Aplicação da conservação da energia mecânica a movimentos em campos gravíticos

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1 ª aula Suário: licação da conservação da energia ecânica a ovientos e caos gravíticos. nergia oteial elástica. Forças não conservativas e variação da energia ecânica. licação da conservação da energia ecânica a ovientos e caos gravíticos Vaos estudar alguns eelos que õe e destaque a vantage de utilização de considerações energéticas, coo a conservação da energia ecânica. aulas anteriores vios que a energia oteial de u coro de assa nu cao gravítico é dada or ( y) = gy, sendo y a coordenada vertical da artícula relativaente a ua orige. Suonhaos que o objecto é atirado verticalente co velocidade v. Qual é a altura áia que vai atingir? (Recorda-se que questão seelhante já foi abordada, tanto de u onto de vista cineático, nas aulas teórico-ráticas, coo do onto de vista do teorea da energia cinética.) Designando or o onto de arreesso e or o onto de altura áia (ver Fig..), a conservação de energia ecânica erie-se através da igualdade =. h Figura. energia ecânica e é silesente a energia cinética da artícula no oento do arreesso vertical, escolhendo o zero da energia oteial no onto. Designando or v o ódulo da velocidade inicial, te-se = c = v. Por outro lado, a energia ecânica e é unicaente energia oteial (já que a velocidade da artícula se anula nesse onto): = g h. De = v = g h (.) resulta a seguinte eressão ara a altura áia atingida elo coro: v h =. (.) g

2 Vejaos seguidaente o caso do lançaento oblíquo, sendo θ o ângulo que a velocidade inicial faz co a direcção horizontal (eio dos na Fig..). y h θ Figura., a energia ecânica é aenas a energia cinética: = c = v. a energia ecânica é a soa da energia oteial e da energia cinética. o longo do oviento a velocidade da artícula eranece inalterada segundo o eio dos, ois a única força que actua na artícula é a força gravítica que aonta no sentido negativo do eio dos yy. ssa velocidade é inicialente v cosθ e, no onto de altura áia a velocidade te este eso valor ois é nula a sua coonente vertical. ssi, e a energia ecânica é = ( v cosθ ) + gh. Da igualdade das energias ecânicas e e resulta v = v cos θ + g h (.3) de onde se obté sta eressão reduz-se a (.) ara θ = 9º. v sin θ h =. (.4) g nergia oteial elástica energia oteial elástica é ua fora de energia oteial diferente da gravítica. stá associada a forças elásticas as quais estão resentes e uitas situações físicas. este nível introdutório não ireos considerar ateriais elásticos. Ireos antes considerar u sistea articularente siles: u coro de assa ligado a ua ola que está resa na outra etreidade (Fig..3). Figura.3

3 Quando a ola é coriida ou distendida relativaente à sua osição de equilíbrio, eerce sobre o coro ua força que, eerientalente, se verifica ser roorcional à coressão ou distensão, e co o sentido oosto a estas. Considerando que o coro aenas se ode deslocar e ua diensão (direcção do eio dos ) aquela lei eeriental (conhecida or lei de Hook) erie-se ateaticaente or F = k. (.5) constante de roorcionalidade k designa-se or constante elástica e, coo o rório noe indica, traduz a aior ou enor elasticidade da ola. O sinal negativo e (.5) indica que a força te sentido oosto ao deslocaento F F Figura.4 força é ua função da osição e o gráfico F( ) F F = está reresentado na Fig..5. Figura.5 lei de Hook só é aroiadaente válida ara equenos deslocaentos. Se os deslocaentos fore grandes a relação linear entre força e deslocaento já não se observa ais. energia oteial associada à força elástica é calculada a artir de [ver (9.)] ( ) ( ) F( ) d, (.6) estando a escolher-se = ara onto de referêia que é a osição de equilíbrio: nesse onto a força que actua no coro é nula. scolhendo o valor zero ara a energia oteial elástica nesse onto e usando a eressão da lei de Hook ara a força [q. (.5)], te-se = 3

4 Ora, a riitiva de é e, ortanto, ( ) = F( ) = d k d (.7) =. (.8) ( ) k = k O gráfico da função ( ) é ua arábola, coo ostra a Fig..6. Figura.6 Deve notar-se que a energia oteial elástica, sendo ua função quadrática da osição, não distingue > de <. Tanto faz que a ola seja distendida coo eolhida: ara a energia oteial só iorta a grandeza dos deslocaentos,, relativaente à orige. Se nos tivesse sido dada inicialente a eressão da energia oteial ara a artir daí saber qual a força a ela associada, só tínhaos de alicar a eressão (9.5), ou seja, toar o siétrico da derivada de (.8) e orde a : d F( ) = d = k (.9) que é a eressão de que artios [ver (.5)]. Fica assi atente a coerêia do foraliso que estaos a desenvolver. O oviento de u coro ligado a ua ola é u oviento de vaivé (que será estudado orenorizadaente ais tarde neste curso), cuja energia ecânica, dada or te = v + k = C (.) se conserva. O oviento de vaivé da assa ocorre entre as osições etreas = ± relativaente à orige =. Naqueles ontos (chaados ontos de retorno), a artícula inverte o sentido do oviento, sendo chaada alitude do oviento. Ver 9ª aula. 4

5 Nos ontos de retorno toda a energia ecânica é energia oteial. o invés, quando a artícula assa ela orige, a sua energia oteial é nula e, ortanto, a sua energia cinética é áia. Considereos u eelo que ode tornar ais claro o que acabáos de dizer. U coro de assa nu cao de forças elásticas é afastado da osição de equilíbrio ara a osição = e largado (onto na Fig..7). Qual é a sua velocidade quando assa na orige (onto na esa figura)? Figura.7, a energia ecânica é só energia oteial: = só cinética: = energia ecânica) resulta a seguinte eressão ara a velocidade no onto : = k. a energia é = c v. Da igualdade destas duas energias (conservação da k v = (.) Vios já dois tios de energias oteiais: a gravítica e a elástica. Mas há uitos outros tios ais e todas essas energias oteiais ode coeistir se várias forças conservativas estivere alicadas nua artícula. sua energia ecânica é a soa da energia cinética e de todas as energias oteiais corresondentes a cada ua das forças. energia ecânica conserva-se se só eistire forças conservativas. Havendo forças não conservativas, já não se conserva. É o assunto a abordar já a seguir. Forças não conservativas e variação da energia ecânica energia ecânica conserva-se sere que sobre o sistea só actue forças conservativas. Mas o eso já se não se assa se estivere resentes forças não conservativas, coo, or eelo, forças de atrito. Na resença de forças de atrito cinético ou de resistêia a energia ecânica diinui. Dizeos, nestes casos, que há dissiação de energia. Claro que a energia não se erde! Sabeos que a energia se conserva! Dizer que a energia se dissia significa silesente que a energia deia de ser útil. assa ligada à ola que é osta e oviento, não fica a oscilar indefinidaente. De facto, devido às forças de atrito, as alitudes de oscilação vão sendo sucessivaente enores e o coro acaba or arar. Considereos o caso geral de ua artícula que está sob a acção de várias forças, sendo uas conservativas as outras não. O teorea de energia cinética, que te validade geral, erite-nos escrever c = W. (.) 5

6 variação de energia cinética é igual ao trabalho realizado ela resultante das forças ou, o que é o eso, ela soa dos trabalhos realizados or cada ua das forças alicadas. Se eistire, forças conservativas e não conservativas, W = W con + W, onde Wcon reresenta o trabalho de todas as forças conservativas (ode haver ais do que ua) e W o trabalho de todas as forças não conservativas (ode tabé haver ais do que ua). eressão (.) assa a escrever-se = W + W. (.3) c con Ora, o trabalho das forças conservativas é, or definição, o siétrico da variação da função energia oteial : W =. eressão (.3) toa a fora con ou ainda + = W, (.4) c ( c + ) = W. (.5) soa no rieiro tero desta equação é a energia ecânica e, então, finalente, = W. (.6) Se não eistire forças conservativas, este resultado traduz a conservação da energia ecânica. Se as forças não conservativas fore forças de atrito cinético ou de resistêia, W < e, ortanto, a energia ecânica diinui. Mas ode haver forças não conservativas que realiza trabalho ositivo (u uão ou u eurrão, or eelo). Nesse caso, a energia ecânica do coro auenta. Considereos u eelo de alicação da eressão (.6). U coro é deiado cair de ua altura h acia de u chão de areia. Quando atinge o solo, enetra na areia ercorrendo ua distâia d no seu interior. Qual é a força édia que a areia eerce sobre o coro? energia ecânica no onto de onde é largado o coro é silesente a energia oteial gravítica, dado or g ( h + d ) se se toar ara orige da energia oteial o onto à rofundidade d relativaente ao nível do solo (ou seja o onto onde o coro acabará or arar). energia ecânica no onto onde ára o final inicial coro é zero. variação de energia ecânica é, ois, = = g( h + d ). Se a força de resistêia ao oviento na areia uder ser considerada constante, o trabalho desta força não conservativa é silesente W = Fd (o sinal negativo ve do facto desta força e do deslocaento tere sentidos oostos). Da alicação directa da q. (.6) resulta g h + d = (.7) ( ) Fd e, consequenteente, a força édia que rocuraos é h F = g +. (.8) d Se eistire várias forças conservativas, haverá várias energias oteiais. Por estaos a designar a soa de todas essas energias oteiais. 6

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