + B z k e trataos de descobrir o valor das duas coponentes desconhecidas, B y e B z. Co este capo obteos para a força agnética: F B q V B q(v x i + v y j) (B y j + B z k) F x i + F y j, onde F x N e F y N. Efetuando o produto e siplificando encontraos que F x qv y B z, F y qv x B z, qv x B y 0, e, portanto, que B y 0. Assi sendo, teos B B z k F x qv y k ( )( ) k (0.75 k) T. Será que a relação F x qv y B z, que não foi usada nos cálculos acia, tabé fica satisfeita? É fácil verificar que tal relação tabé é obedecida, consistenteente: P 30-7 F y F x v x v y. Os elétrons de u tubo de televisão tê ua energia cinética de 1.2 kev. O tubo está orientado de odo que os elétrons se ova horizontalente do sul agnético para o norte agnético. A coponente vertical do capo agnético da Terra aponta para baixo e te ódulo de 55 µt. (a) E que direção o feixe será desviado? (b) Qual a aceleração de u elétron devida ao capo agnético? (c) Qual será o desvio sofrido pelo feixe após ter percorrido 20 c através do tubo de televisão? (a) Desenhe ua linha reta vertical e, sobre ela, suponha que o o Sul agnético ( norte geográfico) esteja localizado na parte superior da figura e o Norte agnético N ( sul geográfico) na parte inferior. Então, neste diagraa, o oeste está à esquerda, o leste `direita. Confore os dados do problea, o vetor velocidade v dos elétrons terá a esa direção da linha vertical, jgallas Página 4 de 13

5 apontando de cia para baixo (dado do problea), enquanto que o capo agnético da Terra apontará sepre para dentro da página onde estiver desenhada a linha reta. Isto posto, a regra da ão direita nos fornece que v B aponta para a direita (Leste). Poré, coo a carga do elétron é negativa, a força agnética sobre ele apontará para a esquerda (Oeste). Esta resposta contradiz a resposta do livro. Mas a inha resposta parece-e ser a correta. (b) Use F a, onde F evb sen ϕ. Nesta expressão v é a agnitude da velocidade do elétron, B a agnitude do capo agnético, e ϕ é o ângulo entre a velocidade do elétron e o capo agnético, ou seja, ϕ 90 o. Portanto, a evb sen 90o evb. Para poderos deterinar o valor nuérico desta aceleração falta-nos ainda obter o valor de v, que pode ser facilente obtido da energia cinética: v 2K 2( ev)( J/eV) kg Portanto /s. a evb ( )( )( ) /s 2. Elevando abas equações ao quadrado e soando o resultado obteos R 2 (R d) 2 + l 2, ou seja, d R ± R 2 l 2. O sinal ais corresponde a u ângulo de 180 o θ. O sinal enos corresponde à solução fisicaente correta. Coo l é uito enor que R, podeos usar o teorea da expansão binoial e expandir R 2 l 2. Os dois prieiros teros de tal expansão são R l 2 /(2R) de onde obteos finalente que a deflecção ( diinuição de R ) é dada por P 30-8 d l R U elétron te ua velocidade inicial (12 k/s)j + (15 k/s)k e ua aceleração de ( k/s 2 )i nua região e que estão presentes u capo elétrico e u capo agnético unifores. Sabendo-se que B (400 µt)i, deterine o capo elétrico E. Chaando a aceleração de a e partindo-se da relação F q(e + v B) e a, encontraos se dificuldades que E e q a + B v, onde o sinal negativo foi usado para trocar a orde dos fatores no produto vetorial. (c) A órbita do elétron é circular. Coo a aceleração é dada por v 2 /R, onde R é o raio da órbita, encontraos que E ( 11.4 i 6.0 j k) V/. R v2 a ( ) O pedaço de círculo percorrido pelo elétron subentende u ângulo θ a partir do centro. O copriento l 0.20 que foi andado no tubo iplica nua redução d ( deflecção ) do raio R. O triângulo curvo cuja hipotenusa é a trajetória curva do elétron, o lado aior é l e o lado enor é a deflexão d nos fornece R cos θ R d, e R sen θ l A Descoberta do Elétron 9/13 E U elétron co energia cinética de 2.5 kev se ove horizontalente para dentro de ua região do espaço onde existe u capo elétrico direcionado para baixo e cujo ódulo é igual a 10 kv/. (a) Quais são o ódulo, a direção e o sentido do (enor) capo agnético capaz jgallas Página 5 de 13

6 de fazer co que os elétrons continue a se over horizontalente? Ignore a força gravitacional, que é bastante pequena. (b) Será possível, para u próton, atravessar esta cobinação de capos se ser desviado? Se for, e que circunstâncias? (a) Usaos a energia cinética para deterinar a velocidade: v 2K 2( ev)( J/eV) kg /s. Usando a Eq , obteos: B E v V/ /s T. O capo agnético te que ser perpendicular tanto ao capo elétrico quanto à velocidade do elétron. (b) U próton passará se deflexão caso sua velocidade seja idêntica à velocidade do elétron. Devido à carga do próton ter sinal positivo, observe que as forças elétricas e agnéticas reverte suas direções, poré continua a cancelar-se! E U capo elétrico de 1.5 kv/ e u capo agnético de 0.4 T atua sobre u elétron e oviento de odo a produzir ua força resultante nula. (a) Calcule a velocidade escalar ínia v do elétron. (b) Desenhe vetores E, B e v. Coo a força resultante é nula, o ódulo da força elétrica é igual ao ódulo da força agnética: ee evb. Portanto (a) v E B /s. (b) Ua possibilidade é: co B saindo perpendicularente ao plano da página e E apontando para baixo, teos u desvio para cia quando o elétron entrar da esquerda para a direita, no plano da página. Faça este desenho! Ua fonte de íons está produzindo íons de 6 Li (assa 6 u), cada u co ua carga +e. Os íons são acelerados por ua diferença de potencial de 10 kv e entra nua região onde existe u capo agnético unifore vertical B 1.2 T. Calcule a intensidade do enor capo elétrico, a ser estabelecido na esa região que peritirá aos íons de 6 Li a passage se desvios. Para que a força total F +e(e + v B) se anule, o capo elétrico E te que ser perpendicular a velocidade v dos íons e ao capo agnético B. O capo é perpendicular à velocidade de odo que v B te agnitude vb, sendo a agnitude do capo elétrico dada por E vb. Coo os íons te carga +e e são acelerados por ua diferença de potencial V, teos v 2 /2 ev, ou seja v 2eV/. Portanto, 2eV E B 2( (1.2 T ) 19 C)( V ) (6.0 u)( kg/u) V/. Note que a assa, dada e u, precisou ser convertida para kg O Efeito Hall 14/18 E Mostre que, e teros de do capo elétrico Hall E e da intensidade de corrente J, o núero de portadores de carga por unidade de volue é dado por n JB e E. Chaando o capo elétrico Hall de E H, teos que F B F E e E H ou seja, ee H ev d B. Coo a velocidade de deriva é dada por v d J/(n e), basta substitui-la na equação anterior para se encontrar que n JB e E H. P jgallas Página 6 de 13

7 Moviento Circular de ua Carga 19/37 E Capos agnéticos são freqüenteente usados para curvar u feixe de elétrons e experientos de física. Que capo agnético unifore, aplicado perpendicularente a u feixe de elétrons que se ove a /s, é necessário para fazer co que os elétrons percorra ua trajetória circular de raio 0.35? Sabeos que evb v 2 /r. Portanto r v/(eb), donde tiraos que B v er E ( Kg)( /s) ( C)(0.35 ) T. (a) Nu capo agnético co B 0.5 T, qual é o raio da trajetória circular percorrida por u elétron a 10% da velocidade escalar da luz? (b) Qual a sua energia cinética e elétrons-volt? Ignore os efeitos relativísticos. (a) Use a Eq para calcular o raio: (b) E r ev qb ( )(0.1)( ) ( )(0.50) K 1 2 ev 2 ( )( ) 2 2( J/eV) ev. Que capo agnético unifore deve ser estabelecido no espaço de odo a fazer u próton, de velocidade escalar /s, over-se nua circunferência do taanho do equador terrestre. Use a Eq : B pv qr E (a) ( )( ) ( )( ) T. 2K v 2( )( ) /s. (b) Use a Eq : (c) (d) E B ev qr ( )( ) ( )( ) T. f v 2πr T 1 f π( ) Hz s. O período de revolução do íon de iodo é T 2πr/v 2π/(qB), o que nos fornece qbt 2π ( )( )( ) 7(2π)( kg/u) 127 u. P O íon entra no espectrôetro co ua velocidade v relacionada co o potencial por W K qv, assi: 1 2 v2 qv. jgallas Página 7 de 13

8 Dentro do instruento, o íon realiza u oviento circular co velocidade v inalterada usando, então, a Segunda Lei de Newton: v 2 qvb. r Mas da prieira equação, v 2 2qV e r x 2, substituindo estes valores, teos: Portanto, P qV/ x/2 qb. B2 qx 2 8V. (a) Resolvendo a equação encontrada no Problea para o capo B, substituindo x 2 nela: 8V B qx 2 8( V )( kg) ( C)(2.0 ) T. (b) Seja N o núero de íons separados pela áquina por unidade de tepo. A corrente é então i qn e a assa que é separada por unidade de tepo é M N, onde é a assa de u único íon. M te o valor M 100 g/h kg 3600 s kg/s. Coo N M/ teos i qm ( C)( kg/s) kg A. (c) Cada íon deposita ua energia de qv na taça, de odo que a energia depositada nu tepo t é dada por E NqV t i qv t iv t, q onde a segunda expressão foi obtida substituindo-se i/q no lugar de N. Para t 1 hora, teos E ( A)( V )(3600 s) J. P (a) Ver o Exeplo 4. O período é dado por T 2πr v sen φ 2π ( v sen φ ) v sen φ qb O pósitron é u elétron positivo, assi no SI T s. 2π qb. (b) O passo p (v cos φ)t, então, teos prieiro que achar v através da energia cinética. Ou seja, 2K v /s. Portanto, (c) O raio é P p (v cos φ)t r v sen φ qb (a) O raio r da órbita circular é dado por r p/(eb), onde B é a agnitude do capo agnético. A expressão relativística p v/ 1 v 2 /c 2 deve ser usada para a agnitude p do oentu. Aqui, v é a agnitude da velocidade do próton, é sua assa, e c é a velocidade da luz. Portanto r v eb 1 v 2 /c 2. Elevando-se esta expressão ao quadrado e resolvendo-a para v obteos v rebc 2 c 2 + r 2 e 2 B 2. Subsitutindo-se r (raio da terra), e C (a carga do próton), B T, kg (a assa de u próton), e c /s obte-se, finalente, v /s. (b) Desenho dos vetores: veja no livro! jgallas Página 8 de 13

9 Cíclotrons e Sincrotons 38/42 P Faça ua estiativa da distância percorrida por u dêuteron no ciclotron do Exeplo 30-5 (página 169) durante o processo de aceleração. Suponha u potencial acelerador entre os dês de 80 kv. Aproxie a distância total pelo núero de revoluções ultiplicado pela circunferência da órbita correspondente à energia édia. Isto é ua boa aproxiação pois o dêuteron recebe a esa energia a cada revolução e seu período não depende da sua energia. O dêuteron acelera duplaente e cada ciclo e, cada vez, recebe ua energia de qv ev. Coo sua energia final é 16.6 MeV, o núero de revoluções que ele faz é n ev 2( ev) 104. Sua energia édia durante o processo de aceleração é 8.3 MeV. O raio da órbita é dado por r v/(qb), onde v é a velocidade do dêuteron. Coo tal velocidade é dada por v 2K/, o raio é r 2K qb 1 2K. qb Para a energia édia teos Portanto, K ( ev)( J/eV). r 2K( ) ( )(1.57) A distância total viajada é, aproxiadaente, n 2πr (104)(2π)(0.375) Força agnética sobre fio transportando corrente 43/52 E U condutor horizontal nua linha de força transporta ua corrente de 5000 A do sul para o norte. O capo agnético da Terra (60 µt) está direcionado para o norte e inclinado para baixo de u ângulo de 70 o co a linha horizontal. Deterine o ódulo, a direção e o sentido da força agnética devida ao capo da Terra sobre 100 do condutor. A agnitude da força agnética sobre o fio é dada por F B ilb senφ, onde i é a corrente no fio, L é o copriento do fio, B é a agnitude do capo agnético, e φ é o ângulo entre a corrente e o capo. No presente caso, φ 70 o. Portanto F B (5000)(100)( ) sen 70 o 28.2 N. Aplique a regra da ão direita ao produto vetorial F B il B para ostrar que a força aponta para o oeste. E U fio de 1.80 de copriento transporta ua corrente de 13 A e faz u ângulo de 35 o co u capo agnético unifore B 1.5 T. Calcular a força agnética sobre o fio. P F ilb sen 35 o (13)(1.8)(1.5) sen 35 o N. Coo F B il B, a corrente te que fluir da esquerda para a direita. A condição de equilíbrio requer que tenhaos F B P, isto é, que Portanto ilb g. i g LB ( kg)(9.8 /s2 ) A. (0.620 )(0.440 T ) P A força é dada por F il B, e aponta para o lado esquerdo da figura, sendo esta a direção da velocidade. O ódulo da força é F ibd, sendo portanto a jgallas Página 9 de 13

10 aceleração sofrida pelo fio dada por a F/. Coo o fio parte do repouso, sua velocidade é P v at F t ibtd. Ua barra de cobre de 1 kg está e repouso sobre dois trilhos horizontais que dista 1 u do outro e perite a passage de ua corrente de 50 A de u trilho para o outro. O coeficiente de atrito estático é de Qual é o enor capo agnético (não necessariaente vertical) que daria início ao oviento da barra? Escolhendo ua orientação arbitrária para o capo, veos que a força agnética terá tanto ua coponente horizontal quanto ua coponente vertical. A coponente horizontal deverá atuar de odo a vencer a força de atrito f µ s N, onde N representa a força noral que os trilhos (parados) exerce sobre a barra e µ s é o coeficiente de atrito estático. A coponente vertical da força agnética atua no sentido de reduzir tanto o peso da barra quanto a força de atrito. Seja θ o ângulo que B faz co a vertical. A força agnética é F B ilb, pois B faz 90 0 co a barra horizontal. Coo a barra está prestes a deslizar, usando a Eq. 1 do Cap. 6, obteos para as coponentes horizontais: derivada e relação a θ do denoinador e iguala-la a zero: 0 d ( ) cos θ + µ s senθ dθ senθ + µ s cos θ. Portanto, o denoinador terá u extreo [que é u áxio. Verifique isto!] quando ou seja, quando µ s senθ/ cos θ tg θ, θ tg 1 µ s tg o. Substituindo este valor de θ na expressão para B, acia, encontraos o valor ínio pedido: B in 0.60(1.0 kg)(9.8 /s 2 ) (50 A)(1.0 )(cos 31 o sen 31 o ) 0.10 T Torque sobre ua Bobina de Corrente 53/61 E A Fig ostra ua bobina de retangular, co 20 voltas de fio, de diensões 10 c [pr 5 c. Ela transporta ua corrente de 0.10 A e pode girar e torno de u lado longo. Ela está ontada co seu plano fazendo u ângulo de 30 o co a direção de u capo agnético unifore de 0.50 T. Calcular o torque que atua sobre a bobina e torno do eixo que passa pelo lado longo. ilb cos θ µ s N 0. Equilibrando as coponentes verticais, obteos: N + ilb senθ g 0. Eliinando N das duas equações, encontraos: ou seja, ilb cos θ µ s (g ilb senθ) 0, B µ sg il cos θ + µ s senθ. O enor valor de B ocorre quando o denoinador da expressão acia for áxio. Para deterina o valor de θ que axiiza tal denoinador basta calcular a No plano de ua folha de papel, escolha u sistea de coordenadas XY co o eixo y na horizontal, crescendo para a direita, e o eixo x na vertical, crescendo para baixo. Co tal escolha, o eixo de giro estará sobre a vertical 0z, enquanto que o capo estará na esa direção horizontal de y. Chae de a e b os coprientos curtos e longos que fora o retângulo da bobina. Seja θ o ângulo de 30 o entre o lado a e o capo (suposto ao longo do eixo 0y). Na bobina atuarão quatro forças, ua sobre cada u dos lados do retângulo. Poré, a única força que pode produzir u torque e relação ao eixo vertical é aquela jgallas Página 10 de 13

11 exercida sobre o lado de copriento b oposto ao eixo de apoio. O ódulo de tal força é: F ibb sen90 0 ibb, estando ela dirigida ao longo do eixo x (isto é, para baixo). De acordo co a figura indicada na solução deste problea, veos que a enor distância entre a força F e o eixo de giro (oo seja, o chaado braço de alavanca ) é (a cos θ). Portanto, o torque para N espiras será: τ N(ibB)(a cos θ) N. Pela regra da ão direita o sentido é z, ou seja, o torque está orientado de cia para baixo. Ua outra aneira (ais foral poré be ais direta) é calcular o torque a partir da sua definição τ µ B, onde µ µ NiA Ni(ab). Nesta definição é preciso cuidar para usar o ângulo correto! Notando-se que o ângulo entre B e µ (cuja direção é a da noral à espira) é de 90 θ graus, teos P A Fig ostra u anel de arae de raio a perpendicular à direção geral de u capo agnético divergente, radialente siétrico. O capo agnético no anel te e todos os seus pontos o eso ódulo B e faz u ângulo θ co a noral ao plano do anel. os fios de ligação, entrelaçados, não te efeito algu sobre o problea. Deterine o ódulo, a direção e o sentidoda força que o capo exerce sobre o anel se este for percorrido por ua corrente i coo ostra a figura. Considere u segento infinitesial do laço, de copriento ds. O capo agnético é perpendicular ao segento de odo que a força agnética sobre ele te ua agnitude df ib ds. O diagraa abaixo ostra a direção da força para o segento na extrea direita do laço: τ µb sen (90 θ) µb cos(θ) (Niab)B cos(θ) N. Perceba que as duas expressões usadas para τ conté exataente os esos eleentos, poré ordenados de odo diferente, co interpretações u pouco diferentes: nu caso o fator a cos θ da o braço de alavanca, no outro o cos θ aparece devido ao produto escalar. P Se N espiras copletas são foradas por u fio de copriento L, a circunferência de cada volta é de L L/N, e o raio é de 2πN. Portanto, a área de cada espira vale: L A π( 2πN )2 L2 4πN 4. Para o torque áxio, orientaos o plano de espiras paralelaente às linhas do capo agnético; assi, segundo a Eq. 27, θ 90 0, teos: ( L 2 ) τ NiAB Ni 4πN 2 B il2 B 4πN. Coo N aparece no denoinador, o torque áxio ocorre quando N 1: τ ax il2 B 4π. A coponente horizontal da força te agnitude df h (ib cos θ) ds e aponta para dentro do centro do laço. A coponente vertical te agnitude df v (ib senθ) ds e aponta para cia. Agora, soeos as forças e todos segentos do laço. A coponente horizontal da força total anula-se pois cada segento do fio pode ser pareado co outro segento, diaetralente oposto. As coponentes horizontais destas forças aponta abas e direção ao centro do laço e, portanto, e direções opostas. A coponente vertical da força total é F v ib senθ ds ib senθ (2πa). Note que i, B, e θ te o eso valor para cada segento e portanto pode ser extraidos para fora da integral. P (a) A corrente no galvanôetro deveria ser de 1.62 A quando a ddp através da cobinação resistorgalvanôetro é de 1 V. A ddp através do galvanôetro apenas é i G ( )(75.3) V jgallas Página 11 de 13

12 de odo que o resistor deve estar e série co o galvanôetro e a ddp através dele deve ser A resistência deve ser V. R Ω (b) A corrente no galvanôetro deveria ser de 1.62 A quando a corrente através da cobinação resistorgalvanôetro é de 50 A. O resistor deve estar e paralelo co o galvanôetro e a corrente através dele deve ser A. A ddp através do resistor é a esa que a ddp através do galvanôetro, V, de odo que a resistência deve ser R 2.52 Ω P A Fig ostra u cilindro de adeira co assa kg e copriento L 0.10, co N 10 voltas de fio enrolado e torno dele longitudinalente, de odo que o plano da bobina, assi, forada, contenha o eixo do cilindro. Qual é a corrente ínia através da bobina capaz de ipedir o cilindro de rolar para baixo no plano inclinado de θ e relação à horizontal, na presença de u capo agnético unifore vertical de 0.5 T, se o plano dos enrolaentos for paralelo ao plano inclinado? Se o cilindro rolar, terá coo eixo instantâneo de rotação o ponto P, ponto de contato do cilindro co o plano. Ne a força noral ne a força de atrito exerce torques sobre P, pois as linhas de ação destas duas forças passa pelo ponto P. As duas únicas forças que exerce torque e relação a P são (i) o peso e (ii) a força devida ao capo agnético. Da definição de torque [Eq da quarta edição Halliday] teos τ r F, onde F g no caso gravitacional e questão. Portanto, o ódulo do torque devido a ação gravitacional vale τ g r g gr senθ, onde R representa o raio do cilindro. O torque devido ao capo agnético sobre a espira vale: τ µb senθ NiA B senθ Ni(2RL) B senθ. Para que não haja rotação, os dois torques deve ser iguais (ou, equivalenteente, a soa dos torques deve ser nula): Portanto, Ni2RLB senθ gr senθ. i g 2.45 A. 2NBL O Dipolo Magnético 62/72 E (a) A agnitude do oento de dipolo agnético é dada por µ NiA, onde N é o núero de voltas, i é a corrente e cada volta, e A é a área do laço. Neste caso os laços são circulares, de odo que A πr 2, onde r é o raio de ua volta. Protanto, i µ Nπr (160)(π)(0.0190) A. (b) O torque áxio ocorre quando o oento de dipolo estiver perpendicular ao capo (ou o plano do laço for paralelo ao capo). O torque é dado por τ µb P (2.30)( ) N. O oento de dipolo da Terra vale 8 22 J/T. Suponha que ele seja produzido por cargas fluindo no núcleo derretido da Terra. Calcular a corrente gerada por estas cargas, supondo que o raio da trajetória descrita por elas seja 3500 k. Da equação µ NiA iπr 2 obteos se probleas i µ πr 2 π( ) A. jgallas Página 12 de 13

13 P Ua espira circular de corrente, de raio 8 c, transporta ua corrente de 0.2 A. U vetor unitário, paralelo ao oento de dipolo µ da espira é dado por 0.60i 0.80j. A espira está iersa nu capo agnético dado por B (0.5 T ) i + (0.3 T ) j. Deterine (a) o torque sobre a espira (usando notação vetorial) e (b) a energia potencial agnética da espira. Confore dado, o vetor oento de dipolo agnético é onde µ µ(0.60i 0.80j), µ NiA Niπr 2 1(0.20)(π)(0.080) A 2. Nesta expressão, i é a corrente na espira, N é o núero de espiras, A a área da espira, e r é raio da espira. (a) O torque é τ µ B µ(0.60i 0.80j) (0.25i k) µ [ (0.60)(0.25)(i i) +(0.60)(0.30)(i k) (0.80)(0.25)(j i) (0.80)(0.30)(j k) ] µ [ 0.18 j k 0.24 i ], onde usaos o fato que i k j, j i k, j k i, i i 0. Substituindo o valor de µ obteos τ [ i 7.23 j k] 10 4 N. (b) A energia potencial do dipolo é dada por U µ B µ(0.60 i 0.80 j) (0.25 i k) µ(0.60)(0.25) 0.15 µ J, onde usaos i i 1, i k 0 e j k 0. jgallas Página 13 de 13

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